1、1小专题(四) 利用二元一次方程组解决几类常见的实际问题列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤: 审题:找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系; 设元:找出题中的两个关键的未知量,并用字母表示出来; 列方程组:挖掘题目中的关系,找出两个等量关系,列出方程组; 求解; 检验作答:检验所求解是否符合实际意义,并作答 .列方程组时应注意: 方程两边表示的是同类量; 两类量的单位要统一; 方程两边的数值要相等; 一般地,设几个未知数就应列出几个方程并组成方程组 .类型 1 解决图形问题1.如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面,其中 3块横放的墙砖比 1块竖放的墙砖高10 cm,2块横放的墙砖
2、比 2块竖放的墙砖低 40 cm,则每块墙砖的面积是 (B)A.425 cm2 B.525 cm2C.600 cm2 D.800 cm22.如图,在长方形 ABCD中,放入六个形状、大小相同的长方形,所标尺寸如图所示,请你利用方程组的思想方法求出图中阴影部分面积是多少?解:设小长方形的长为 x cm,宽为 y cm,根据题意,得 解得x+y-2y=6,x+3y=14, x=8,y=2.S 阴影 =14(6+22)-826=44(cm2).类型 2 解决和、差、倍、分问题3. 小强同学生日的月数减去日数为 2,月数的两倍和日数相加为 31,则小强同学生日的月数和日数的和为 20 . 24.某快递
3、公司有甲、乙两个仓库,各存有快件若干件,甲仓库发走 80件后余下的快件数比乙仓库原有快件数的 2倍少 700件;乙仓库发走 560件后剩余的快件数比甲仓库余下的快件数的 还多 210件,求甲、乙两个仓库原有快件各多少件?15解:设甲、乙两个仓库原有快件分别为 x件和 y件 .由题意得 x-80=2y-700,y-560=15(x-80)+210,解得 x=1480,y=1050.答:甲、乙两个仓库原有快件分别为 1480件、1050 件 .类型 3 解决行程问题5. 爸爸沿街匀速行走,发现每隔 7分钟从背后驶过一辆 103路公交车,每隔 5分钟从迎面驶来一辆 103路公交车,假设每辆 103路
4、公交车行驶速度相同,而且 103路公交车总站每隔固定时间发一辆车,那么 103路公交车行驶速度是爸爸行走速度的 6 倍 . 6.从 A地到 B地全程 290 km,前一路段为国道,其余路段为高速公路 .已知汽车在国道上行驶的速度为 60 km/h,在高速公路上行驶的速度为 100 km/h,一辆客车从 A地开往 B地一共行驶了 3.5 h.求 A,B两地间国道和高速公路各多少千米?解:设 A,B两地间国道和高速公路分别是 x km,y km.依题意得 解得x+y=290,x60+ y100=3.5, x=90,y=200.答: A,B两地间国道是 90 km,高速公路是 200 km.类型 4
5、 解决工程问题7.孙子算经中记载了一道题,大意是:100 匹马恰好拉了 100片瓦,已知 1匹大马能拉 3片瓦,3 匹小马能拉 1片瓦,问有多少匹大马、多少匹小马?设有 x匹大马, y匹小马,根据题意可列方程组为 . x+y=1003x+y3=10038.某城市为了缓解缺水状况,实施了一项引水工程,就是把 200千米以外的一条大河的水引到城市中来,这项工程交给了甲、乙两个施工队 .经计算,两队合作工期为 50天 .甲、乙两队合作了 30天后,乙队因另外有任务需要离开 10天,于是甲队加快速度,每天多修 0.6千米 .10天后乙队返回,为了保证工期,甲队保持速度不变,乙队每天比原来多修 0.4千
6、米,最后恰好如期完成 .问:甲、乙两队原计划每天各修多少千米?解:设甲队原计划每天修 x千米,乙队原计划每天修 y千米,根据题意,得 x+y=20050,30(x+y)+20(x+0.6)+10(y+0.4)=200,解得 x=2.4,y=1.6.答:甲队原计划每天修 2.4千米,乙队原计划每天修 1.6千米 .类型 5 解决配套问题9. 某旅店一共有 70个房间,大房间每间住 8个人,小房间每间住 6个人,一共 480个学生刚好住满,设大房间有 x个,小房间有 y个 .下列方程正确的是 (A)A. B.x+y=708x+6y=480 x+y=706x+8y=480C. D.x+y=4806x
