1、1专题 2 三角函数与解三角形一、三角函数的图象与性质1.正弦、余弦、正切函数的图象与性质是什么?函数 y=sin x y=cos x y=tan x图象递增区间2k -2,2k +2kZ2k -,2 k,kZ(k -2,kZk +2)递减区间2k +2,2k +32,kZ2k,2 k+,kZ无奇偶性奇函数 偶函数 奇函数对称中心(k,0), kZ(k +2,0),kZ,kZ(k2,0)对称轴x=k + ,2kZx=k, kZ 无周期性2 2 2.求函数 y=Asin(x+ )的单调区间时应注意什么?2(1)注意 的符号,不要把单调性或区间左右的值弄反;(2)不要忘记写“ +2k”或“ +k”
2、等,特别注意不要忘掉写“ kZ”;(3)书写单调区间时,不要把弧度和角度混在一起 .3.三角函数的常用结论有哪些?(1)对于 y=Asin(x+ ),当 =k ( kZ)时,其为奇函数;当 =k + (kZ)时,其为2偶函数;对称轴方程可由 x+=k + (kZ)求得 .2(2)对于 y=Acos(x+ ),当 =k + (kZ)时,其为奇函数;当 =k ( kZ)时,其为2偶函数;对称轴方程可由 x+=k ( kZ)求得 .(3)对于 y=Atan(x+ ),当 =k ( kZ)时,其为奇函数 .4.三角函数图象的两种常见变换是什么?(1)y=sin x y=sin(x+ ) y=sin(x
3、+ )y=Asin(x+ ).(A0, 0)(2)y=sin x y=sin x y=sin(x+ )y=Asin(x+ ).(A0, 0)二、三角恒等变换与解三角形1.同角关系公式有哪些?如何记忆诱导公式?(1)同角关系:sin 2+ cos2= 1, =tan .sincos(2)诱导公式,对于“ ,kZ 的三角函数值”与“角 的三角函数值”的关系可k2按下面口诀记忆:奇变偶不变,符号看象限 .2.你能写出两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角、辅助角公式吗?(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式:sin( )=sin cos cos sin ;cos( )=cos cos sin sin
4、 ;tan( )= .tan tan1tan tan(2)二倍角公式:sin 2 = 2sin cos ,3cos 2= cos2- sin2= 2cos2- 1=1-2sin2.(3)辅助角公式: asin x+bcos x= sin(x+ ),其中 tan = .a2+b2ba3.在三角恒等变换中,常见的拆角、拼角技巧有哪些?= (+ )- ,2= (+ )+(- ),= (+ )+(- ),+ =(+ )-12 4,= - .( -4) ( +4)44.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是什么?在 ABC中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c.(1)正弦定理:在 ABC中, = =
5、=2R(R为 ABC的外接圆半径) .asinA bsinB csinC变形: a=2Rsin A,sin A= ,a b c=sin Asin Bsin C.a2R(2)余弦定理:在 ABC中, a2=b2+c2-2bccos A.变形: b2+c2-a2=2bccos A,cos A= .b2+c2-a22bc(3)三角形面积公式:S ABC= absin C= bcsin A= acsin B.12 12 125.已知三角形两边及其一边的对角,用正弦定理解三角形时要注意什么?若运用正弦定理,则务必注意可能有两解,要结合具体情况进行取舍 .在 ABC中,ABsin Asin B.三角函数与
6、解三角形是高考考查的重点和热点 .三角函数的定义、图象、性质以及简单的化简与求值主要以选择题、填空题的形式考查 .其中同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和差公式、二倍角公式是解决化简、计算问题的工具,“角”的变换是三角恒等变换的核心 .解三角形多以解答题的形式考查,常与三角恒等变换结合,主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题 .4一、选择题和填空题的命题特点(一)三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点,考查主要从以下两个方面进行:(1)三角函数的图象,主要涉及图象变换以及由图象确定解析式;(2)利用三角函数的性质求解三角函数中有关值、参数、最值、值域、单调区间等问题 .1.(201
7、8全国 卷文 T8改编)已知函数 f(x)=2cos22x+5,则( ).A.f(x)的最小正周期为 ,最大值为 7B.f(x)的最小正周期为 2,最小值为 5C.f(x)的最小正周期为 2,最大值为 7D.f(x)的最小正周期为 ,最小值为 52解析 f(x)=cos222x+5=cos 4x+6,故 f(x)的最小正周期为 ,最大值为 7,最小值为 5.2答案 D2.(2016全国 卷理 T7改编)若将函数 f(x)=sin 2x的图象向右平移 个单位长度,得12到函数 y=g(x)的图象,则 y=g(x)图象的一个对称中心是( ).A. B.(24,0) (-6,0)C. D.(6,0)
