1、1专题 6 解析几何一、直线和圆1.如何判断两条直线平行与垂直?(1)两条直线平行对于两条不重合的直线 l1,l2,其斜率分别为 k1,k2,则有 k1=k2l1 l2.特别地,当直线l1,l2的斜率都不存在时, l1与 l2平行 .(2)两条直线垂直若两条直线 l1,l2的斜率都存在,分别为 k1,k2,则 k1k2=-1l1 l2,当一条直线的斜率为零,另一条直线斜率不存在时,两条直线垂直 .2.如何判断直线与圆的位置关系?设圆的半径为 r,圆心到直线的距离为 d.方法位置关系 几何法 代数法相交 d 0相切 d=r = 0相离 dr r,圆心距为 d,则两圆的位置关系可用下表来表示:位置
2、关系相离 外切 相交 内切 内含几何特征dR+r d=R+rR-rb0)x2a2y2b2+ =1(ab0)y2a2x2b2图形范围-a x a-b y b-b x b-a y a对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)轴 长轴 A1A2的长为 2a;短轴 B1B2的长为 2b焦距 |F1F2|=2c3离心率 e= (0,1)caa,b,c的关系c2=a2-b22.双曲线的标准方程怎么求?几何性质有哪些?标准方程- =1x2a2y2b2(a0,b0)- =1y2a
3、2x2b2(a0,b0)图形范围x a 或 x -a,yRxR, y -a 或y a对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)渐近线 y= xba y= xab离心率 e= ,e(1, + )ca实虚轴线段 A1A2叫作双曲线的实轴,它的长 |A1A2|=2a;线段 B1B2叫作双曲线的虚轴,它的长 |B1B2|=2b;a 叫作双曲线的实半轴长, b 叫作双曲线的虚半轴长a,b,c的关系c2=a2+b23.抛物线的标准方程是什么?几何性质有哪些?y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0
4、)4p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离顶点 O(0,0)对称轴直线 y=0 直线 x=0焦点 F(p2,0)F(-p2,0)F(0,p2)F(0,-p2)离心率e=1准线方程 x=-p2x=p2y=-p2y=p2范围x0,yRx0,yRy0,xRy0,xR开口方向向右 向左 向上 向下三、直线与圆锥曲线的位置关系1.怎样判断直线与圆锥曲线的位置关系?判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时,通常将直线 l 的方程 Ax+By+C=0(A,B 不同时为0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x,y)=0,消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或变量 y)的方程,即 消去 y,得
5、ax2+bx+c=0.Ax+By+C=0,F(x,y)=0 (1)当 a0 时,设一元二次方程 ax2+bx+c=0 的判别式为 ,则 0直线与圆锥曲线C 相交;= 0直线与圆锥曲线 C 相切;0)的渐近线方程为 y= x,则 a= .x2a2y24 12解析 因为 a0,根据题意,双曲线的渐近线方程为 y= x= x,所以 a=4.2a 12答案 44.(2018天津卷文 T7 改编)已知双曲线 - =1(a0,b0) 的渐近线方程为 y= x,过x2a2y2b2 3右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点 .设 A,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1,d2,且 d1
6、+d2=6,则双曲线的方程为( ).7A. - =1 B. - =1x23y29 x29y23C. - =1D. - =1x24y212 x212y24解析 由题意可得图象,如图, CD 是双曲线的一条渐近线 y= x,即 bx-ay=0,右焦点为baF(c,0),且 AC CD,BD CD,EF CD,所以四边形 ABCD 是梯形 .又因为 F 是 AB 的中点,所以EF= =3,得 EF= =b,所以 b=3.又 = ,所以 a= ,故双曲线的方程为 - =1,故选d1+d22 bca2+b2 ba 3 3 x23y29A.答案 A(三)考查圆锥曲线的几何性质,属中等偏难题目,主要包含离心
7、率、范围、对称性、渐近线、准线等性质 .5.(2018全国 卷文 T4 改编)已知椭圆 C: + =1(ab0)的一个焦点为(2,0),离心率为x2a2y2b2,则 C 的标准方程为( ).22A. + =1 B. + =1x28y22 x212y24C. + =1 D. + =1x28y24 x28y26解析 因为椭圆焦点在 x 轴上,且 c=2,离心率 e= = ,解得 a=2 ,所以 b=2,故 C 的ca 22 2标准方程为 + =1,故选 C.x28y24答案 C6.(2018全国 卷文 T10 改编)已知点(4,0)到双曲线 C: - =1(a0,b0)的渐近线的距x2a2y2b2
