1、1考查角度 1 直线与圆的方程分类透析一 圆的方程及其应用例 1 已知圆 C 关于 y 轴对称,经过点(1,0)且被 x 轴分成两段弧长比为 12,则圆 C 的方程为( ).A. +y2= B. +y2=(x33)2 43 (x33)2 13C.x2+ = D.x2+ =(y33)243 (y33)213解析 由题意知圆心在 y 轴上,且被 x 轴所分的劣弧所对的圆心角为 .设圆心为(0, a),半23径为 r,则 rsin =1,rcos =|a|,解得 r= ,即 r2= ,|a|= ,则 a= ,故圆 C 的方程为 x2+ 3 3 233 43 33 33= ,选 C.(y33)243答
2、案 C方法技巧 关于确定圆的标准方程问题,可以利用待定系数法、几何法等知识进行处理,而确定圆心和半径是解题的关键,可以借助圆的几何性质求圆心坐标和半径 .分类透析二 直线与圆的位置关系的判定与应用例 2 直线 2tx-y-2-2t=0(tR)与圆 x2+y2-2x+4y-4=0 的位置关系为( ).A.相离 B.相切C.相交 D.以上都有可能解析 可将圆的方程化为( x-1)2+(y+2)2=9, 圆心为(1, -2),半径 r=3.又圆心在直线 2tx-y-2-2t=0 上, 直线与圆相交,选 C.答案 C方法技巧 判定直线与圆的位置关系,可以利用代数法和几何法进行判定,代数法就是利用方程的
3、根的个数进行判定,几何法就是利用圆心到直线的距离和其半径大小进行比较,从而确定其位置关系 .2例 3 已知直线 l:y=- (x-1)与圆 O:x2+y2=1 在第一象限内交于点 M,且 l 与 y 轴交于3点 A,则 MOA 的面积等于 . 解析 依题意可得,直线 l:y=- (x-1)与 y 轴的交点 A 的坐标为(0, ).3 3由 得点 M 的横坐标 xM= 或 xM=1(不合题意) .x2+y2=1,y= - 3(x-1), 12所以 MOA 的面积为 S= |OA|xM= = .12 12 3 12 34答案34方法技巧 根据直线与圆的位置不同,构造出的一些平面图形问题,解题时要注
4、意平面图形问题的处理思路和方法,涉及面积时,可以借助一些圆的性质进行计算 .分类透析三 圆的切线和弦长问题例 4 过点(1,1)的直线与圆( x-2)2+(y-3)2=9 相交于 A,B 两点,则 |AB|的最小值为( ).A.2 B.4 C.2 D.53 5解析 由圆的几何性质可知,当点(1,1)为弦 AB 的中点时, |AB|的值最小 .又因为点(1,1)与圆心(2,3)的距离 d= ,所以 |AB|=2 =2 =4.5 r2-d2 9-5答案 B方法技巧 先判断已知点和圆的位置关系,若已知点在圆外,则此时最小值为 0;若已知点在圆内,则该点为弦 AB 的中点时, |AB|的值最小,此时的
5、最大值为已知圆的直径 .例 5 已知点 M(3,1)及圆( x-1)2+(y-2)2=4,则过点 M 的圆的切线方程为 .解析 结合已知条件,得圆心 C(1,2),半径 r=2,当直线的斜率不存在时,方程为 x=3.由圆心 C(1,2)到直线 x=3 的距离 d=3-1=2=r 知,此时直线与圆相切 .当直线的斜率存在时,设方程为 y-1=k(x-3),即 kx-y+1-3k=0,由题意知 =2,解得 k= ,故方程为 y-1= (x-3),即 3x-4y-|k-2+1-3k|k2+1 34 345=0.综上,过点 M 的圆的切线方程为 x=3 或 3x-4y-5=0.答案 x=3 或 3x-
