1、第五章 一元一次方程,初中数学（北师大版）七年级 上册,知识点 几何图形的变换问题 在几何图形中,虽然形状和体积都可能发生变化,但在问题中仍会含有 一个相等关系.因此,要通过分析题意,找出能表示问题中全部含义的相 等关系,并根据这个相等关系列出方程.此类问题常见的有以下几种情况: (1)形状发生了变化,而体积不变,相等关系:变化前后体积相等; (2)形状、面积发生了变化,而周长不变,相等关系:变化前后周长相等;例 如将一根长方形的铁丝围成一个正方形的铁丝,其周长保持不变.,(3)常用几何图形变换公式. 周长公式:C正方形=4a,C长方形=2(a+b),C圆=2r=d. 面积公式:S三角形= a
2、h,S正方形=a2, S长方形=ab,S梯形= (a+b)h,S圆=r2. 体积公式:V长方体=abc,V正方体=a3, V圆柱=r2h,V圆锥= r2h. 例 要锻造一个底面直径为20 cm,高为16 cm的圆柱形毛坯,应截取直 径为16 cm的圆钢 cm.,解析 设截取直径为16 cm的圆钢x cm. 由体积相等得 16= x,解得x=25.,答案 25,题型一 形积变化体积不变 例1 在一个内部长、宽、高分别为3 m、3 m、80 cm的长方体水箱内装满水,然后倒入一个底面直径是2 m,高是12 m的圆柱形容器中,水是否会溢出?若不溢出,请求出水面离容器口的距离.(取3.14,结果精确到
3、0.01 m),解析 长方体水箱的容积为330.8=7.2(m3). 圆柱形容器的容积为 12=12=37.68(m3). 因为7.237.68,所以水不会溢出. 设将水倒入圆柱形容器后,水面离容器口的距离为x m. 由题意得330.8= (12-x), 解得x9.71. 则水面离容器口的距离约为9.71 m.,点拨 先分别求出两容器的容积,然后通过比较大小,确定水是否会溢出.,题型二 形积变化长度不变 例2 小刚家打算靠墙(墙长14 m)修建一个长方形的养鸡场(靠墙的一 边作为长),另三边用35 m长的篱笆围成.小刚的爸爸打算让养鸡场的长 比宽多2 m,小刚的妈妈打算让养鸡场的长比宽多5 m
4、.你认为谁的设计 合理?按照这种设计,养鸡场的面积是多少?,解析 设养鸡场的宽为x m. 按小刚的爸爸的设计,养鸡场的长应为(x+2)m. 根据题意,得x+2+2x=35, 解得x=11. 因为11+2=1314, 所以小刚的爸爸的设计合理, 这时养鸡场的面积为1311=143(m2).,按小刚的妈妈的设计,养鸡场的长应为(x+5)m. 依题意,得x+5+2x=35,解得x=10. 因为10+5=1514, 所以小刚的妈妈的设计不合理. 综上,小刚的爸爸的设计合理,此时养鸡场的面积为143 m2.,点拨 运用一元一次方程解决实际问题时,要注意解的合理性,即所得 结果必须符合实际情况.,知识点
5、几何图形的变换问题 1.一块长、宽、高分别为4 cm,3 cm,2 cm的长方体橡皮泥,要用它来捏 一个底面半径为 cm的圆柱,若圆柱的高是x cm,则可列方程为 .,答案 x=24,解析 长方体的体积为432=24 cm3,由体积相等列方程.,2.长方形的长比宽大5,周长为26,则长方形的宽为 .,答案 4,解析 设长方形的宽为x,则长为(x+5), 2x+2(x+5)=26,解得x=4, 即长方形的宽为4.,3.一个长方体合金块的长为80、宽为60、高为100,现要将其锻压成新 的长方体,使其底面为边长是40的正方形,则新长方体的高为 .,答案 300,解析 设新长方体的高为x,由题意得,
6、4040x=8060100,解得x=300.,4.在一个底面直径为3 cm,高为22 cm的量筒内装满水,再将量筒内的水 倒入底面直径为7 cm,高为9 cm的烧杯内,能否完全装下?若装不下,量筒 内水还剩多高?若能装下,求烧杯内水面的高度.,解析 设量筒内的水恰好装入底面直径为7 cm,高为x cm的烧杯中,则 22= x, 解得x= , 9. 答:烧杯能装下,此时烧杯内水面高度为 cm.,1.一个圆柱,底面半径增加到原来的3倍,而高度缩短为原来的 ,则变化 后的圆柱体积是原来圆柱体积的 ( ) A.8倍 B.2倍 C.3倍 D.9倍,答案 C 设原来圆柱底面半径为r,高为h,则体积为r2h
