1、1单元质检卷九 解析几何(时间:100 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12小题,每小题 5分,共 60分)1.(2018名校联盟二模,4)“ a=1”是“直线(2 a+1)x+ay+1=0和直线 ax-3y+3=0垂直”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.(2019届河北武邑中学调研三,文 7)双曲线 my2-x2=1的一个顶点在抛物线 y= x2的准线上,则该双12曲线的离心率为( )A. B.2 C.2 D.5 5 3 33.已知直线 l: =1(a0,b0)将圆 C:x2+y2-2x-4y+4=0平分,则直线 l与两坐标
2、轴围成的三角形xa+yb的面积的最小值为( )A.8 B.4 C.2 D.14.(2018西藏自治区拉萨中学模拟,11)已知直线 x-y+m=0与圆 O:x2+y2=1相交于 A,B两点,且 OAB为正三角形,则实数 m的值为( )A. B.32 62C. 或 - D. 或 -32 32 62 625.(2018广东佛山七校联考,5)已知双曲线 =1(a0,b0)的右焦点为 F,点 A在双曲线的渐近线x2a2-y2b2上, OAF是边长为 2的等边三角形( O为原点),则双曲线的方程为( )A. -y2=1x23B.x2- =1y23C. =1x24-y212D. =1x212-y246.已知
3、直线 l:mx+y-1=0(mR)是圆 C:x2+y2-4x+2y+1=0的对称轴,过点 A(-2,m)作圆 C的一条切线,切点为 B,则 |AB|的值为( )A.4 B.2 C.4 D.35 27.(2019届湖南、湖北八市十二校一调联考,9)已知点 A(0,2),抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,射线 FA与抛物线 C相交于点 M,与其准线相交于点 N,若 ,则 p的值等于( )|FM|MN|= 552A. B.18 14C.2 D.48.已知点 P(x,y)是直线 kx+y+4=0(k0)上一动点, PA,PB是圆 C:x2+y2-2y=0的两条切线, A,B为切点,若四边形
4、 PACB面积的最小值是 2,则 k的值是( )A. B.2212C.2 D.2 29.(2018河北衡水二模,9)已知 O是坐标原点,双曲线 -y2=1(a1)与椭圆 +y2=1(a1)的一个交点x2a x2a+2为 P,点 Q( ,0),则 POQ的面积为( )a+1A. B.aa2C.1 D.1210.(2018河北衡水中学第十七次模拟,10)若抛物线 y2=4x的焦点是 F,准线是 l,点 M(4,m)是抛物线上一点,则经过点 F,M且与 l相切的圆共有( )A.0个 B.1个C.2个 D.4个11.(2018四川成都七中三诊,11)已知双曲线 C: -4y2=1(a0)的右顶点到其一
5、条渐近线的距离等于x2a2,抛物线 E:y2=2px的焦点与双曲线 C的右焦点重合,则抛物线 E上的动点 M到直线 l1:4x-3y+6=034和 l2:x=-1距离之和的最小值为( )A.1 B.2 C.3 D.412.(2018青海西宁二模,11)抛物线 C1:y2=4x和圆 C2:(x-1)2+y2=1,直线 l经过 C1的焦点 F,依次交C1,C2于 A,B,C,D四点,则 的值为( )ABCDA. B.1 C.2 D.434二、填空题(本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分)13.已知点 A(1,0),B(3,0),若直线 y=kx+1上存在点 P,满足 PA PB,则 k的取值
6、范围是 . 14.(2019届河北衡水联考,14)已知点 P(-1,2)及圆( x-3)2+(y-4)2=4,一光线从点 P出发,经 x轴上一点 Q反射后与圆相切于点 T,则 |PQ|+|QT|的值为 . 15.(2018河南南阳联考,15) M是抛物线 C:y2=4x上一点, F是抛物线 C的焦点, O为坐标原点且|MF|=2,K是抛物线 C的准线与 x轴的交点,则 MKO= . 316.(2018云南曲靖一中质检七,16)已知椭圆 =1(ab0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为 P,直x2a2+y2b2线 l:x-2y=0交椭圆于 A,B两点,若 |AF|+|BF|=2,点 P到直线 l的
