1、第五章 一元一次方程,初中数学（北师大版）七年级 上册,知识点 生活中的数量分配问题 1.列一元一次方程解应用题的步骤 (1)审题:弄清题意及题中的数量关系. (2)设元:用字母设出未知数. (3)列方程:根据题意,找到等量关系,列方程. (4)解方程:求方程的解. (5)检验:检验所求的方程的解是否符合题意. (6)作答.,解析 设王叔叔购买甲种人参x棵,乙种人参(15-x)棵,根据题意,得100x+ 70(15-x)=1 200,解得x=5,则15-x=10. 答:王叔叔购买甲种人参5棵,乙种人参10棵.,题型一 利用表格解决工程问题 例1 某项工作,甲单独做需要4小时,乙单独做需要6小时
2、,甲先做30分 钟,然后甲、乙合作.问:甲、乙合作还需要多少小时才能完成全部工作?,解析 设甲、乙合作还需要x小时才能完成全部工作,则甲、乙两人的 工作效率、工作时间、工作量如下表:,从表中可以找到等量关系:甲的工作量+乙的工作量=总工作量,即 + x=1,解方程得x=2.1. 答:甲、乙合作还需要2.1小时才能完成全部工作.,点拨 列表的目的是把题目中所给出的条件和要求的量在一个表格中 显示出来,这样可以使那些较为复杂的关系条理清楚,往往能较快地发 现等量关系.,题型二 解决多余与不足问题 例2 若干辆汽车装运一批货物,每辆装3.5吨,这批货物就有2吨不能运 走;每辆装4吨,那么装完这批货物
3、后,还可以装其他货物1吨,问汽车有多 少辆?这批货物的总质量是多少吨? 分析 本题有两个不变量,装运货物的汽车的数量和货物的总质量,设 有x辆汽车,然后用含x的两种代数式表示货物的总质量,然后用等号连 接这两个代数式构造一个方程.,解析 设有x辆汽车. 依据题意得3.5x+2=4x-1, 解这个方程,得x=6,则4x-1=23. 答:汽车有6辆,这批货物的总质量为23吨.,知识点 生活中的数量分配问题 1.练习本比水性笔的单价少2元,小刚买了5本练习本和3支水性笔正好 用去14元.如果设水性笔的单价为x元,那么下列方程正确的是 ( ) A.5(x-2)+3x=14 B.5(x+2)+3x=14
4、 C.5x+3(x+2)=14 D.5x+3(x-2)=14,答案 A 由题意得,练习本的单价为(x-2)元,买5本练习本和3支水性笔 共用5(x-2)+3x元,故选A.,2.(2016福建莆田期末)某土建工程共需动用15台挖运机械,每台机械每 分钟能挖土3 m3或者运土2 m3.为了使挖土和运土工作同时结束,安排了 x台机械运土,这里x应满足的方程是 ( ) A.2x=3(15-x) B.3x-2x=15 C.15-2x=3x D.3x=2(15-x),答案 A 由运土机械为x台知挖土机械为(15-x)台. 由题意得2x=3(15-x).,3.小丽和爸爸一起玩投篮球游戏,两人商定规则:小丽投
5、中1个得3分,爸 爸投中1个得1分,结果两人一共投中了20个,得分刚好相等.则小丽投中 了 个.,答案 5,解析 设小丽投中x个,则爸爸投中(20-x)个, 根据题意,得3x=(20-x)1. 解得x=5.则小丽投中了5个.,4.一个大人一餐能吃四个面包,两个幼儿一餐共吃一个面包,大人和幼儿 共7人,共吃了14个面包,则大人、幼儿各有多少人?,解析 设大人有x人,则幼儿有(7-x)人, 根据题意得4x+ =14,解得x=3,7-3=4(人). 答:大人有3人,幼儿有4人.,5.(2013云南曲靖中考)某种仪器由1个A部件和1个B部件配套构成,每个 工人每天可以加工A部件1 000个或者加工B部
6、件600个,现有工人16名, 应怎样安排人力,才能使每天生产的A部件和B部件配套?,解析 设安排生产A部件的工人为x人,则生产B部件的工人为(16-x)人, 根据题意得1 000x=600(16-x),解得x=6,则16-x=10. 答:安排生产A部件和B部件的工人分别为6人,10人.,1.某项工程,甲单独完成要45天,乙单独完成要30天,若乙先单独干22天, 剩下的由甲去完成,问甲、乙一共用多少天可全部完成任务?设甲、乙 共用x天可全部完成任务,下列方程符合题意的是 ( ) A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1,答案 A 由题意,得甲一共干了(x-22)天,共完成总