8、离为 2 ,则 C 的离心率为( ).2A. B.22C. D.2322 28解析 由题意可知双曲线的一条渐近线为 y= x,即 bx-ay=0,故点(4,0)到 C 的渐近线ba的距离 d= =2 ,整理可得 a=b,故双曲线 C: - =1(a0,b0)的离心率 e= = =|4b|a2+b2 2 x2a2y2b2 ca 1+b2a2,故选 A.2答案 A(四)考查圆锥曲线中的最值和范围问题,属偏难题目,主要考查以直线和圆锥曲线的位置关系、弦长、面积等知识为背景的求最值与取值范围问题 .7.(2017全国 卷文 T12 改编)已知椭圆 C: + =1 离心率的取值范围为 ,则 m 的x23
9、y2m 63,1)取值范围为( ).A.(0,19, + ) B.(0, 9, + )3C.(0,14, + ) D.(0, 4, + )3解析 当 03 时,焦点在 y 轴上,则 = , ,即 ,得 m9 .故 m 的取值范围为ca 1-(ba)2 63 ba 33 3m 33(0,19, + ),故选 A.答案 A8.(2017全国 卷文 T5 改编)已知双曲线 C: - =1(a0,b0)的虚轴长为 2,实轴长大于x2a2y2b22,则双曲线 C 的离心率的取值范围是( ).A.( ,+ ) B.( ,2)2 2C.(1, ) D.(1,2)2解析 由题意知, b=1,a1,则 e2=
10、= =1+ .因为 a1,所以 10)的直线 l与 C 交于 A,B 两点, |AB|=8.(1)求 l 的方程;(2)求过点 A,B 且与 C 的准线相切的圆的方程 .解析 (1)由题意得 F(1,0),l 的方程为 y=k(x-1)(k0).设 A(x1,y1),B(x2,y2).由 得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0.y=k(x-1),y2=4x, = 16k2+160,故 x1+x2= .2k2+4k2所以 |AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)= .4k2+4k2由题设知 =8,解得 k=-1(舍去)或 k=1.4k2+4k2因此 l 的方程为 y=x-1.(
11、2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2),所以 AB 的垂直平分线方程为 y-2=-(x-3),即 y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为( x0,y0),则 y0= -x0+5,(x0+1)2=(y0-x0+1)22 +16,解得 或x0=3,y0=2 x0=11,y0= -6.因此所求圆的方程为( x-3)2+(y-2)2=16 或( x-11)2+(y+6)2=144.2.(2017全国 卷T20)设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C: +y2=1 上,过 M 作 x 轴的垂线,x22垂足为 N,点 P 满足 = .NP 2 NM(1)求点 P 的轨迹方程;(2)设点 Q 在直线 x
12、=-3 上,且 =1,证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.OPPQ10解析 (1)设 P(x,y),M(x0,y0),则 N(x0,0), =(x-x0,y), =(0,y0).NP NM由 = 得 x0=x,y0= y.NP 2 NM22因为 M(x0,y0)在 C 上,所以 + =1.x22y22因此点 P 的轨迹方程为 x2+y2=2.(2)由题意知 F(-1,0).设 Q(-3,t),P(m,n),则 =(-3,t), =(-1-m,-n), =3+3m-tn, =(m,n), =(-3-m,t-n).OQ PF OQPF OP PQ由 =1 得 -3m-
13、m2+tn-n2=1.OPPQ又由(1)知 m2+n2=2,故 3+3m-tn=0.所以 =0,即 .OQPF OQPF又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ,所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.(二)已知图形的几何性质,求有关参数的值(或取值范围)3.(2018北京卷文 T20)已知椭圆 M: + =1(ab0)的离心率为 ,焦距为 2 .斜率为 kx2a2y2b2 63 2的直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A,B.(1)求椭圆 M 的方程;(2)若 k=1,求 |AB|的最大值;(3)设 P(-2,0),直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C,直线 P