7、距离不小于 ,则椭圆离心率的取55值范围是 . 三、解答题(本大题共 5小题,共 70分)17.(14分)(2019 届广东广州测试,20)设 O为坐标原点,曲线 x2+y2+2x-6y+1=0上有两点 P,Q,满足关于直线 x+my+4=0对称,又满足 =0.OPOQ(1)求 m的值;(2)求直线 PQ的方程 .18.(14分)(2019 届广东湛江调研,20)已知椭圆 C: =1(ab0)的离心率 e= ,且右焦点为(2x2a2+y2b2 63,0).斜率为 1的直线 l与椭圆 C交于 A,B两点,以 AB为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2).2(1)求椭圆 C的标准方程;(2)求
8、PAB的面积 .419.(14分)(2019 届四川成都棠湖中学模拟,20)如图,已知抛物线 C的顶点在原点,焦点 F在 x轴上,抛物线上的点 A到 F的距离为 2,且 A的横坐标为 1.过 A点作抛物线 C的两条动弦 AD,AE,且 AD,AE的斜率满足 kADkAE=2.(1)求抛物线 C的方程;(2)直线 DE是否过某定点?若过某定点,请求出该点坐标;若不过某定点,请说明理由 .20.(14分)(2018 东北师范大学附中五模,20)已知椭圆 C: =1(a0,b0)的离心率为 ,点x2a2+y2b2 32在 C上 .3,12(1)求椭圆 C的方程;(2)过点 A(-2,0)作直线 AQ
9、交椭圆 C于另外一点 Q,交 y轴于点 R,P为椭圆 C上一点,且 AQ OP,求证: 为定值 .|AQ|AR|OP|2521.(14分)(2019 届江西抚州七校联考,20)已知圆 M与直线 3x- y+4=0相切于点(1, ),圆心 M7 7在 x轴上 .(1)求圆 M的方程;(2)过点 M且不与 x轴重合的直线 l与圆 M相交于 A,B两点, O为坐标原点,直线 OA,OB分别与直线x=8相交于 C,D两点,记 OAB, OCD的面积分别是 S1,S2,求 的取值范围 .S1S2参考答案单元质检卷九 解析几何1.A 当 a=1时,直线(2 a+1)x+ay+1=0的斜率为 -3,直线 a
10、x-3y+3=0的斜率为 ,两直线垂直;当 a=013时,两直线也垂直,所以“ a=1”是“直线(2 a+1)x+ay+1=0和直线 ax-3y+3=0垂直”的充分不必要条件,故选 A.2.A 抛物线的方程为 y= x2, 抛物线的准线方程为 y=- . 双曲线 my2-x2=1的一个顶点在抛物12 12线 y= x2的准线上, 双曲线的顶点坐标为 0,- ,a= .又 b= 1,c= ,则双曲线的离心率为 =12 12 12 52 ca.故选 A.563.B 圆 C:x2+y2-2x-4y+4=0的圆心坐标为(1,2),则 + =12 ,ab 8,1a2b 2ab当且仅当 a=2,b=4时,
11、等号成立 . 直线 l与两坐标轴围成的三角形的面积 S= ab4 .12 直线 l与两坐标轴围成的三角形的面积的最小值是 4,故选 B.4.D 由题意得,圆 O:x2+y2=1的圆心坐标为(0,0),半径 r=1.因为 OAB为正三角形,则圆心 O到直线 x-y+m=0的距离为 r= ,即 d= = ,解得 m= 或 m=- ,故选 D.32 32 |m|2 32 62 625.B 双曲线 - =1(a0,b0)的右焦点为 F,点 A在双曲线的渐近线上, OAF是边长为 2的等边三x2a2y2b2角形( O为原点),可得 c=2, = ,即 =3, =3,解得 a=1,b= ,双曲线的焦点坐标
12、在 x轴,所得双ba 3 b2a2 c2-a2a2 3曲线的方程为 x2- =1,故选 B.y236.A 由 x2+y2-4x+2y+1=0,得( x-2)2+(y+1)2=4, 圆心 C(2,-1),半径 r=2.由题意可得,直线 l:mx+y-1=0经过圆 C的圆心(2, -1), 2m-1-1=0,m= 1,点 A(-2,1).AC= ,CB=r=2,20 切线的长 |AB|= =4.20-47.C 设 F ,0 ,MK是点 M到准线的距离,点 K是垂足 .由抛物线定义可得 |MK|=|MF|,因为 = ,p2 |FM|MN| 55所以 = ,那么 |KN|KM|= 2 1,即直线 FA
13、的斜率是 -2,所以 =-2,解得 p=2.故选 C.|MK|MN| 55 2-00-p28.C 圆的方程为 x2+(y-1)2=1, 圆心 C(0,1),半径 r=1.当四边形 PACB的面积最小时,圆心 C到点 P的距离最小,最小值为圆心 C到直线 kx+y+4=0(k0)的距离 d,此时 PA=PB=2.d= = ,解得 k=2.5|1+4|1+k2k 0,k= 2.故选 C.9.D 由题意知两曲线有相同的焦点,设左右两个焦点分别为 F1,F2,7根据双曲线的定义得到 |PF1|-|PF2|=2 ,根据椭圆的定义得到 |PF1|+|PF2|=2 ,a a+2联立两个式子得到 |PF1|=