7、工程的 ,乙共 完成总工程的 ,故得 + =1,故选A.,2.甲仓库存煤200吨,乙仓库存煤70吨,若甲仓库每天运出15吨煤,乙仓库 每天运进25吨煤,则 天后乙仓库存煤比甲仓库多1倍.,答案 6,解析 设x天后乙仓库存煤比甲仓库多1倍,则70+25x=2(200-15x),解得x =6.,3.甲、乙两人检修一条长1 000 m的煤气管道,甲每小时检修100 m,乙每 小时检修150 m.现在两人合作,需要 小时完成.,答案 4,解析 设两人合作需要x小时完成,根据题意,得100x+150x=1 000,解得x =4.,4.一艘船的货舱容积为2 000立方米,可载重500吨,现有甲、乙两种货物
8、 待装,已知甲种货物每吨的体积为7立方米,乙种货物每吨的体积为2立 方米,两种货物各应装多少吨最合理(不计货物之间的空隙)?,解析 设甲种货物装x吨,则乙种货物装(500-x)吨. 由题意得7x+2(500-x)=2 000, 5x=1 000, 解得x=200, 500-200=300(吨). 答:甲种货物装200吨,乙种货物装300吨.,5.某天一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场买了西红柿和豆角共40 千克到菜市场去卖,西红柿和豆角这天的批发价和零售价如下表所示:,(1)求他当天从蔬菜批发市场买了西红柿和豆角各多少千克; (2)求他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱.,解析 (1)设买了
9、x千克西红柿,则买豆角(40-x)千克. 依题意得,1.2x+1.6(40-x)=60,解得x=10, 则40-10=30(千克). 答:他当天买了10千克西红柿,30千克豆角. (2)1.810+2.530-60=33(元). 答:他当天卖完这些西红柿和豆角能赚33元钱.,1.修一条排水渠,甲队单独做需10天,乙队单独做需15天,现由两队合修, 中途乙队被调走,余下的任务由甲队单独做,又修了5天后完成,在这个过 程中,甲、乙两队合修了 ( ) A.2天 B.3天 C.4天 D.5天,答案 B 设甲、乙两队合修了x天,则 x+5 =1,解这个方程, 得x=3.,2.我市某服装厂要生产一批学生校
10、服,已知每3 m的布料可做上衣2件或 裤子3条,因裤子旧得快,要求一件上衣和两条裤子配一套,现计划用1 00 8 m的布料加工成学生校服,应如何安排布料加工上衣和裤子才能刚好 配套?且能加工多少套校服?,解析 设用x米布料做上衣,则用(1 008-x)米布料做裤子,由题意得 2 2= 3, 解得x=432, 1 008-x=1 008-432=576. 2=288. 答:安排布料432米加工上衣,576米加工裤子才能刚好配套,能加工288套 校服.,1.数学考试出了15道题,做对一题得4分,做错一题扣2分,若王刚做了全 部15道题,共得了36分,那么他做对了 ( ) A.10道题 B.11道题
11、 C.12道题 D.13道题,答案 B 设做对了x道题,则做错了(15-x)道题,根据题意得4x-2(15-x)= 36,解得x=11,故选B.,2.将一堆桃子分给几只猴子,每只猴子分4个,剩余3个,每只猴子分5个,会 少2个,那么桃子和猴子的数量分别为 ( ) A.4,19 B.5,23 C.6,27 D.7,31,答案 B 设有x只猴子,则根据题意得4x+3=5x-2,解得x=5,4x+3=45+3 =23,所以有5只猴子,23个桃子.,3.江南生态食品加工厂收购了一批质量为10 000千克的某种山货,根据 市场需求对其进行粗加工和精加工处理,已知精加工的该种山货的质量 比粗加工的质量的3
12、倍还多2 000 千克,求粗加工的该种山货的质量.,解析 设粗加工的该种山货的质量为x千克,则精加工的该种山货的质 量为(3x+2 000)千克. 根据题意得x+(3x+2 000)=10 000,解得x=2 000. 答:粗加工的该种山货的质量为2 000千克.,4.甲、乙两个汽车厂按计划每月共生产汽车460辆,由于两厂都改进了 技术,甲厂本月完成计划的110%,乙厂本月完成计划的115%,两厂共生 产汽车519辆,按计划甲、乙两厂各应生产多少辆汽车?,解析 设计划甲厂生产x辆汽车,则计划乙厂生产(460-x)辆汽车,根据题 意得 110%x+115%(460-x)=519,解得x=200.
