1、1吉林省长春市实验中学 2019 届高三数学上学期期末考试试题 理考试时间：120 分钟 分值：150 分1选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 , |21xB，则 （ ）32|xyABAA B C D |x|0| 023|x2.若复数 43(cos)(sin)5zi是纯虚数（ i为虚数单位） ，则 tan()4的值为（ ）A 7 B 17 C 7 D 7或 13.函数 20.5log(3)yx的递增区间为 A 3(,)2 B , C (2,) D (,1)4.若 mn是两条不同的直线， ,是三个不同的平面， /, /,/mnn
2、 /,n 若 , ，则 /则以上说法中正确的有( )个A 1 B 2 C 3 D 45.下列判断中正确的是（ ）A “若 0m，则 20x有实数根”的逆否命题是假命题B “ 3”是“直线 (1)y与直线 6(1)4xy平行”的充要条件C 命题“ ,sinco2xRx”是真命题D 已知命题 0:p，使得 0lgs；命题 :0,3xq，则 pq是真命题.6.设数列 na中，若 )N(21nan，则称数列 na为“凸数列”.已知数列nb为“凸数列” ，且 b， ，则数列 nb的前 2019 项和为（ ）2A1 B C D 1457.若向量 ,mn满足 4,529nm，则与 n夹角的余弦值是（ ）A
3、716 B 9 C 316 D 3168.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A 20 B 15 C 10 D 59.设 ABC的一个顶点是 (3,1)A， ,BC的平分线方程分别为 0,xy，则直线的方程为（ ）A 25yx B C 5yx D 152y52xy10.已知函数 ()sin()0,)fA的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A 函数 ()fx的周期为 B 函数 ()yfx为偶函数C 函数 在 ,4上单调递增 D 函数 的图象关于点 3(,0)4对称11.函数 21()ln(0)fxxa在区间 1,32上有且仅有一个极值点，则实数 a的取值范围是（ ）3A 5(
4、,32 B 510,)23 C 510(,23 D 102,312.设函数 )fx是定义在 R上的函数，且对任意的实数 x，恒有 ()0fx，当 1,0x时， 2()f若 logag在(1(f0,)x上有且仅有三个零点，则 a的取值范围为（ ）A (35 B 4,6 C 3,5 D (4,6)2填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，将正确的答案填在横线上13.曲线 与 x轴所围成的封闭图形的面积是_)20(sinxy14. ABC、 、 是平面上不共线的三点， O为 ABC所在平面内一点， D是 AB的中点，动点 P满足 1()(1)()3ODR，则点 P的轨迹一定过_心（内心、外心、垂心
5、或重心） 15.已知圆 21:0xy，圆 2:60xy，则两圆的公共弦长是 _16.我国古代数学名著九章算术中有这样一些数学用语， “堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵， ACB，若 12AB，当阳马 1AC体积最大时，则堑堵 1AB的外接球的体积为_3 解 答 题 ： 本 题 共 6 小 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤17(本题共 10 分）已知等差数列 na中， ，前 12 项和 (1)求数列a n的通项公式；11862S4(2)
6、若数列 满足 12nanb，记数列 的前 项和为 ，求证： n nbnT167nT。)(*N18(本题共 12 分)已知向量 ， ，若 ，且函)2cos,sin2(xa )2(sin,(cobbaxf)(数 的图象关于直线 对称.（1）求 的单调递减区间；)xf 6)xf（2）在 中，角 的对边分别为 ，若 ，且 ，ABC, ca,)(Af5，求 外接圆的面积.3c19(本题共 12 分)设 3logfx（1）若 1xf，判断并证明函数 ygx的奇偶性；（2）令 3hff， ，求函数 h的最大值和最小值.27,1x20(本题共 12 分)如图所示的几何体中，四边形 ABCD为等腰梯形， AB
7、CD， 2A，四边形 EF为正方形，平面 EF平面 .06DAB（）若点 G是棱 的中点，求证： G平面 ；（）求直线 与平面 所成角的正弦值；（）在线段 C上是否存在点 H，使平面 BD平面 HA？若存在，求 FHC的值；若不存在，说明理由.521(本题共 12 分)如图，圆 C： 01(22 ayxa（）若圆 C与 x轴相切，求圆 C的方程；（）已知 1a，圆 与 轴相交于两点 ,MN（点 在点 的左侧） 过点 M任作一条直线与圆 O： 42yx相交于两点 AB问：是否存在实数 a，使得BNMA？若存在，求出实数 a的值，若不存在，请说明理由22 (本题共 12 分)已知函数 .xaxfl