6、4y-5=03方法技巧 解决圆的切线问题,关键是确定切线的斜率,可以根据直线与圆相切的条件进行处理,尤其需要注意直线的斜率是否存在 .1.(2018 年全国 卷,文 6 改编)已知圆 C:(x-2)2+y2=2 和直线 x+y+2=0,点 P 在直线上,则过点 P 作圆 C 的切线,切点为 Q,则 |PQ|的最小值为 . 解析 连接 CQ,PC(图略),则 |PQ|2=|PC|2-r2(其中 r 为已知圆 C 的半径),当 |PC|最小时,|PQ|有最小值,即先求点 C 到直线的距离 |PC|的最小值,故此时点 C(2,0)到直线 x+y+2=0 的距离为 2 ,|PQ = = .2 |min
7、(2 2)2-( 2)2 6答案 62.(2016 年全国 卷,文 6 改编)圆 x2+y2-2ax-8y+13=0 的圆心到直线 x+y-1=0 的距离为 ,2则 a=( ).A.-1 B.-5 C. D.-1 或 -53解析 圆 x2+y2-2ax-8y+13=0 化为标准方程为( x-a)2+(y-4)2=3+a2,故圆心坐标为( a,4),则圆心到直线 x+y-1=0 的距离 d= = ,|a+4-1|12+12 2解得 a=-1 或 a=-5,故选 D.答案 D3.(2016 年全国 卷,文 15 改编)已知直线 l:x+y-1=0 与圆 x2+y2=25 交于 A,B 两点(设点
8、A位于第四象限),过 A 作 l 的垂线与 x 轴交于 C 点,则 ABC 的面积为 . 解析 联立方程组 得 或 故点 A(4,-3),点 B(-x+y-1=0,x2+y2=25, x= -3,y=4 x=4,y= -3,3,4),所以直线 AC 的方程为 y=x-7,得 C(7,0),所以可得 |AB|=7 ,|AC|=3 .又因为2 2AB AC,所以 S ABC= |AB|AC|= 7 3 =21.12 12 2 2答案 214.(2018 年江苏卷,12 改编)在平面直角坐标系 xOy 中, A 为直线 l:y=2x 上在第一象限内的点, B(5,0),过点 B 作直线 l 的垂线,
9、垂足为 A,则以 AB 为直径的圆的圆心 C 的横坐标为( ).A.1 B.2 C.3 D.44解析 由题意得直线 AB 的方程为 y-0=- (x-5),联立方程组 解得12 y-0= -12(x-5),y=2x, 所以 A(1,2),所以线段 AB 的中点坐标为 C(3,1),则点 C 的横坐标为 3,故选 C.x=1,y=2,答案 C1.(2018 年陕西省高三教学质量检测试题(二)已知 C:x2+y2-4x-6y-3=0,点 M(-2,0)是 C外一点,则过点 M 的圆的切线的方程是( ).A.x+2=0,7x-24y+14=0B.y+2=0,7x+24y+14=0C.x+2=0,7x
10、+24y+14=0D.y+2=0,7x-24y+14=0解析 C:x2+y2-4x-6y-3=0,即( x-2)2+(y-3)2=16,故圆心为(2,3),半径为 4.点 M(-2,0)是 C 外一点,显然 x+2=0 是过点 M 的圆的一条切线,设另一条切线为 y=k(x+2),则 =4,解得 k=- ,所以切线方程为 7x+24y+14=0.|2k-3+2k|1+k2 724故选 C.答案 C2.(云南省保山市 2018 届普通高中高三毕业生第二次市级)若 x,y 满足约束条件( x-1)2+(y-1)21,则 的最小值为( ).x2+y2A. -1 B.3-2 C. +1 D.3+22
11、2 2 2解析 (x-1)2+(y-1)21 表示的是以(1,1)为圆心,1 为半径的圆上及其圆内部的点,而= 的几何意义是点( x,y)到原点的距离,所以 的最x2+y2 (x-0)2+(y-0)2 x2+y2小值为 -1,故选 A.2答案 A3.(山西省 2018 届高三第一次模拟考试)若点 P 为圆 x2+y2=1 上的一个动点,点 A(-1,0),B(1,0)为两个定点,则 |PA|+|PB|的最大值为( ).A.2 B.2 C.4 D.42 2解析 APB=90,|PA| 2+|PB|2=4,5由不等式可得 =2,(|PA|+|PB|2 )2 |PA|2+|PB|22|PA|+|PB
