1、1考查角度 3 双曲线的标准方程与几何性质分类透析一 双曲线的定义与应用例 1 过双曲线 - =1左焦点 F1的直线与左支交于 A,B两点,且弦 AB长为 6,则x216y29ABF2(F2为右焦点)的周长是( ).A.16 B.19 C.22 D.28解析 由双曲线的定义知 |AF2|-|AF1|=8,|BF2|-|BF1|=8,两式相加得 |AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=|AF2|+|BF2|-|AB|=16,从而有 |AF2|+|BF2|=16+6=22,所以 ABF2的周长为 |AF2|+|BF2|+|AB|=22+6=28.答案 D方法技巧 与焦点有关的三角形周长
2、问题,常借助双曲线的定义解决,注意解决问题时的拼凑技巧 .分类透析二 双曲线的标准方程求解与应用例 2 设 A、 B分别为双曲线 - =1(a0,b0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为 4 ,焦x2a2y2b2 3点到渐近线的距离为 ,则双曲线的标准方程为 . 3解析 由题意知 a=2 .3 双曲线的一条渐近线为 bx-ay=0, =b= .|bc|b2+a2 3 双曲线的标准方程为 - =1.x212y23答案 - =1x212y23方法技巧 关于双曲线的标准方程的确定问题,常用的方法有待定系数法和几何法等,对于待定系数法,需要建立关于 a,b,c的等式,然后确定其焦点位置,从而写出其标准方程
3、 .分类透析三 双曲线的几何性质及应用例 3 已知双曲线 - =1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1、 F2,点 P在双曲线的右支上,x2a2y2b2且 |PF1|=4|PF2|,则该双曲线离心率的取值范围为 . 解析 因为 |PF1|=4|PF2|,点 P在双曲线的右支上,所以设 |PF2|=m,则 |PF1|=4m.2由双曲线的定义,得 |PF1|-|PF2|=4m-m=2a,所以 m= a.23又 |PF1|+|PF2| |F1F2|,即 4m+m2 c,所以 m c,25即 a c,所以 e= .23 25 ca 53又 e1,所以双曲线离心率的取值范围为 .(1,53答案 (1,
4、53方法技巧 求解双曲线的离心率问题,是高频考点,建立关于 a,b,c的等量关系式,是解决此类问题的关键 .本题利用双曲线的定义及三角形的两边之和与第三边之间的关系建立了关于双曲线基本量 a,c的不等关系,使问题得以巧妙地转化、获解 .1.(2018年全国 卷,理 11改编)已知双曲线 - =1(b0)的左顶点为 A,虚轴长为 8,右焦点x29y2b2为 F,且以 F为圆心的圆与双曲线的渐近线相切,若过点 A作该圆 F的两条切线,切点分别为M,N,则 |MN|=( ).A.8 B.4 C.2 D.42 3 3解析 2b=8,b= 4,c=5,A (-3,0),F(5,0), 点 F到双曲线的渐
5、近线的距离为 b, F:(x-5)2+y2=16.设 MN交 x轴于点 E,在 Rt AMF中, |FE|= = =2.|MF|2|AF| 423+5|AE|= 8-2=6.又 |ME|2=|AE|EF|=12,|MN|= 2|ME|=4 ,选 D.3答案 D2.(2018年全国 卷,文 6改编)若双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线经过点(3, -4),则此x2a2y2b2双曲线的离心率为 . 解析 双曲线 - =1的渐近线方程为 y= x,由渐近线过点(3, -4),可得 -4=- ,即 b= a.x2a2y2b2 ba 3ba 43又 c= = = a,所以双曲线的离心率 e= =