8、n)0(1)若 ，求 的最小值； (2)若 ,求 的单调区间；1a)(a)(xf(3)试比较 与 的大小 ,并证明你22l3llnn )1(n)2*nN且的结论.6长春市实验中学2018-2019 学年上学期期末考试高三数学试卷（理）参考答案3选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C A D B D C A C B C B A4填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，将正确的答案填在横线上13.4 14重心 15 16. 3284 解 答 题 ： 本 题 共 6 小 题 ，
9、共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤23(本题共 10 分）【解答】(1)设等差数列a n的公差为 d， a 1=1，S 12=186， ， daS2112即 186=-12+66d d=3，所以数列 的通项公式为n 43)(nan（2） 又 所以nanb)21(43)(n8)2(31b数列 是以 为首项，公比是 的等比 1 所以n18 )81(7681)(nnnT, ，80)8(n)*N)(n)*N716716nT24(本题共 12 分)【答案】 （） ，函数 的图象关于直线 对称， ， ， ，又 ， . .由，得 的单调递减区间为 ，
10、 .（） ， . ，实验 卓越 幸福7， ， .在 中，由余弦定理得， .由正弦定理得 ， ， 外接圆的面积25(本题共 12 分)【答案】 （1） 的定义域为)1(log)(3xxfg)1(log(3x, )(l)(l)(l)1(lo)( 31333 xgx 所以函数 为奇函数gy（注：没求定义域，或者定义域求错的，该问得 0 分）（2），)log1(l2)3(lol)( 333 xxxh设 ， 因 ，所以 令 ， 所以tg71t)1(2ty3t当 时，即 时， 当 时即 时23x8)(minxh7x6(maxh26(本题共 12 分)【答案】 （）证明：由已知得 / ，且 .EFCD=因为
11、 为等腰梯形，所以有 / .因为 是棱 的中点，所以 ABCDBGAB=GCD所以 / ，且 ，故四边形 为平行四边形 ,所以 / . EFG=EFB因为 平面 ， 平面 ，所以 /平面 E解：（）因为四边形 为正方形，所以 .因为平面 平面 ，CDEFEDCDEFABC平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 .AB在 中，因为 ， ，602A所以由余弦定理，得 ，所以 在等腰梯形 中，可得3B8. 1DCB如图,以 为原点，以 所在直线分别为 轴，DABE， ， ,xyz建立空间坐标系， 则 ， ， ， ， ，0,0,10,313,2F所以 ， ， . 1,AE,2F,0DB设平面 的法向量为
12、，由BD,nxyz.nF，所以 ，取 ，则 ，得 3012yxz12,0y2,1n设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，AEBDFsinco,AE0所以 与平面 所成的角的正弦值为 . 10（）线段 上不存在点 1AC，使平面 B平面 na证明如下： 假设线段 1a上存在点 862S，设 nb，则 12nanb设平面 n的法向量为 nT，由 167nT所以 )(*N，取 )2cos,i(xa，则 )2(si,b，得 baxf)(要使平面 f平面 6x，只需 ABC，即 CB,， 此方程无解所以线段 cba,上不存在点 )(f，使平面 5b32c平面 3logfx27(本题共 12 分)【答案】
13、（）因 0)1(22ayxa得 ，由题意得 0)1(4)1(22，0)1(2xa所以 ,故所求圆 C 的方程为 （）令 ，得 )(2，即 xy所以 假设存在实数 a，),(NM当直线 AB 与 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 )1(ky，x代入 42得， 041(22xk，设 从而 21,),),(21yBA9,12ANBNyykkxax因 又因为 )()(1)1(2221 ax而 axa2)( 1211 kak42228k因为 ，所以 ，即 ，得 当直线BNMA021axy0182k4AB 与 轴垂直时，也成立故存在 ，使得 . x4BNMA考点：1.圆的方程；2.直线与圆相交的综合运用
14、28(本题共 12 分)已知函数 .(1)若 ，求 的最小值；xafln)0()(xf(2)若 ,求 的单调区间；0a(3)试比较 与 的大小 ,并说明你22l3lln )1(n)2(*nN且的理由.【答案】(1) 当 时, ， 在 上是递增.1xxfl)(.0,xf)(f,1当 时 , , . 在 上是递减.0fln)(1)(ff,故 时, 的增区间为 ,减区间为 , .a0)()(min(2) 若 ,1当 时, , ,则 在区间 上是递xxaxfl)()(xf xf,a增的;当 时 , , ,则 在区间 上是递减0fln)(01)(f )(f,0的 若 ,1a当 时, )(xf, , ;.