12、| 2 ,当且仅当 |PA|=|PB|= 时,“ =”成立,所以 |PA|+|PB|的最大值为2 22 .故选 B.2答案 B4.(安徽省淮南市 2018 届高三第二次模拟考试)过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交抛物线于A,B 两点,分别过 A,B 作准线的垂线,垂足分别为 A1,B1两点,以 A1B1为直径的圆 C 过点 M(-2,3),则圆 C 的方程为( ).A.(x+1)2+(y-2)2=2 B.(x+1)2+(y+1)2=17C.(x+1)2+(y-1)2=5 D.(x+1)2+(y+2)2=26解析 由题意知抛物线的准线方程为 x=-1,焦点 F(1,0).当直线 AB 的
13、斜率不存在时,得圆 C 的方程为( x+1)2+y2=4,不符合题意,当直线 AB 的斜率存在时,设 AB 的方程为 y=k(x-1)(k0),联立方程组 y 2- y-4=0.y2=4x,y=k(x-1), 4k设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2= ,y1y2=-4.4k|y 1-y2|= =4 .(y1+y2)2-4y1y2 1k2+1 以 A1B1为直径的圆 C 的圆心为 ,半径为 2 .(-1,2k) 1k2+1 圆 C 的方程为( x+1)2+ =4 .(y-2k)2 (1k2+1)把( -2,3)代入圆 C 的方程得 1+ =4 ,解得 k=2.(3-2k)2
14、(1k2+1) 圆 C 的方程为( x+1)2+(y-1)2=5.故选 C.答案 C5.(河南安阳 2018 届高三第二次模拟考试)已知圆 C1:x2+y2-kx+2y=0 与圆 C2:x2+y2+ky-4=0的公共弦所在直线恒过定点 P(a,b),且点 P 在直线 mx-ny-2=0 上,则 mn 的取值范围是( ).A. B.(0,14) (0,14C. D.(-,14) (-, 14解析 将 x2+y2-kx+2y=0 与 x2+y2+ky-4=0 相减,得公共弦所在的直线方程为 kx+(k-2)y-4=0,即 k(x+y)-(2y+4)=0.由 得2y+4=0,x+y=0 x=2,y=
15、 -2,6所以定点为 P(2,-2),因此 2m+2n-2=0,所以 m+n=1,mn = ,选 D.(m+n2)214答案 D6.(江西上饶市 2018 届高三上学期第一次模拟考试)已知点 A 是抛物线 y2=2px(p0)上的一点,以其焦点 F 为圆心, |FA|为半径的圆交抛物线的准线于 B,C 两点,若 BFC= 且满足2sin2+ sin - sin 2= 3cos ,当 ABC 的面积为 时,则实数 p 的值为( ).323A.4 B.4 C.8 D.82 2解析 如图所示,由 2sin2+ sin - sin 2= 3cos ,移项得 sin - sin 2= 3cos - 2s
16、in2 ,化简为 sin - 2sin cos= 3cos - 2+2cos2 ,即 sin (1-2cos )=(cos + 2)(2cos - 1),可得(2cos - 1)(sin + cos+ 2)=0,又 sin + cos+ 20,故 cos = ,= .12 3又由图知 |EF|=p,则在 EFB 中, |BC|=2|BE|=2ptan . 2设点 A 到 BC 的距离为 d,则 d=|AF|=|BF|,|BF|= ,Spcos 2ABC= |BC|d= 2ptan = p2= ,解得 p=4,故选 A.12 12 2 pcos 223 323答案 A7.(四川省德阳市 2018