6、 .a2+b2 a2+169a253 ca533答案533.(2016年全国 卷,理 11改编)已知 F1、 F2是双曲线 E: - =1(a0,b0)的左、右焦点,x2a2y2b2点 M在 E上, MF1与 x轴垂直且交双曲线于点 N, MF2N为等边三角形,则 E的离心率为( ).A. B. C. D.2232 3解析 由题意知, |MN|=2|MF1|= .因为 MF2N为等边三角形 ,所以 =2c,解得2b2a 32 2b2ae2-2e- =0,即 e= 或 e=- (舍去),故选 C.3 3 333答案 C4.(2018年江苏卷,8 改编)在平面直角坐标系 xOy中,若双曲线 - =
7、1(a0,b0)的右顶点x2a2y2b2A(a,0)到一条渐近线的距离为 b,则双曲线离心率为 . 32解析 由题意知,双曲线的一条渐近线方程为 y= x,即 bx-ay=0,则点 A到该直线的距离bad= = b,即 = b,所以 e= = .abb2+(-a)2 32 abc 32 ca233答案2331.(河南省郑州市 2018届高中毕业班第一次质量检测)中心在原点,焦点在 y轴上的双曲线的一条渐近线经过点( -2,4),则它的离心率为( ).A. B. C.2 D.52 3 5解析 由题意可知,双曲线的渐近线方程为 y= x,则渐近线 y=- x过点( -2,4),即 a=2b.又ab
8、 abc= = b,所以 e= = = .故选 A.a2+b2 5ca 5b2b 52答案 A2.(辽宁省凌源市 2018届高三毕业班一模考试试题)已知双曲线 C的中点在原点 O,焦点 F(-2 ,0),点 A为左支上一点,满足 |OA|=|OF|且 |AF|=4,则双曲线 C的方程为( ).5A. - =1B. - =1x216y24 x236y2164C. - =1D. - =1x24y216 x216y236解析 设双曲线的方程为 - =1(a0,b0),A(x0,y0),因为左焦点坐标为 F(-2 ,0),所x2a2y2b2 5以 OF=c=2 .5因为 |OA|=|OF|,|AF|=
9、4,所以 x20+y20=2 5,(x0+2 5)2+y20=4,解得 或 结合题意可得 解得 所以x0= -655,y0=855 x0= -655,y0= -855. 365a2-645b2=1,a2+b2=20, a2=4,b2=16,双曲线 C的方程为 - =1.故选 C.x24y216答案 C3.(东北三省三校 2018届高三第二次模拟考试试题)双曲线 C:x2- =1的左顶点为 A,右焦点y23为 F,过点 F作一条直线与双曲线 C的右支交于点 P,Q,连接 PA,QA,分别与直线 l:x= 交于点12M,N,则 MFN=( ).A. B. C. D.6 3 2 23解析 由双曲线的
10、方程可知双曲线的焦点坐标为 F(2,0),设过焦点的直线方程为 x=my+2,点 P,Q的坐标分别为( x1,y1),(x2,y2),联立直线方程与双曲线方程消去 x可得(3 m2-1)y2+12my+9=0,由题意可知 3m2-10,则 y1+y2= ,y1y2= .-12m3m2-1 93m2-1由 A(-1,0),P(x1,y1)可得直线 AP的方程为 y= (x+1).y1x1+1令 x= ,可得 y= ,即 M ,同理可得 N ,12 3y12(x1+1) (12, 3y12(x1+1) (12, 3y22(x2+1)结合点 F的坐标 F(2,0)可得 = , = ,MF(32,-
11、3y12(x1+1)NF(32,- 3y22(x2+1)则 = + ,MFNF9494 y1y2(x1+1)(x2+1)其中( x1+1)(x2+1)=(my1+3)(my2+3)=m2y1y2+3m(y1+y2)+95= - +99m23m2-1 36m23m2-1= ,-93m2-1据此可得 = + =0,MFNF9494 93m2-1 3m2-1-9故 ,MF NF,故 MFN= ,MFNF2故选 C.答案 C4.(四川省绵阳市南山中学 2018届高三二诊热身考试)如图, F1、 F2分别是双曲线 -x2a2=1(a0,b0)的左、右焦点,过 F1(- ,0)的直线 l与双曲线分别交于点
