1、1大题精做 8 圆锥曲线：定点、定值问题2019甘肃联考已知椭圆 2:10xyCab的右焦点为 F，上顶点为 M，直线 F的斜率为 2，且原点到直线 FM的距离为 63（1）求椭圆 C的标准方程；（2）若不经过点 的直线 :0,lykxm与椭圆 C交于 A， B两点， 且与圆 21xy相切试探究 ABF 的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由【答案】 （1）213xy；（2） 3【解析】 （1）由题可知， ,0c， ,Mb，则 2c，直线 FM的方程为 1xyb，即 0xy，所以 263b，解得 1b， 2c，又 23a，所以椭圆 C的标准方程为213xy（2）因为直线 :0,l
2、ykxm与圆 2相切，所以 21k，即 22设 1,Axy， 2,Bxy，联立213xykm，得 22316310kxkm，所以 2222236140kmk，12xk， 2123xk，所以22 21131ABkm又 22mk，所以 26ABk因为 2221111 163xAFxyxx，同理 263BFx所以 1263B，2所以 ABF 的周长是 126623231mkx，则 的周长为定值 12019安庆期末已知椭圆 2:10xyCab过点 61,2，焦距长 2，过点 1,0Q的直线 l交椭圆 C于 A， B两点（1）求椭圆 的方程；（2）已知点 7,04P，求证： PAB为定值22019东莞期
3、末已知椭圆 C的中心在坐标原点，左右焦点分别为 1,0F和 21,，且椭圆 C经过点331,2M（1）求椭圆 C的标准方程；（2）过椭圆的右顶点 D作两条相互垂直的直线 1l， 2，分别与椭 圆交于点 A， B（均异于点 D） ，求证：直线 AB过定点，并求出该定点的坐标32019周口期末已知过原点 O的两条互相垂直的直线与抛物线 2:0Cxpy相交于不同于原点的两点 A， B，且 y轴 ， AB 的面积为 164（1）求抛物线 C的标准方程；（2）已知点 4,Dt， 1,Exy， 2,Fxy为抛物线 C上不同的三点，若 90EDF，试问：直线 F是否过定点？若过定点，求出定点坐 标；若不过定
4、点，请说明理由51 【答案】 （1）214xy；（2） 56【解析】 （1）由条件焦距为 ，知 2c，从而将 61,2代入方程21xya，可得 24a， 2b，故椭圆方程为 4xy（2）当直线 l的斜率不为 0 时，设直线 :1lm交椭圆于 1,Axy， 2,Bxy，由 21 4xmy，可得 230y，12， 12ym， 17,4PAxy， 27,4PBxy，211217394 6PABx m ，化简得 23695，当直线 l斜率为 0 时， ,A， 2,0B， 151,0,46PAB，即证 PAB为定值，且为 1562 【答案】 （1）243xy；（2）见解析【解析】 （1）设椭圆 C的标准
5、方程为21xyab，21 5MF， 223MF， 2134a， a， 22413bac，所以椭圆的标准方程为21xy（2）直线 AB斜率存 在， 设直线 :ABykxm， 1,Axy， 2,Bxy，联立方程 2 143ykxm，消去 得 22348430，2260kk， 20km，6122122834 mkx，又 22 212121134mkykxmkxmx，由 ADB，得 ADBk，即 121yx， 121240yxx， 22234364mkmk， 227160解得 1， 27k，且均满 足 2340km，当 1k时，直线 AB的方程 为 ykx，直线过定点 ,0，与已知矛盾；当 27m时，
6、直线 的方程为 7，直线过定点 2,7由椭圆的对称性所得，当直线 1l， 2的倾斜角分别为 45， 13，易得直线 1:2lyx，2:lyx，直线 1l， 2分别与椭圆交于点 2,7A， 2,7B，此时直线 AB斜率不存在，也过定点 ,0，综上所述，直线 恒过定点 ,73 【答案】 （1） 24xy；（2）过定点 4,8【解析】 （1）不妨设点 A在第一象限，由题意知，直线 OA， B的倾斜角分别为 4， 3，则直线 O， B的方程分 别为 yx， 代入抛物线方程得 ， 的坐标分别为 2,Ap， 2,p， 1216OABSp 解得 ，故抛物线 C的标准方程为 24xy（2）由（1）可得点 ,D由题意可设直线 DE的方程为 40ykxk联立 24ykx，得 24160xk则 146xk 1， 22141yk同理可得 24k，224k7直线 EF的方程为 2221414ky xk，即 2414ykxkk 21224kxkk1 28xk248kx故直线 EF过定点 ,8