15、 则 O在 42y上是递增的, O在 上是递减的; 当 )1(2n时, )(*nN且 , O在区间 上是递减的,而 在 处有意义;则 在区间 42yx上是递增的,在区间 上是递减的 综上: 当 )0(a时, 的递增区间是 2ln3 ,递减区间是 ;当 , 的递增区间是 42yx,递减区间是(3)由(1)可知,当 时,有 即10lx1l则有 a10=C故： 1a. 11长春市实验中学2018-2019 学年上学期期末考试高三数学试卷（理）参考答案5选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
16、答案 C A D B D C A C B C B A6填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，将正确的答案填在横线上13.4 14重心 15 16. 3285 解 答 题 ： 本 题 共 6 小 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤29(本题共 10 分）【解答】(1)设等差数列a n的公差为 d， a 1=1，S 12=186， ， daS2112即 186=-12+66d d=3，所以数列 的通项公式为n 43)(nan（3） 又 所以nanb)21(43)(n8)2(31b数列 是以 为首项，公比是 的等比 1 所以n18
17、 )81(7681)(nnnT, ，80)8(n)*N)(n)*N716716nT30(本题共 12 分)【答案】 （） ，函数 的图象关于直线 对称， ， ， ，又 ， . .由，得 的单调递减区间为 ， .（） ， . ，实验 卓越 幸福12， ， .在 中，由余弦定理得， .由正弦定理得 ， ， 外接圆的面积31(本题共 12 分)【答案】 （1） 的定义域为)1(log)(3xxfg)1(log(3x, )(l)(l)(l)1(lo)( 31333 xgx 所以函数 为奇函数gy（注：没求定义域，或者定义域求错的，该问得 0 分）（2），)log1(l2)3(lol)( 333 xxx
18、h设 ， 因 ，所以 令 ， 所以tg71t)1(2ty3t当 时，即 时， 当 时即 时23x8)(minxh7x6(maxh32(本题共 12 分)【答案】 （）证明：由已知得 / ，且 .EFCD=因为 为等腰梯形，所以有 / .因为 是棱 的中点，所以 ABCDBGAB=GCD所以 / ，且 ，故四边形 为平行四边形 ,所以 / . EFG=EFB因为 平面 ， 平面 ，所以 /平面 E解：（）因为四边形 为正方形，所以 .因为平面 平面 ，CDEFEDCDEFABC平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 .AB在 中，因为 ， ，602A所以由余弦定理，得 ，所以 在等腰梯形 中，可得3
19、B13. 1DCB如图,以 为原点，以 所在直线分别为 轴，DABE， ， ,xyz建立空间坐标系， 则 ， ， ， ， ，0,0,10,313,2F所以 ， ， . 1,AE,2F,0DB设平面 的法向量为 ，由BD,nxyz.nF，所以 ，取 ，则 ，得 3012yxz12,0y2,1n设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，AEBDFsinco,AE0所以 与平面 所成的角的正弦值为 . 10（）线段 上不存在点 H，使平面 BDF平面 HA证明如下： C假设线段 F上存在点 ，设 3,2tt，则 13,2Dt设平面 HAD的法向量为 ,mabc，由 0,.所以0abtc，取 1c，则 20
20、,3abt，得 2,13t要使平面 BF平面 ，只需 0n，即 01t， 此方程无解所以线段 C上不存在点 H，使平面 BDF平面 HA33(本题共 12 分)【答案】 （）因 0)1(22ayxa得 ，由题意得 0)1(4)1(22，0)1(2xa所以 ,故所求圆 C 的方程为 （）令 ，得 )(2，即 xy所以 假设存在实数 a，),(NM当直线 AB 与 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 )1(ky，x代入 42得， 041(22xk，设 从而 21,),),(21yBA14,12ANBNyykkxax因 又因为 )()(1)1(2221 ax而 axa2)( 1211 kak4222
21、8k因为 ，所以 ，即 ，得 当直线BNMA021axy0182k4AB 与 轴垂直时，也成立故存在 ，使得 . x4BNMA考点：1.圆的方程；2.直线与圆相交的综合运用34(本题共 12 分)已知函数 .(1)若 ，求 的最小值；xafln)0()(xf(2)若 ,求 的单调区间；0a(3)试比较 与 的大小 ,并说明你22l3lln )1(n)2(*nN且的理由.【答案】(1) 当 时, ， 在 上是递增.1xxfl)(.0,xf)(f,1当 时 , , . 在 上是递减.0fln)(1)(ff,故 时, 的增区间为 ,减区间为 , .a0)()(min(2) 若 ,1当 时, , ,则
22、 在区间 上是递xxaxfl)()(xf xf,a增的;当 时 , , ,则 在区间 上是递减0fln)(01)(f )(f,0的 若 ,1a当 x时, xaxfl)(, xf1)(, )(1,xf;0,. 则 )(f在 上是递增的, )(f在 a上是递减的; 当 a0时 , fln)(, 0)(f)(xf在区间 上是递减的,而 x在 a处有意义;则 在区间 1上是递增的,在区间 1,0上是递减的 综上: 当 时, )(xf的递增区间是 ,递减区间是 a,;当 0a, 的递增区间是 ,递减区间是(3)由(1)可知,当 时,有 即lnxx1l则有 22ln3lln15222131n )13(22n)4(n 12)1(n= )(2n故： 2l3ll )1(2.