12、 A,B,若 ABF2为y2b2 7等边三角形,则双曲线的方程为( ).A. - =1 B. -y2=15x275y228 x26C.x2- =1D. - =1y26 5x2285y27解析 由双曲线的定义,可得 |AF1|-|AF2|=2a. ABF2是等边三角形,即 |AF2|=|AB|,|BF 1|=2a.又 |BF2|-|BF1|=2a,|BF 2|=|BF1|+2a=4a, 在 BF1F2中, |BF1|=2a,|BF2|=4a, F1BF2=120,|F 1F2 =|BF1 +|BF2 -2|BF1|BF2|cos 120,即 4c2=4a2+16a2-| 2 | 2 | 222a
13、4a =28a2,解得 c2=7a2.又 c= ,a 2=1,b2=6, 双曲线的方程为 x2- =1,故(-12) 7 y26选 C.答案 C5.(河南省 2018届高三 4月普通高中毕业班高考适应性考试)设 F1,F2是双曲线 C: -x2a2=1(a0,b0)的两个焦点, P是 C上一点,若 |PF1|+|PF2|=6a,且 PF1F2的最小内角的大小为y2b230,则双曲线的渐近线方程是( ).6A.x y=0 B. xy=02 2C.x2y=0 D.2xy=0解析 假设点 P在双曲线的右支上,由题意得|PF 1|=4a,|PF2|=2a.|PF1|+|PF2|=6a,|PF1|-|P
14、F2|=2a,|F 1F2|=2c2a, 最短边是 PF2,最小角为 PF1F2.由余弦定理得 4a2=16a2+4c2-24a2ccos 30,c 2-2 ac+3a2=0.3e 2-2 e+3=0,e= , = ,3 3ca 3c 2=3a2,a 2+b2=3a2,b 2=2a2. = ,故双曲线的渐近线方程为 xy=0,故选 B.ba 2 2答案 B6.(安徽省黄山市 2018届高三一模检测)若双曲线 - =1(a0,b0)与直线 y=3x无交点,则x2a2y2b2离心率 e的取值范围是( ).A.(1, ) B.(1, 10 10C.(1, ) D.(1, 5 5解析 双曲线 - =1
15、(a0,b0)的渐近线为 y= x.x2a2y2b2 ba若双曲线 - =1(a0,b0)与直线 y=3x无交点,则 3 .x2a2y2b2 ba又离心率 e= = ,ca 1+(ba)2 10所以 e(1, .10故选 B.答案 B7.(广西防城港市 2018届高中毕业班 1月模拟考试)已知双曲线 x2- =1的左、右焦点分别y2b2为 F1、 F2,过点 F2的直线交双曲线右支于 A、 B两点,若 ABF1是等腰三角形, A=120,则 ABF1的周长为( ).A.2( -1) B. +424337C. +4 D. +8833 833解析 由题意知,双曲线的焦点在 x轴上,则 a=1,2a
16、=2.设 |AF2|=m,由双曲线的定义可知 |AF1|=|AF2|+2a=m+2.由题意可得 |AF1|=|AB|=|AF2|+|BF2|=m+|BF2|,据此可得 |BF2|=2.又 |BF1|-|BF2|=2,|BF 1|=4. 在 ABF1中,由正弦定理得 = ,|BF1|sin120|AF1|sin30则 |BF1|= |AF1|,即 4= (2+m),解得 m= -2,3 3433 ABF1的周长为 4+2(2+m)=4+ .833答案 C8.(广西梧州市 2018届高三 3月适应性测试(二模)已知双曲线 - =1(a0,b0)的右顶点x2a2y2b2为 M,离心率为 ,过点 M与
17、点(0, -2)的直线与双曲线的一条渐近线平行,则双曲线的方程3为( ).A. - =1 B. - =1x24y22 x24y23C. - =1 D. -y2=1x22y24 x22解析 由 e= = ,a2+b2=c2,得 b= a,所以双曲线的渐近线方程为 y= x.由ca 3 2 2= ,得 a= ,所以双曲线的方程为 - =1,故选 C.0-(-2)a-0 2 2 x22y24答案 C9.(河南省新乡市 2018届高三第二次模拟考试试题)设双曲线 : - =1(a0,b0)的左顶点、x2a2y2b2右焦点分别为点 A、 F,以线段 AF为底边作一个等腰 AFB,且 AF边上的高 h=|