17、 届高三二诊考试)已知双曲线 - =1(a0,b0)的离心率为 ,其一x2a2y2b2 2条渐近线被圆( x-m)2+y2=4(m0)截得的线段长为 2 ,则实数 m 的值为( ).2A.3 B.1 C. D.22解析 双曲线 - =1(a0,b0)的离心率为 ,x2a2y2b2 27则 = ,c 2=2a2,a 2+b2=2a2,a=b.ca 2不妨设其一条渐近线为 x-y=0,圆( x-m)2+y2=4(m0)的圆心为( m,0),半径为 2,双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线被圆( x-m)2+y2=4(m0)截得的线段长为 2 ,x2a2y2b2 2 圆心到渐近线的距离为 =
18、,4-( 2)2|m|2m= 2,故选 D.答案 D8.(浙江省金华十校 2018 年 4 月高考模拟考试)已知椭圆 + =1(ab0)经过圆 x2+y2-4x-x2a2y2b22y=0 的圆心,则 ab 的取值范围是( ).A. B.4,+ )14,+ )C. D.(0,4(0,14解析 将 x2+y2-4x-2y=0 化为( x-2)2+(y-1)2=5,可知圆心坐标为(2,1),代入椭圆方程,得+ =1.4a21b2 + =12 = ,4a21b2 4a21b24abab 4,当且仅当 b2=2,a2=8 时等号成立,ab 的取值范围是4, + ),故选 B.答案 B9.(山东省实验中学
19、 2015 级第二次模拟考试)已知双曲线 - =1(a0,b0)的左、右焦点分x2a2y2b2别为 F1、 F2,e 为双曲线的离心率, P 是双曲线右支上的点, PF1F2的内切圆的圆心为 I,过F2作直线 PI 的垂线,垂足为 B,则 OB=( ).A.a B.b C.ea D.eb解析 如图所示,延长 F2B 将 PF1于点 C,由题意知, F1(-c,0),F2(c,0),8P ,I,B 三点共线, F2C PB, CPB= F2PB, PCF2是一个等腰三角形, PC=PF 2, 点B 为 F2C 的中点 .又点 O 为 F1F2的中点, |PF1|-|PF2|=2a, 在 F1CF
20、2中, OB= CF1= (PF1-PC)= (PF1-PF2)= 2a=a.故选 A.12 12 12 12答案 A10.(河北省石家庄市 2018 届高三第一次模拟考试试题)已知 F1、 F2分别为双曲线 -x2a2=1(a0,b0)的左、右焦点,过 F2的直线 l 与双曲线的右支交于 A,B 两点, AF1F2的内切y2b2圆半径为 r1, BF1F2的内切圆半径为 r2,若 r1=2r2,则直线 l 的斜率为( ).A.1 B. C.2 D.22 2解析 设 AF1F2的内切圆圆心为 I1, BF1F2的内切圆圆心为 I2,边 AF1,AF2,F1F2上的切点分别为 M,N,E,易知
21、I1,E 的横坐标相等,则 |AM|=|AN|,|F1M|=|F1E|,|F2N|=|F2E|.由 |AF1|-|AF2|=2a,即 |AM|+|MF1|-(|AN|+|NF2|)=2a,得 |MF1|-|NF2|=2a,即 |F1E|-|F2E|=2a,记 I1的横坐标为 x0,则 E(x0,0),于是 x0+c-(c-x0)=2a,得 x0=a.同理,内心 I2的横坐标也为 a,则有 I1I2 x 轴,设直线 l 的倾斜角为 ,则 OF2I2= , I1F2O=90- , 2 2则 tan = ,tan I1F2O=tan = = .r 1=2r2, tan2 = ,tan = . 2 r