13、 460-200=260(辆). 答:甲厂计划生产200辆汽车,乙厂计划生产260辆汽车.,5.甲、乙两人想共同承包一项工程,甲单独做30天完成,乙单独做20天完 成,合同规定15天完成,否则每超过1天罚款1 000元,甲、乙两人经商量 后签订了该合同. (1)正常情况下,甲、乙两人能否履行该合同?为什么? (2)现两人合作了这项工程的75%,因别处有急事,必须调走1人,问调走谁 更合适些?为什么?,解析 (1)能履行该合同. 设甲、乙合作x天完成,则有 + x=1,解得x=12. 因为1215,所以两人能履行该合同. (2)由(1)知,两人合作完成这项工程的75%需要的时间为1275%=9(
14、天). 剩下6天必须由某人做完余下的工程,故他的工作效率为25%6= ,因 为 ,故调走甲合适.,答案 C 设x人挖土,则(27-x)人运土,根据题意得, 4x=5(27-x),解得x=15,27-15=12(人),故选C.,解析 设原计划租45座客车x辆,根据题意得, 45x+15=60(x-1), 解得x=5, 所以需租45座客车6辆,60座客车4辆. 租45座客车费用:250(5+1)=1 500元,租60座客车费用:300(5-1)=1 200元,因为1 5001 200元,所以租60座客车更合算,需租4辆.,1.(2017广东广州海珠期末,21,)足球比赛规定:胜一场得3分,平一 场
15、得1分,负一场得0分.某队参加了16场比赛,共得30分,已知该队只输了 2场,那么这个队胜了几场?平了几场?,解析 设这个队胜了x场,则平了(14-x)场. 根据题意得3x+(14-x)1=30, 解得x=8,则14-x=6. 答:这个队胜了8场,平了6场.,2.(2017北京昌平期末,25,)为纪念红军长征胜利80周年,让人们更好地了解历史,开展爱国主义教育,传承和弘扬伟大的长征精神,军事博物馆举办“英雄史诗 不朽丰碑纪念中国工农红军长征胜利80周年主题展览”活动.展览图片、文物、艺术品共计572件,文物比艺术品的5倍还多27件,图片比文物、艺术品的和少22件,求展出的艺术品有多少件.,解析
16、 设展出的艺术品有x件,则展出的文物有(5x+27)件,图片有(5x+27 +x-22)件. 根据题意,得(5x+27)+x+(5x+27+x-22)=572, 解方程得x=45. 答:展出的艺术品有45件.,答案 C 若安排x名工人生产螺钉,则生产螺母的工人为(26-x)名.根据 题意,可列方程为1 000(26-x)=2800x,故选C.,解析 设鸡有x只,则兔有(35-x)只. 依题意,得2x+4(35-x)=94, 解得x=23,35-23=12. 答:鸡有23只,兔有12只.,3.(2016云南中考,17,)食品安全是关乎民生的重要问题,在食品中 添加过量的添加剂对人体健康有害,但适
17、量的添加剂对人体无害而且有 利于食品的储存和运输.为提高质量,做进一步研究.某饮料加工厂需生 产A、B两种饮料共100瓶,需加入同种添加剂270克,其中A饮料每瓶需 加该添加剂2克,B饮料每瓶需加该添加剂3克,饮料加工厂生产了A、B 两种饮料各多少瓶?(8分),解析 设饮料加工厂生产了A种饮料x瓶,则生产B种饮料(100-x)瓶,根据 题意得 2x+3(100-x)=270,解得x=30, 100-x=100-30=70. 答:饮料加工厂生产了A种饮料30瓶,B种饮料70瓶.,1.(2016山东聊城中考,8,)在如图的2016年6月份的月历表中,任意 框出表中竖列上三个相邻的数,这三个数的和不
18、可能是 ( )A.27 B.51 C.69 D.72,答案 D 设所框出的竖列上三个相邻的数分别为x-7,x,x+7,其中x为正 整数,则这三个数的和为(x-7)+x+(x+7)=3x.当3x=27时,x=9,可能;当3x=51 时,x=17,可能;当3x=69时,x=23,可能;当3x=72时,x=24,不可能.故选D.,2.(2016湖南湘潭中考,7,)程大位直指算法统宗:一百馒头一 百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚得几丁.意思是:有100 个和尚分100个馒头.如果大和尚1人分3个,小和尚3人分1个,正好分完, 试问大、小和尚各多少人?设大和尚有x人,依题意列方程得 ( )
19、 A. +3(100-x)=100 B. -3(100-x)=100 C.3x+ =100 D.3x- =100,答案 C 由题意得3x+ =100.,3.(2017湖南张家界中考,18,)某校组织“大手拉小手,义卖献爱 心”活动,购买了黑白两种颜色的文化衫共140件,进行手绘设计后出售, 所获利润全部捐给山区困难孩子.每件文化衫的批发价和零售价如下表:,假设文化衫全部售出,共获利1 860元,求黑白两种文化衫各多少件.,解析 设黑色文化衫有x件,则白色文化衫有(140-x)件, 根据题意,得(25-10)x+(20-8)(140-x)=1 860,解得x=60. 140-60=80. 答:黑