7、,半径增加到原 来的3倍,高度缩短到原来的 ,则此时圆柱的底面积为9r2,高为 h,则体 积为9r2 h=3r2h.故选C.,2.用一根小铁丝围成一个三条边长都为24 cm的三角形,如果将该铁丝 围成一个正方形,则正方形的边长是 ( ) A.24 cm B.18 cm C.12 cm D.9 cm,答案 B 设正方形的边长为x cm,则4x=243,解得x=18,故选B.,3.用直径为4 cm的圆钢,铸造三个底面直径为2 cm,高为16 cm的圆柱形 零件,需要截取 cm的圆钢.,答案 12,解析 设截取直径为4 cm的圆钢x cm, 则 x= 163,解得x=12.,4.要分别锻造底面直径为
8、70 mm,高为45 mm和底面直径为30 mm,高为3 0 mm的圆柱形零件毛坯各一个,需要截取直径为50 mm的圆钢多长?,解析 设截取直径为50 mm的圆钢x mm, 则 x= 45+ 30. 解得x=99. 答:需要截取直径为50 mm的圆钢99 mm.,1.在长方形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形,所标尺寸如图5 -3-1所示.若设AE=x,则下列方程正确的是 ( )图5-3-1 A.6+2x=14-3x B.6+2x=x+(14-3x) C.14-3x=6 D.6+2x=14-x,答案 B 由题图可知,AB=2x+6=小长方形的长+x,又小长方形的长=14 -3x,故2x+
9、6=(14-3x)+x.,2.已知有大、小两种纸杯与甲、乙两桶果汁,其中小纸杯与大纸杯的容 量比为23,甲桶果汁与乙桶果汁的体积比为45,若甲桶内的果汁刚 好装满120个小纸杯,则乙桶内的果汁最多可装满多少个大纸杯?,解析 设乙桶内的果汁最多可装满x个大纸杯,则甲桶内的果汁最多可 装满 x个大纸杯,由题意,得1202= x3,解得x=100,则乙桶内的果汁最 多可装满100个大纸杯.,1.如图所示,将一个正方形纸条剪去一个宽为5 cm的长条后,再从剩下的 长方形条上剪去一个宽为3 cm的长条,且第一次剪下的长条面积是第二 次剪下的长条面积的2倍,若设原正方形纸条的边长为x cm,则可列方程 为
10、 ( )A.5x=23(x-5) B.25x=3(x-5) C.5(x-3)=23x D.25(x-3)=3x,答案 A 第一次剪下的纸条的面积为5x cm2,第二次剪下的纸条的面 积为3(x-5)cm2,故有5x=23(x-5).,2.如图,一个盛有水的圆柱形玻璃容器的底面半径为10 cm,容器内水的 高度为12 cm,把一根半径为2 cm的玻璃棒垂直插入水中后,问容器内的 水将升高多少cm?,解析 设容器内的水将升高x cm,则 10212+22(12+x)=102(12+x), 解得x= . 答:容器内的水将升高 cm.,A.1 280 cm3 B.2 560 cm3 C.3 200 c
11、m3 D.4 000 cm3,答案 C 本题的相等关系:甲容器中水的体积=乙容器中水的体积,甲 容器中水的高度-乙容器中水的高度=8 cm.设甲容器中水的体积为x cm 3,则由题意,得 - =8.解得x=3 200.故选C.,二、解答题,2.(2018河南郑州实验学校第二次月考,22,)乐乐同学周末和妈妈 一起到农村参加献爱心志愿者活动,该村的李大爷正在用篱笆修建一个 长方形鸡舍栅栏,栅栏一面靠墙(墙面长度不限),三面用篱笆,篱笆总长6 0米,篱笆围成的长方形鸡舍的长比宽多6米,他提出几个问题想让乐乐 帮忙解决,请你用所学知识和乐乐一起来思考吧!(篱笆的占地面积忽略 不计) (1)长方形鸡舍
12、的面积是多少? (2)如果要在墙的对面留一个3米宽的门(门不使用篱笆),那么长方形鸡 舍的面积又是多少?,解析 设长方形鸡舍的宽为x米,则长为(x+6)米. (1)根据题意,分两种情况讨论: 当长方形鸡舍的长边靠墙时,由题意得x+x+x+6=60, 解得x=18,x+6=18+6=24. 1824=432. 所以,此时该长方形鸡舍的面积为432平方米. 当长方形鸡舍的宽边靠墙时,由题意得x+x+6+x+6=60, 解得x=16,x+6=16+6=22. 1622=352. 所以,此时该长方形鸡舍的面积为352平方米. 综上所述,长方形鸡舍的面积为432平方米或352平方米.,(2)根据题意及(
