1、1课时规范练 30 等比数列及其前 n 项和基础巩固组1.(2018 北京师大附中期中)在等比数列 an中, a1=3,a1+a2+a3=9,则 a4+a5+a6等于( )A.9 B.72C.9 或 72 D.9 或 -722.(2018 湖南岳阳一中期末)等比数列 an中, anan+1=4n-1,则数列 an的公比为( )A.2 或 -2 B.4C.2 D. 23.(2018 黑龙江仿真模拟十一)等比数列 an中, an0,a1+a2=6,a3=8,则 a6=( )A.64 B.128 C.256 D.5124.在公比为正数的等比数列 an中, a1+a2=2,a3+a4=8,则 S8等于
2、( )A.21 B.42 C.135 D.1705.(2018 重庆梁平二调)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座 7 层塔共挂了 381 盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍,则塔的顶层共有灯( )A.1 盏 B.3 盏 C.5 盏 D.9 盏6.(2018 衡水中学仿真,6)已知数列 an为等比数列,且 a2a3a4=- =-64,则 tan =( )27 463A.- B. C. D. -3 3 3337.(2018 陕西咸阳三模)已知数列 an为等比数列,且 a3a11+2 =4,则 ta
3、n(a1a13)的值为 27. 8.( 2018 全国 3,文 17)等比数列 an中, a1=1,a5=4a3.(1)求 an的通项公式;(2)记 Sn为 an的前 n 项和,若 Sm=63,求 m.29.(2018 北京城六区一模)已知等比数列 an满足以 a1=1,a5=a2.(1)求数列 an的通项公式;(2)试判断是否存在正整数 n,使得 an的前 n 项和 Sn为?若存在,求出 n 的值;若不存在,说明理由 .综合提升组10.(2018 全国 1,理 14)记 Sn为数列 an的前 n 项和 .若 Sn=2an+1,则 S6= . 11.已知数列 an的前 n 项和为 Sn,对任意
4、的正整数 n,都有 Sn=an+n-3 成立 .求证:存在实数 ,使得数列 an+ 为等比数列 .12.已知 an是公差为 3 的等差数列,数列 bn满足 b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求 an的通项公式;(2)求 bn的前 n 项和 .创新应用组13.(2018 浙江,10)已知 a1,a2,a3,a4成等比数列,且 a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若 a11,则( )A.a1a3,a2a4 D.a1a3,a2a4314.我们把满足 xn+1=xn- 的数列 xn叫做牛顿数列 .已知函数 f(x)=x2-1,数列 xn为牛顿数列,设()()an=l
5、n ,已知 a1=2,则 a3= . -1+1参考答案课时规范练 30 等比数列及其前 n 项和1.D 设等比数列 an的公比为 q,a 1=3,a1+a2+a3=9, 3+3q+3q2=9,解得 q=1 或 q=-2,当 q=1 时,a4+a5+a6=(a1+a2+a3)q3=9.当 q=-2 时, a4+a5+a6=-72,故选 D.2. C 设等比数列 an的公比为 q,a nan+1=4n-10,a n+1an+2=4n且 q0,两式相除可得 =+1+2+1=4,即 q2=4,q= 2,故选 C.44-13.A 由题意结合等比数列的通项公式可得解得 则 a6=a1q5=225=64.1
6、+1=6,12=8,10, 1=2,=2,4.D (方法一) S8=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+(a7+a8)=2+8+32+128=170.(方法二) q2= =4,3+41+2又 q0,q= 2,a 1(1+q)=a1(1+2)=2,a 1= ,23S 8= =170.23(28-1)2-15.B 设塔的顶层共有 x 盏灯,则各层的灯数构成一个公比为 2 的等比数列,由 =381,可得(1-27)1-2x=3,故选 B.46.A 依题意,得 a2a3a4= =-64,所以 a3=-4.由 =64,得 a7=-8,或 a7=8(由于 a7与 a3同号,故舍去),33 27
7、所以 a4a6=a3a7=32.tan =tan =tan 11 - =-tan=- ,故选 A.463 323 37. an是等比数列, a 3a11+2 = +2 =4,即 = ,a 1a13= = ,tan(a1a13)=tan = .3 2727 27 2743 2743 43 38.解 (1)设 an的公比为 q,由题设得 an=qn-1.由已知得 q4=4q2,解得 q=0(舍去), q=-2 或 q=2.故 an=(-2)n-1或 an=2n-1.(2)若 an=(-2)n-1,则 Sn= .由 Sm=63 得( -2)m=-188,此方程没有正整数解 .1-(-2)3若 an=
8、2n-1,则 Sn=2n-1.由 Sm=63 得 2m=64,解得 m=6.综上, m=6.9.解 (1)设 an的公比为 q,a 5=a2,且 a5=a2q3,q 3= ,得 q= ,18 12a n=a1qn-1= (n=1,2,).12-1(2)不存在 n,使得 an的前 n 项和 Sn为 ,52a 1=1,q= ,12S n= =2 1- .1-(12)1-12 12(方法一)令 Sn= ,则 2 1- = ,得 2n=-4,该方程无解,52 12 52 不存在 n,使得 an的前 n 项和 Sn为 .52(方法二) 对任意 nN +,有 1- 1,q1,即 q+q20,解得 q0 舍去) .由 a11,可知 a1(1+q+q2)1,a 1(1+q+q2+q3)0,即 1+q+q2+q30,即(1 +q)+q2(1+q)0,即(1 +q)(1+q2)0,这与 qa3,a2a4.14.8 由 f(x)=x2-1,得 f(x)=2x,则 xn+1=xn- = ,2-122+12所以 xn+1-1= ,(-1)226xn+1+1= ,(+1)22所以 = ,+1-1+1+1(-1)2(+1)2所以 ln =ln =2ln ,即 an+1=2an,+1-1+1+1(-1)2(+1)2 -1+1所以数列 an是首项为 2,公比为 2 的等比数列,则 a3=222=8.