14、 + ,|PF2|= - ,由椭圆与双曲线的标准方程得a+2 a a+2 a|F1F2|=2 ,a+1所以 Q与 F2重合,由余弦定理得到 cos F1PF2= =0,故 F1PF2= ,2(2a+2)-4(a+1)2 2则 S POQ= = ( + )( - )= ,故选 D.12S PF1F212 12 a+2 a a+2 a 1210.D 因为点 M(4,m)在抛物线 y2=4x上,所以可求得 m=4.由于圆经过焦点 F且与准线 l相切,所以由抛物线的定义知圆心在抛物线上 .又圆经过抛物线上的点 M,所以圆心在线段 FM的垂直平分线上,故圆心是线段 FM的垂直平分线与抛物线的交点 .结合
15、图形知对于点 M(4,4)和(4, -4),线段 FM的垂直平分线与抛物线都各有两个交点 .所以满足条件的圆有 4个 .故选 D.11.B 由双曲线方程 -4y2=1(a0)可得,双曲线的右顶点为( a,0),渐近线方程为 y= x,即x2a2 12ax2ay=0. 双曲线的右顶点到渐近线的距离等于 , = ,解得 a2= , 双曲线的方程为 -34 a1+4a2 34 34 4x234y2=1, 双曲线的焦点为(1,0) .又抛物线 E:y2=2px的焦点与双曲线 C的右焦点重合, p= 2, 抛物线的方程为 y2=4x,焦点坐标为 F(1,0).如图,设点 M到直线 l1的距离为 |MA|
16、,到直线 l2的距离为 |MB|,则 |MB|=|MF|,|MA|+|MB|=|MA|+|MF|. 结合图形可得当 A,M,F三点共线时, |MA|+|MB|=|MA|+|MF|最小,且最小值为点 F到直线 l1的距离 d=2.故选 B.|41+6|42+3212.B 抛物线 y2=4x的焦点为 F(1,0),易知直线 l存在斜率且不为 0,设方程为 y=k(x-1),联立得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0,解得 A 1+ - , - ,D 1+ + , + ,y=k(x-1),y2=4x, 2k22k2+1k2 2k2k2+1k2 2k22k2+1k2 2k2k2+1k2联立 得( k
17、2+1)(x-1)2=1,解得 B 1- ,- ,C 1+ , ,y=k(x-1),(x-1)2+y2=1, 1k2+1 kk2+1 1k2+1 kk2+18则 = - - + ,- - + , = + - , + - ,AB1k2+12k22k2+1k2 kk2+12k2k2+1k CD 2k22k2+1k2 1k2+12k2k2+1k kk2+1则 =1.ABCD13. 以 AB为直径圆的方程为( x-1)(x-3)+y2=0,把 y=kx+1代入上述方程可得(1 +k2)-43,0x2+(2k-4)x+4=0. 直线 y=kx+1上存在点 P,满足 PA PB,= (2k-4)2-16(
18、1+k2)0,化为 3k2+4k0 .解得 - k0,则 k的取值范围是 .43 -43,014.4 点 P关于 x轴的对称点为 P(-1,-2),3由反射的对称性可知,直线 PQ与圆相切, |PQ|+|QT|=|PT|, 圆( x-3)2+(y-4)2=4的圆心坐标为 A(3,4),半径 r=2,|AP| 2=(-1-3)2+(-2-4)2=52,|AT|=r=2,|PQ|+|QT|=|PT|= =4 ,故答案|AP|2-|AT|2 3为 4 .315.45 由抛物线的对称性不妨设 M(x1,y1)(y10),则 x1+1=2,得 M(1,2),因为 K(-1,0),O(0,0),所以 =(
19、2,2), =(1,0),可得 =2,| |=2 ,| |=1.cos MKO=cos= = ,所以KM KO KMKO KM 2 KO KMKOKMKO|KM|KO| 22 MKO=45.16. 设椭圆的左焦点为 F,连接 AF,BF(图略),因为点 A、 B关于原点对称,所以(0,32|AF|+|BF|=|BF|+|AF|=2,则 |AF|+|AF|+|BF|+|BF|=4,即 2a=2,a=1,设 P(0,b),因为点 P到直线l的距离不小于 ,所以 ,即 b ,即 c= ,即 0, ,即椭圆离心率的取值范55 |2b|5 55 12 1-b2 32 ca 32围是 0, .3217.解