13、1),分两种情况讨论: x+x+x+6-3=60, 解得x=19,x+6=19+6=25. 1925=475. 所以,此时该长方形鸡舍的面积为475平方米. x-3+x+6+x+6=60, 解得x=17,x+6=17+6=23. 1723=391. 所以,此时该长方形鸡舍的面积为391平方米. 综上所述,长方形鸡舍的面积为475平方米或391平方米.,1.(2017山东滕州期末,15,)用A、B两种规格的长方形纸板(如图 )无重合无缝隙地拼接可得如图所示的周长为32 cm的正方形,已知 A种长方形的宽为1 cm,则B种长方形的面积是 ( )A.10 cm2 B.12 cm2 C.14 cm2
14、D.16 cm2,答案 B 设B种长方形的宽为x cm,由已知得大正方形的边长为324= 8 cm,则2x+41=8,解得x=2,所以B种长方形的长为8-2=6 cm,所以B种长 方形的面积为26=12 cm2.,2.(2017辽宁大石桥金桥管理区中学期末,17,)五个完全相同的小 长方形拼成如图所示的大长方形,大长方形的周长是32 cm,则小长方形 的面积是 cm2.,答案 12,解析 设小长方形的宽为x cm,则长为3x cm. 根据题意得,2(3x+3x+2x)=32. 解得x=2. 3xx=322=12, 所以小长方形的面积为12 cm2.,选择题,1.(2016黑龙江绥化中考,8,)
15、一个长方形的周长为30 cm,若这个长 方形的长减少1 cm,宽增加2 cm,就可成为一个正方形,设长方形的长为x cm,可列方程为 ( ) A.x+1=(30-x)-2 B.x+1=(15-x)-2 C.x-1=(30-x)+2 D.x-1=(15-x)+2,答案 D 长方形的长为x cm,长方形的宽为 -x=(15-x)cm,依题 意,得x-1=(15-x)+2,故选D.,答案 C 设题图中白色区域的面积为8x,则灰色区域的面积为3x,由 题意,得8x+3x=33,解得x=3, 则灰色区域的面积为33=9,故所求的面积为33+9=42.,(2015浙江绍兴中考,16,)实验室里,水平桌面上
16、有甲、乙、丙三 个圆柱形的容器(容器足够高),如图所示,底面半径之比为121,用两 个相同的管子在容器的5 cm高度处连通(即管子底离容器底5 cm),现三 个容器中,只有甲中有水,水位高1 cm,若每分钟同时向乙和丙注入相同 量的水,开始注水1分钟,乙的水位上升 cm,则开始注入 分钟的水量后,甲与乙的水位高度之差是0.5 cm.,答案 , ,解析 设注水时间为t分钟. 由题意分为以下几种情况: (1)甲的水位比乙的水位高0.5 cm. 要满足此条件,则1- t=0.5,解得t= . (2)乙的水位比甲的水位高0.5 cm. 开始注水1分钟,乙的水位上升 cm, 则开始注水1分钟,丙的水位上
17、升 = cm, 因为5 = , -1=0.250.5, 所以当乙的水位比甲的水位高5 cm时,丙的水位达到5 cm.,解析 (1)2;3. 放入一个小球水面升高 =2 cm, 放入一个大球水面升高 =3 cm. (2)设放入小球x个,则放入大球(10-x)个,根据题意得 50-26=2x+3(10-x), 解得x=6,10-x=10-6=4. 答:应放入大球4个,小球6个.,2.用正方形硬纸做无盖的三棱柱盒子,每个盒子由3个矩形侧面和1个正 三角形底面组成,硬纸板以如图5-3-5两种方法裁剪(裁剪后边角料不再 利用). A方法:剪6个侧面; B方法:剪4个侧面和5个底面.图5-3-5,现有17
18、张硬纸板,裁剪时x张用A方法,其余用B方法. (1)用含x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数; (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完,问能做多少个盒子?,解析 (1)裁剪出的侧面个数:6x+4(17-x)=2x+68. 裁剪出的底面个数:5(17-x)=-5x+85. (2)由题意得2x+68=3(-5x+85),解得x=11. (211+68)3=30,-511+85=30. 故能做30个盒子.,图是边长为30 cm的正方形纸板,裁掉阴影部分后将其折叠成如图 所示的长方体盒子,已知该长方体盒子的宽是高的2倍,则它的体积是 cm3.,答案 1 000,解析 设长方体盒子的高为x cm, 由题图知,其宽为 cm,其长为(30-2x)cm. 根据题意得, =2x,解得x=5, 故长方体盒子的宽为10 cm,长为20 cm, 则长方体盒子的体积为20105=1 000(cm3).,
