1、11.5 三角函数的应用知识要点基础练知识点 1 方向角问题1.如图,一艘轮船位于灯塔 P 的北偏东 60方向,与灯塔 P 的距离为 30 海里的 A 处,轮船沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔 P 的南偏东 30方向上的 B 处,则此时轮船所在的位置 B 处与灯塔 P 之间的距离为 30 海里 . 32.(苏州中考)如图,在一笔直的沿湖道路 l 上有 A,B 两个游船码头,观光岛屿 C 在码头 A 北偏东 60的方向,在码头 B 北偏西 45的方向, AC=4 km.游客小张准备从观光岛屿 C 乘船沿CA 回到码头 A 或沿 CB 回到码头 B,设开往码头 A,B 的游船速度分别为 v1
2、,v2,若回到 A,B 所用时间相等,则 = .(结果保留根号) v1v2 23.如图,港口 A 在观测站 O 的正东方向, OA=4 km,某船从港口 A 出发,沿北偏东 15方向航行一段距离后到达 B 处,此时从观测站 O 处测得该船位于北偏东 60的方向,求该船航行的距离(即 AB 的长) .解:过点 A 作 AD OB 于点 D.在 Rt AOD 中, ADO=90, AOD=30,OA=4 km,2AD= OA=2 km.12在 Rt ABD 中, ADB=90, B= CAB- AOB=75-30=45,BD=AD= 2 km,AB= AD=2 km,2 2即该船航行的距离(即 A
3、B 的长)为 2 km.2知识点 2 测量高度与宽度4.如图所示,某办公大楼正前方有一根高度为 15 米的旗杆 ED,从办公楼顶端 A 测得旗杆顶端 E 的俯角 是 45,旗杆底端 D 到大楼前梯坎底边的距离 DC 是 20 米,梯坎坡长 BC 是 12米,梯坎坡度 i=1 ,则大楼 AB 的高度约为(参考数据: 1 .41, 1 .73, 2 .45)3 2 3 6(D)A.30.6 米 B.32.1 米 C.37.9 米 D.39.4 米5.(邵阳中考)如图所示,运载火箭从地面 L 处垂直向上发射,当火箭到达 A 点时,从位于地面R 处的雷达测得 AR 的距离是 40 km,仰角是 30,
4、n 秒后,火箭到达 B 点,此时仰角是 45,则火箭在这 n 秒中上升的高度是 20 -20 km.(保留准确值) 3【变式拓展】如图,在两建筑物之间有一旗杆,高 15 米,从 A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角 C 点,且俯角 为 60,又从 A 点测得 D 点的俯角 为 30,若旗杆底点 G 为BC 的中点,则矮建筑物的高 CD 为 (A)A.20 米 B.10 米33C.15 米 D.5 米3 66.(义乌中考)如图,从地面上的点 A 看一山坡上的电线杆 PQ,测得杆顶端点 P 的仰角是 45,向前走 6 m 到达 B 点,测得杆顶端点 P 和杆底端点 Q 的仰角分别是 60和 3
5、0.(参考数据:1 .7, 1 .4)3 2(1)求 BPQ 的度数;(2)求该电线杆 PQ 的高度 .(结果精确到 1 m)解:延长 PQ 交直线 AB 于点 E.(1)在 Rt BPE 中, BPQ=90-60=30.(2)设 PE=x m.在 Rt APE 中, A=45,则 AE=PE=x m.在 Rt BPE 中, PBE=60,BE= PE= x m,33 33AB=AE-BE= 6 m,x- x=6,33解得 x=9+3 .则 BE=(3 +3) m.3 3在 Rt BEQ 中, QE= BE= (3 +3)=(3+ ) m.33 33 3 3PQ=PE-QE= 9+3 -(3+
6、 )=6+2 9 m .3 3 3答:电线杆 PQ 的高度约 9 m.综合能力提升练47.(宜昌中考)如图,要测量小河两岸相对的两点 P,A 的距离,可以在小河边取 PA 的垂线 PB上的一点 C,测得 PC=100 米, PCA=35,则小河宽 PA 等于 (C)A.100sin 35米 B.100sin 55米C.100tan 35米 D.100tan 55米8.如图,学校环保社成员想测量斜坡 CD 旁一棵树 AB 的高度,他们先在点 C 处测得树顶 B 的仰角为 60,然后在坡顶 D 测得树顶 B 的仰角为 30,已知斜坡 CD 的长度为 20 m,DE 的长为 10 m,则树 AB 的
7、高度是 30 m. 9.(海南中考)为做好防汛工作,防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固,专家提供的方案是水坝加高 2 米(即 CD=2 米),背水坡 DE 的坡度 i=1 1(即 DBEB= 1 1),如图所示,已知 AE=4 米, EAC=130,求水坝原来的高度 BC.(参考数据:sin 500 .77,cos 500 .64,tan 501 .2)解:设 BC=x 米,在 Rt ABC 中, CAB=180- EAC=50,AB= x.BCtan50 BC1.2=56在 Rt EBD 中, i=DBEB= 1 1,BD=EB ,CD+BC=AE+AB ,即 2+x=4+ x,56解
8、得 x=12,BC= 12.答:水坝原来的高度为 12 米 .510.(舟山中考)太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一,老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面,改建前屋顶截面 ABC 如图 2 所示, BC=10 米, ABC= ACB=36,改建后顶点 D 在 BA的延长线上,且 BDC=90,求改建后南屋面边沿增加部分 AD 的长 .(结果精确到 0.1 米)(参考数据:sin 180 .31,cos 180 .95,tan 180 .32,sin 360 .59,cos 360 .81,tan 360 .73)解: BDC=90,BC=10,sin B= ,CD=BC sin B10 0.59
9、=5.9.CDBC在 Rt BCD 中, BCD=90- B=90-36=54, ACD= BCD- ACB=54-36=18.在 Rt ACD 中,tan ACD= ,ADCDAD=CD tan ACD5 .90.32=1.8881 .9.答:改建后南屋面边沿增加部分 AD 的长约为 1.9 米 .拓展探究突破练11.(达州中考)如图,信号塔 PQ 坐落在坡度 i=1 2 的山坡上,其正前方直立着一块警示牌 .当太阳光线与水平线成 60角时,测得信号塔 PQ 落在斜坡上的影子 QN 长为 2 米,落在警5示牌上的影子 MN 长为 3 米,求信号塔 PQ 的高 .(结果保留根号)解:作 MF PQ 于点 F,QE MN 于点 E,则四边形 EMFQ 是矩形 .在 Rt QEN 中,设 EN=x,则 EQ=2x,QN 2=EN2+QE2, 20=5x2,解得 x=2(-2 舍去),EN= 2,EQ=MF=4,MN= 3,FQ=EM= 1,6在 Rt PFM 中, PF=FMtan 60=4 ,3PQ=PF+FQ= 4 +1.3答:信号塔 PQ 的高为(4 +1)米 .3