7、+8y=70 x+y=4808x+6y=7010.一张方桌由 1个桌面、4 条桌腿组成 .如果 1立方米木料可以做方桌的桌面 50个或做桌腿 300条,现有 5立方米木料,那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿,做出的桌面和桌腿,恰好能配成方桌?能配成多少张方桌?解:设桌面用木料 x立方米,桌腿用木料 y立方米,根据题意,得 解得x+y=5,50x4=300y, x=3,y=2. 50x=503=150.答:用 3立方米木料做桌面,用 2立方米木料做桌腿,能配成方桌 150张 .类型 6 解决增长率问题11.某工厂去年的利润(总产值 -总支出)为 200万元,今年总产值比去年增加了
8、20%,总支出比去年减少了 10%,今年的利润为 780万元,则去年的总产值为 2000 万元,总支出是 1800 万元 . 412.某学校现有学生 2300人,与去年相比,男生人数增加了 25%,女生人数减少了 25%,全校人数增加了 15%,则现在全校有男生 2000 人 . 类型 7 解决利润问题13.(重庆中考)为实现营养的合理搭配,某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮 .其中,甲种粗粮每袋装有 3千克 A粗粮,1 千克 B粗粮,1 千克 C粗粮;乙种粗粮每袋装有1千克 A粗粮,2 千克 B粗粮,2 千克 C粗粮 .甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中的A,B,C三种粗粮的
9、成本价之和 .已知 A粗粮每千克成本价为 6元,甲种粗粮每袋售价为 58.5元,利润率为 30%,乙种粗粮的利润率为 20%.若这两种袋装粗粮的销售利润率达到 24%,则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是 8 9 .(商品的利润率= 100%) 商品的售价 -商品的成本价商品的成本价14.五一节前夕,某超市购进甲、乙两种玩具后,按进价提高 50%标价(就是价格牌上标出的价格),两种玩具标价之和为 450元 .后来该超市搞促销,将甲、乙两种玩具分别按标价的 8折和 8.5折出售,某顾客购买甲、乙两种玩具共付款 375元,问这两种玩具的进价各是多少元?解:设甲玩具的进价为 x元,乙玩具的进价
10、为 y元,则 (x+y)(1+50%)=450,x(1+50%)0.8+y(1+50%)0.85=375,解得 x=100,y=200.答:甲玩具的进价为 100元,乙玩具的进价为 200元 .类型 8 解决数字问题15.一个两位数的十位上的数字是个位上的数字的 2倍,若交换十位与个位上的数字,则所得的新两位数与原数的和为 99,则这个两位数是 63 . 16.有甲、乙两个两位数,若把甲数放在乙数的左边,组成的四位数是乙数的 201倍;若把乙数放在甲数的左边,组成的四位数比上面的四位数小 1188,求甲、乙这两个数 .解:设甲数为 x,乙数为 y,根据题意,得 100x+y=201y,100y
11、+x=100x+y-1188,解得 x=24,y=12.答:甲数是 24,乙数是 12.5类型 9 解决古代数学问题17. 我国古代数学著作九章算术中有这样一题,原文是:“今有大器五小器一容三斛,大器一小器五容二斛,问大小器各容几何 .”意思是:有大小两种盛酒的桶,已知 5个大桶加上1个小桶可以盛酒 3斛(斛,是古代的一种容量单位),1 个大桶加上 5个小桶可以盛酒 2斛 .1个大桶、1 个小桶分别可以盛酒多少斛?请解答 .解:设 1个大桶可以盛酒 x斛,1 个小桶可以盛酒 y斛,则 解得5x+y=3,x+5y=2, x=1324,y=724.答:1 个大桶可以盛酒 斛,1 个小桶可以盛酒 斛
12、 .1324 724类型 10 解决图表信息问题18.利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度 .首先按图 1方式放置,再交换两木块的位置,按图 2方式放置 .测量的数据如图,则桌子的高度是 (B)A.84 cm B.85 cm C.86 cm D.87 cm19. 在永州市青少年禁毒教育活动中,某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观,以下是小明和妈妈的对话,请根据对话内容,求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数 .6解:设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为 x人,女生人数为 y人,依题意得 解得x+y=55,x=1.5y+5, x=35,y=20.答:小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为 35人,女生人数为 20人 .