8、 (12,0)解析 由题意可知函数 f(x)=sin 2x的图象向右平移 个单位长度,得到函数 g(x)12=sin =sin 的图象 .2(x-12) (2x-6)令 2x- =k( kZ),得 x= + (kZ),6 12k2由此可得 y=g(x)图象的一个对称中心是 ,故选 D.(12,0)答案 D(二)三角函数的化简与求值是高考的命题热点,其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决问题的工具,三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换 .“角”的变换是三角恒等变换的核心 .3.(2018全国 卷理 T15改编)已知 sin + cos = ,s
9、in - cos = 1,则 sin(- )63=( ).5A.- B.-112 16C. D.16 112解析 将 sin + cos = 的等式两边平方得 sin2 cos+2+ 2sin cos = , 63 23将 sin - cos = 1的等式两边平方得 sin2+ cos2- 2sin cos = 1. + 得 sin(- )=- ,故选 B.16答案 B4.(2018全国 卷文 T4改编)已知 tan = ,则 sin 2- 2cos2= ( ).12A.-1 B.- C. D.-45 45 34解析 sin 2- cos22= = = =- ,故选 B.sin2 -2cos2
10、1 2sin cos -2cos2sin2 +cos2 2tan -2tan2 +1 45答案 B(三)正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容,主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题 .5.(2018全国 卷文 T16改编)在锐角 ABC中,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,若bsin C+ csin B=4asin Bsin C,且 2bsin B+2csin C=bc+ a,则 ABC面积的最大值3 3 3为( ).A. B. C. D.332 32 334 34解析 根据题意,结合正弦定理可得sin Bsin C+ sin Csin B=4sin Asin Bsi
11、n C,3 3即 sin A= .32 2bsin B+2csin C=bc+ a,3b sin B+csin C= bc+ a,12 32b sin B+csin C= bcsin A+asin A,33则 b2+c2= abc+a2.33由余弦定理可得 2bccos A= abc,解得 a=2 cos A= .33 3 36由 b2+c2=bc+32 bc,得 bc3,从而 S ABC= bcsin A ,故选 C.12 334答案 C6.(2018全国 卷文 T11改编)在 ABC中,内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 ABC的面积为 S,且 2S=(a+b)2-c2,则 ta
12、n C=( ).A.- B.- C. D.34 43 34 43解析 2S=(a+b)2-c2,ab sin C=(a+b)2-c2=a2+b2-c2+2ab=2abcos C+2ab, sin C=2cos C+2, sin2C=(2cos C+2)2=1-cos2C,即 5cos2C+8cos C+3=0, cos C=- (cos C=-1舍去),35 sin C= ,tan C= =- ,故选 B.45 sinCcosC 43答案 B二、解答题的命题特点高考全国卷中有关解三角形的解答题,主要涉及利用正、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算,两个定理与三角恒等变换的结合 .这类试题
13、一般要用到三角形的内角和定理,正、余弦定理及有关三角形的性质 .(2018全国 卷理 T17改编)如图,在四边形 ABCD中,cos DAB=- , = ,BD=4,AB BC.14ADAB23(1)求 sin ABD的值;(2)若 BCD= ,求 CD的长 .4解析 (1)因为 = ,所以设 AD=2k,AB=3k,其中 k0.ADAB23在 ABD中,由余弦定理得 BD2=AB2+AD2-2ABADcos DAB,所以 16=9k2+4k2-23k2k ,解得 k=1,则 AD=2,(-14)7而 sin DAB= = .1-(-14)2 154在 ABD中,由正弦定理得 sin ABD= sin DAB= = .ADBD 24 154 158(2)由(1)可知,sin ABD= ,而 AB BC,158则 sin CBD=sin =cos ABD= = .(2-ABD) 1-(158)278在 BCD中, BCD= ,4由正弦定理得CD= BD= 4= .sinCBDsinBCD 7822 722关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正、余弦定理及有关三角形的性质,常见的三角恒等变换方法和原则都适用,同时要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构” .