14、B 与椭圆 M 的另一个交点为 D,若C,D 和点 Q 共线,求 k.(-74,14)解析 (1)由题意得 解得a2=b2+c2,ca= 63,2c=2 2, a= 3,b=1.所以椭圆 M 的方程为 +y2=1.x23(2)设直线 l 的方程为 y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).由 得 4x2+6mx+3m2-3=0,y=x+m,x23+y2=1,所以 x1+x2=- ,x1x2= .3m2 3m2-3411所以 |AB|= (x2-x1)2+(y2-y1)2= 2(x2-x1)2= 2(x1+x2)2-4x1x2= .12-3m22当 m=0,即直线 l 过原点时, |AB|
15、最大,最大值为 .6(3)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得 +3 =3, +3 =3.x21 y21 x22 y22直线 PA 的方程为 y= (x+2).y1x1+2由 y= y1x1+2(x+2),x2+3y2=3, 得( x1+2)2+3 x2+12 x+12 -3(x1+2)2=0.y21 y21 y21设 C(xC,yC),所以 xC+x1= = .-12y21(x1+2)2+3y214x21-124x1+7所以 xC= -x1= .4x21-124x1+7 -12-7x14x1+7所以 yC= (xC+2)= .y1x1+2 y14x1+7设 D(xD,yD),同理
16、得 xD= ,yD= .-12-7x24x2+7 y24x2+7记直线 CQ,DQ 的斜率分别为 kCQ,kDQ,则 kCQ-kDQ= -y14x1+7-14-12-7x14x1+7+74y24x2+7-14-12-7x24x2+7+74=4(y1-y2-x1+x2).因为 C,D,Q 三点共线,所以 kCQ-kDQ=0.故 y1-y2=x1-x2.所以直线 l 的斜率 k= =1.y1-y2x1-x2(三)求证图形的几何性质中一些几何量的相等问题124.(2018全国 卷文 T20)已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C: + =1 交于 A,B 两点,线段x24y23AB 的中点为 M(1
17、,m)(m0).(1)证明: k0,x20.由 得 ky2-2y-4k=0,可知 y1+y2= ,y1y2=-4.y=k(x-2),y2=2x, 2k直线 BM,BN 的斜率之和为 kBM+kBN= + = . y1x1+2 y2x2+2x2y1+x1y2+2(y1+y2)(x1+2)(x2+2)将 x1= +2,x2= +2 及 y1+y2,y1y2的表达式代入 式分子,可得 x2y1+x1y2+2(y1+y2)=y1k y2k= =0.2y1y2+4k(y1+y2)k -8+8k所以 kBM+kBN=0,可知 BM,BN 的倾斜角互补,所以 ABM= ABN.综上, ABM= ABN.1.
18、圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题,常涉及不等式、函数的值域等,综合性比较强,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是利用几何方法,即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数方法,即把要求的几何量或代数表达式表示为某些参数的函数解析式,然后利用函数方法、不等式方法等进行求解 .2.圆锥曲线的几何性质主要包括离心率、范围、对称性、渐近线、准线等 .这些性质问题往往与平面图形中三角形、四边形的有关几何量结合在一起,主要考查利用几何量的关系求椭圆、双曲线的离心率和双曲线的渐近线方程 .对于圆锥曲线的最值问题,正确把握圆锥曲线的几何性质并灵活应用,是解题的关键
19、.3.圆锥曲线中的范围问题是高考中的热点问题,常涉及不等式的恒成立问题、函数的值域问题,综合性比较强 .解决此类问题常用几何法和判别式法 .4.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值 .依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式,化简即可得出定值 .(2)求点到直线的距离为定值 .利用点到直线的距离公式得出距离的关系式,再利用题设条件化简、变形求得定值 .14(3)求某条线段长度为定值 .利用长度公式求得关系式,再依据条件对关系式进行化简、变形即可求得定值 .5.(1)解决是否存在常数(或定点)的问题时,应首先假设存在,看是否能求出符合条件的参数值,如果推出矛盾就不存在,否则就存在 .(2)解决是否存在直线的问题时,可依据条件寻找适合条件的直线方程,联立方程消元得出一元二次方程,利用判别式得出是否有解 .