20、色文化衫有60件,白色文化衫有80件.,4.(2016湖北黄冈中考,16,)在红城中学举行的“我爱祖国”征文 活动中,七年级和八年级共收到征文118篇,且七年级收到的征文篇数是 八年级收到的征文篇数的一半还少2篇,求七年级收到的征文有多少篇.,解析 设八年级收到的征文有x篇,则七年级收到的征文有 篇. 依题意得 +x=118, 解得x=80,则118-80=38. 答:七年级收到的征文有38篇.,1.某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生,购买了钢笔30支,毛笔 45支,共用了1 755元,其中每支毛笔比钢笔贵4元. (1)钢笔和毛笔的单价各为多少元? (2)学校仍需要购买上述的两种笔共10
21、5支(每种笔的单价不变).陈老 师做完预算后,对财务处王老师说:“我这次买这两种笔需支领2 447 元.”王老师算了一下,说:“如果你用这些钱只买这两种笔,那么账肯定 算错了.”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说陈老师用这些钱 只买这两种笔的账算错了. 陈老师突然想起,所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔.如 果签字笔的单价为小于10元的整数,请通过计算,求出签字笔的可能单价.,解析 (1)设钢笔的单价为x元,则毛笔的单价为(x+4)元.由题意得,30x+4 5(x+4)=1 755,解得x=21,则x+4=25. 故钢笔的单价为21元,毛笔的单价为25元. (2)设单价为21元的钢笔
22、有y支, 则单价为25元的毛笔有(105-y)支. 根据题意,得21y+25(105-y)=2 447, 解得y=44.5(不符合题意). 所以陈老师肯定算错了账. 设单价为21元的钢笔有z支,则单价为25元的毛笔有(105-z)支,设签字 笔的单价为a元, 则根据题意,得21z+25(105-z)=2 447-a,整理得4z=178+a, 因为a、z都是整数,所以178+a应被4整除, 所以a为偶数, 又因为a为小于10的整数, 所以a可能为2、4、6、8. 当a=2时,4z=180,解得z=45,符合题意; 当a=4时,4z=182,解得z=45.5,不符合题意; 当a=6时,4z=184
23、,解得z=46,符合题意; 当a=8时,4z=186,解得z=46.5,不符合题意. 所以签字笔的单价可能为2元或6元.,2.(2018山西农大附中第三次月考)公园门票价格规定如下表:,某校七年级(1)、(2)两个班共104人去游公园,其中(1)班人数较少,不足5 0人,(2)班超过50人,但不足100人.经估算,如果两个班都以班为单位购 票,则一共应付1 240元,问: (1)两班各有多少名学生? (2)如果两班联合起来,作为一个团体购票,可省多少钱? (3)如果七年级(1)班单独组织去游公园,作为组织者的你将如何购票才 最省钱?,解析 (1)设七年级(1)班有x名学生,则七年级(2)班有(
24、104-x)名学生.依 题意得13x+11(104-x)=1 240,解得x=48. 答:七年级(1)班有48名学生,七年级(2)班有56名学生. (2)1 240-1049=304(元),可省304元. (3)要想享受优惠,由(1)可知七年级(1)班48人,只需多买3张票,此时所需 费用为5111=561(元),4813=624元561元,48人买51人的票可以更 省钱.,国家为控制房价,出台新规定“征收非唯一二手房房产交易盈利部分 的20%的个人所得税”(房产交易盈利=实际成交价格-原购买价格).老 王五年前购买了第二套房产,总价为60万,现想把这套房卖掉.除个人所得税外,还要缴纳契税、营
25、业税及其他税.如下表:,老王这套房子现在的市场价为7 000元/m2. (1)假设老王房子的面积是150 m2,求老王共纳税多少万元; (2)老王这套房子实际共纳税100 500元,求老王这套房子的面积.,解析 (1)7 000150=1 050 000元=105万元,105-60=45(万元), 45(20%+5.5%)+105(3%+1%) =450.255+1050.04 =11.475+4.2 =15.675(万元). 答:老王共纳税15.675万元.,(2)100 500元=10.05万元.设老王这套房子的面积是x m2,则实际成交价 格是0.7x万元,房产交易盈利为(0.7x-60)万元,当010.05万元,则老王这套房子的面积的 范围是90x144,则0.7x(1.5%+1%)+(0.7x-60)20%=10.05, 解得x=140. 答:老王这套房子的面积是140 m2.,