22、2F2E (90- 2) 1tan 2r1F2E 212 2 22 tan = =2 .2tan 21-tan22 2故选 D.答案 D11.(河北省衡水中学 2018 届高三数学三轮复习系列七)过抛物线 y= 的焦点引圆 x2+y2-x246x+8=0 的两条切线所形成的角的正切值为 . 解析 如图所示,抛物线的焦点为 A(0,1),圆心为 B(3,0),半径为 1,9设两条切线所成的角 CAD=2 CAB=2 ,而 tan = = ,所以 tan BCAC132= = = .2tan1-tan2 231-(13)234答案3412.(山东省枣庄市 2018 届高三第二次模拟考试)已知圆 M
23、 与直线 x-y=0 及 x-y+4=0 都相切,且圆心在直线 y=-x+2 上,则圆 M 的标准方程为 . 解析 由题意可知圆心在直线 y=-x+2 上,设圆心为( a,2-a),因为圆 M 与直线 x-y=0 及 x-y+4=0 都相切,所以圆心到两条直线的距离相等,即 = ,解得 a=0,即圆心为(0,2) .|2a-2|2 |2a+2|2又 r= = ,所以圆 M 的标准方程为 x2+(y-2)2=2.|-2|2 2答案 x2+(y-2)2=213.在圆 x2+y2=4 上任取一点,则该点到直线 x+y-2 =0 的距离 d0,1的概率为 .2解析 由题意知圆心(0,0)到直线 x+y
24、-2 =0 的距离为 =2,则直线 x+y-2 =02|-22|1+1 2与圆 x2+y2=4 相切 .设直线 x+y+m=0 与直线 x+y-2 =0 的距离为 1,则 =1,m=- 或 m=-3 (舍2|m+22|2 2 2去) .如图所示,设直线 x+y- =0 与圆交于 A,B 两点,作 OD AB2由题意可得 sin OAD= = ,故 OAD=30,ODOA12则 AOB=180-302=120,由题意可知在劣弧 上的点均为满足要求的点 .AB由角度型几何概型公式可得满足题意的概率为 = .1203601310答案1314.(河南省南阳市第一中学 2018 届高三第十二次考试)已知
25、 AB 为圆 C:x2+y2-2y=0 的直径,点 P 为直线 y=x-1 上任意一点,则 | |2+| |2的最小值为 . PA PB解析 圆 C 的方程可化为 x2+(y-1)2=1,可知圆的半径为 1,| |=| |=1.又圆心(0,1)到CA CB直线 y=x-1 的距离 d= = ,| |的最小值为 ,所以 | |2+| |2=( + )2-2 =422 2 PC 2 PA PB PAPB PAPB-2( + )( + )=4 -2( + )( - )=2 +2 =2 +22 2+2=6,所以PC2 PCCA PCCB PC2 PCCA PCCA PC2 CA2 PC2| |2+|
26、|2的最小值为 6.PA PB答案 615.(山西省榆社中学 2018 届高三诊断性模拟考试)设 m0,双曲线 M: -y2=1 与圆 N:x2+(y-m)x242=5 相切, A(- ,0),B( ,0),若圆 N 上存在一点 P 满足 |PA|-|PB|=4,则点 P 到 x 轴的距5 5离为 . 解析 由题意知, a=2,c= ,点 A,B 分别为双曲线的左,右焦点 .因为点 P 满足 |PA|-5|PB|=4=2a,所以点 P 是双曲线与圆的切点,且在双曲线的右支上 .由圆的方程可知其圆心为C(0,m),半径为 .联立 消去 x 得 5y2-2my+m2-1=0.由 = (-2m)2-5 x24-y2=1,x2+(y-m)2=5,45(m2-1)=0,且 m0,解得 m= ,则 5y2-2 y+ -1=0,解得 y= ,即所求距离为 .52 52 (52)2 510 510答案51011