20、 (1) x2+y2+2x-6y+1=0(x+1)2+(y-3)2=9,所以曲线为以( -1,3)为圆心,3 为半径的圆,由已知,得直线过圆心,所以 -1+3m+4=0,解之,得 m=-1.(2)设直线 PQ的方程为 y=-x+b,9联立方程组x2+y2+2x-6y+1=0,y= -x+b, 得 2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0,设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则有 x1+x2=b-4,x1x2= ,b2-6b+12又 =0,所以 x1x2+y1y2=0,OPOQ即 2x1x2-b(x1+x2)+b2=0,将 x1+x2=b-4,x1x2= 代入上式得 b2-2b+1=0,b
21、2-6b+12所以 b=1,所以直线 PQ的方程为 y=-x+1.18.解 (1)由已知得 c=2 , = ,解得 a=2 .2ca 63 3b2=a2-c2=4, 椭圆 C的标准方程为 + =1.x212y24(2)设直线 l的方程为 y=x+m,代入椭圆方程得4x2+6mx+3m2-12=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为 E(x0,y0),则 x0= =- ,y0=x0+m= ,x1+x22 3m4 m4因为 AB是等腰三角形 PAB的底边,所以 PE AB.所以 PE的斜率为 k= =-1,解得 m=2,2-m4-3+3m4此时方程 为 4x2+12x=0.解得
22、x1=-3,x2=0,所以 y1=-1,y2=2,所以 |AB|=3 ,2此时,点 P(-3,2)到直线 AB:x-y+2=0的距离d= = ,|-3-2+2|2 322所以 PAB的面积 S= |AB|d= .12 9219.解 (1)设抛物线方程为 C:y2=2px(p0),由其定义知 |AF|=1+ ,又 |AF|=2,p2所以 p=2,y2=4x.10(2)易知 A(1,2),设 D(x1,y1),E(x2,y2),DE方程为 x=my+n(m0) .把 DE方程代入抛物线 C,并整理得 y2-4my-4n=0,= 16(m2+n)0,y1+y2=4m,y1y2=-4n.由 kADkA
23、E= =2及 =4x1, =4x2得y1-2x1-1 y2-2x2-1 y21 y22y1y2+2(y1+y2)=4,即 -4n+24m=4,所以 n=2m-1,代入 DE方程得:x=my+2m-1,即( y+2)m=x+1,故直线 DE过定点( -1,-2).20.解 (1)由题可得 e= = ,ca 32且 + =1,a2=b2+c2,(3)2a2 (12) 2b2所以 a=2,c= ,b=1,3所以椭圆 C的方程为 +y2=1.x24(2)设直线 AQ:y=k(x+2),R(0,2k),由 (1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0,y=k(x+2),x24+y2=1 由韦达定理可
24、得:x1+x2= -16k21+4k2,x1x2=16k2-41+4k2,x1=-2,x2=xQ= ,2-8k21+4k2则 |AQ|= |xQ-x1|= +2 = ,1+k2 1+k22-8k21+4k2 1+k2 41+4k2|AR|= |0-(-2)|=2 ,|OP|= |xP-0|,1+k2 1+k2 1+k2令直线 OP为 y=kx且令 yP0,xP0.得(1 +4k2)x2-4=0,y=kx,x24+y2=1,由韦达定理可得 x2=xP= ,x1+x2=0,x1x2= -41+4k2, 41+4k2所以 |OP|= , = =2,21+k21+4k2|AQ|AR|OP|2 41+4
25、k2241+4k2所以 为 2.|AQ|AR|OP|21121.解 (1)设圆的方程为( x-a)2+y2=r2,(1-a)2+7=r2,71-a37= -1,解得 a=4,r=4,所以圆的方程为( x-4)2+y2=16.(2)由题意知: AOB= ,2设直线 OA的斜率为 k(k0),则直线 OA的方程为 y=kx,由 得(1 +k2)x2-8x=0,y=kx,x2+y2-8x=0,解得 或 则点 A的坐标为 , ,又直线 OB的斜率为 - ,同理可得点 Bx=0,y=0, x=81+k2,y= 8k1+k2, 81+k2 8k1+k2 1k的坐标为 , .8k21+k2 -8k1+k2由题意知, C(8,8k),D 8,- ,8k因此, = = .S1S2OAOBODOCOAOCOBOD又 = = = ,同理, = ,OAOCxAxC 81+k28 11+k2 OBODk21+k2所以 = = ,当且仅当 |k|=1时取等号 .S1S2 k2k4+2k2+1 1k2+1k2+2 14又 0,所以 的取值范围是 0, .S1S2 S1S2 1412