18、AF|.若 AFB的垂心恰好在 的一条渐近线上,且 的离心率为 e,则下列判断正确的是( ).A.存在唯一的 e,且 e (32,2)B.存在两个不同的 e,且一个在区间 内,另一个在区间 内(1,32) (32,2)C.存在唯一的 e,且 e (1,32)D.存在两个不同的 e,且一个在区间 内,另一个在区间 内(1,32) (2,52)8解析 由题意可设 A(-a,0),F(c,0),B ,可得 AFB的垂心(c-a2,c+a)H . AFB的垂心恰好在 的一条渐近线上, = , 4(e-1)3-e-1=0,令(c-a2,c+a4) c+ac-a2baf(x)=4(x-1)3-x-1(x1
19、).f (1)0,当 x 时, f(x)=12(x-1)2-10, 存在唯一的 x,且 x ,当(32) 32 (32,2)10)的左、右焦点,过 F1的直线 l与双曲线的左支交于点 A,与右支交于点 B,若y26|AF1|=2a, F1AF2= ,则 =( ).23 S F1BF2A.6 B.6 C.6 D.122 3解析 由双曲线的定义,得 |AF2|-|AF1|=2a.又 |AF1|=2a,所以 |AF2|=4a.在 AF1F2中, |AF1|=2a,|AF2|=4a,|F1F2|=2c, F1AF2= ,23由余弦定理得 4c2=4a2+16a2+22a4a ,12即 c2=7a2,即
20、 a2+6=7a2,解得 a=1.因为 |BF1|-|BF2|=2,且 |BF1|-|BA|=2,所以 |BA|=|BF2|.又 F2AB= ,所以 BAF2为等边三角形 .3因为 |AF2|=4,|AF1|=2, F1AF2= ,所以23= + = 42 + 24 =6 .S BF1F2S ABF2S AF1F212 32 12 32 3答案 C911.(上海市松江、闵行区 2018届高三下学期质量监控(二模)双曲线 - =1(a0)的渐近线x2a2y29方程为 3x2y=0,则 a= . 解析 双曲线 - =1(a0)的渐近线为 y= x,因为 y= x与 3x2y=0重合,所以 a=2.
21、x2a2y29 3a 3a答案 212.(山西省 2018届高三第一次模拟考试)过双曲线 E: - =1(a0,b0)的右焦点,且斜率为x2a2y2b22的直线与 E的右支有两个不同的交点,则双曲线离心率的取值范围是 . 解析 由双曲线及其渐近线可知,当且仅当 00,b0)的左、右焦点,点 P在双曲线的右支上,若 |PF1|=t|PF2|(t(1,3),则双曲线y2b2经过第一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是 . 解析 由双曲线的定义及题意可得 解得|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=t|PF2|, |PF1|= 2att-1,|PF2|= 2at-1.又 |PF1|+|PF2|2 c
22、,故 |PF1|+|PF2|= + 2 c,2att-1 2at-1整理得 e= =1+ .ca t+1t-1 2t-1 10,b0)的左、右焦点x2a2y2b2分别为 F1、 F2,过 F1且垂直于 x轴的直线与该双曲线的左支交于 A,B两点, AF2,BF2分别交 y轴于 P,Q两点,若 PQF2的周长为 16,则 的最大值为 . ba+1解析 由题意知, ABF2的周长为 32,|AF 2|+|BF2|+|AB|=32,又 |AF2|+|BF2|-|AB|=4a,|AB|= ,2b2a =32-4a,b= ,4b2a 8a-a2 = .令 t=a+1(t1),ba+1 8a-a2a+1则 = = = .ba+1 8(t-1)-(t-1)2t2 10t-9-t2t2 -9t2+10t-1令 m= (0m1),则 = .1t ba+1 -9m2+10m-1当 m=- = 时, 取得最大值 = .102(-9)59 ba+1 -92581+509-14311答案43
