1、14.2 三角恒等变换挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度三角恒等变换1.两角和与差的三角函数公式会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式;能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,并了解它们的内在联系2.简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,但这三组公式不要求记忆)2015 天津 ,15两角差的余弦公式函数在闭区间上的最值分析解读 两角和与差的三角函数公式及二倍角公式一直是高考命题的热点,全面考查两角
2、和与差及二倍角公式的综合应用.1.以两角和与差的三角函数公式为基础,求三角函数的值或化简三角函数式;2.二倍角公式是热点和难点,要理解“倍角”的含义,注意“倍角”的相对性,并能灵活应用;3.解决与两角和与差的三角函数公式及二倍角公式有关的综合问题时,一般先把三角函数式化成 y=Asin(x+)+b 的形式,再讨论三角函数的性质.本节内容常以解答题的形式出现,与解三角形问题结合在一起考查,属于中档题.破考点【考点集训】考点 三角恒等变换1.“sin+cos=0”是“cos2=0”的( )2A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A 2.(201
3、5 课标,2,5 分)sin20cos10-cos160sin10=( )A.- B. C.- D.32 32 12 12答案 D 3.若 tan=2tan ,则 =( ) 5 cos( -310)sin( - 5)A.1 B.2 C.3 D.4答案 C 4.(2018 课标,15,5 分)已知 sin+cos=1,cos+sin=0,则 sin(+)= . 答案 -12炼技法【方法集训】方法 1 三角函数的化简与求值问题1.(2013 课标,6,5 分)已知 sin2= ,则 cos2 =( )23 ( + 4)A. B. C. D.16 13 12 23答案 A 2.已知 tan=2.(1
4、)求 tan 的值;( + 4)(2)求 的值.sin2sin2 +sin cos -cos2 -1解析 (1)因为 tan=2,所以 tan = = =-3.( + 4) tan +tan 41-tan tan 4 2+11-21(2)因为 tan=2,所以sin2sin2 +sin cos -cos2 -1=2sin cossin2 +sin cos -(cos2 -sin2 )-(sin2 +cos2 )= = = =1.2sin cossin2 +sin cos -2cos2 2tantan2 +tan -2 2222+2-2方法 2 利用辅助角公式解决问题的方法33.已知 2cos2
5、x+sin2x=Asin(x+)+b(A0),则 A= ,b= . 答案 ;124.已知函数 f(x)=(1+tanx)sin2x.(1)求 f(x)的定义域;(2)若 (0,),且 f()=2,求 的值.解析 (1)因为函数 y=tanx 的定义域是 xR xk+ ,kZ ,所以 f(x)的定义域为 2xR xk+ ,kZ . 2(2)f(x)=(1+tanx)sin2x= sin2x=sin2x+2sin2x(1+sinxcosx)=sin2x-cos2x+1= sin +1.2 (2x- 4)由 f()=2,得 sin = .(2 - 4) 22因为 00)的最x2小值在区间 上至少出现
6、两次,则 的最小值等于( )- 3, 4A.6 B. C. D.394 1547答案 D 3.(2018 天津六校联考期中,4)若点 P(cos,sin)在直线 y=-2x 上,则 sin2+cos=( )(2 + 2)A.0 B. C. D.25 65 85答案 D 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)4.(2019 届天津新华中学第一次月考,12)已知 , ,sin(+)=- ,sin(34, ) 35= ,则 cos = . ( - 4)1213 ( + 4)答案 -56655.(2019 届天津武清杨村三中第一次月考,13)函数 f(x)=cosx-sinx 的单调递增区间为 .
7、答案 (kZ)2k -54,2k - 46.(2018 天津南开三模,13)若函数 f(x)=sinx+cosx(0)对任意实数 x 都有 f=f ,则 f 的值等于 . ( 6+x) ( 6-x) ( 3- )答案 -1三、解答题(共 75 分)7.(2018 天津河西三模,15)已知函数 f(x)=2cos2x-cos -1.(2x+ 3)(1)求函数 f(x)的最小正周期和对称轴方程;(2)讨论函数 f(x)在 上的单调性.- 4, 4解析 (1)f(x)=2cos 2x-cos -1=cos2x- cos2x+ sin2x=sin ,(2x+ 3) 12 32 (2x+ 6)=2,函数
8、 f(x)的最小正周期 T= =.22令 2x+ =k+ ,kZ, 6 2解得 x= + ,kZ,k2 6f(x)的对称轴方程为 x= + ,kZ.k2 68(2)令 2k- 2x+ 2k+ ,kZ, 2 6 2解得- +kx +k,kZ, 3 6设 A= ,B= ,- 4, 4 x|- 3+k x 6+k ,k Z可得 AB= ,- 4, 6当 x 时,f(x)在区间 上单调递增,- 4, 4 - 4, 6)在区间 上单调递减. 6, 48.(2017 天津红桥二模,15)已知函数 f(x)=- sin +6sinxcosx-2cos2x+1,xR.2 (2x+ 4)(1)求 f(x)的最小
9、正周期;(2)求 f(x)在区间 上的最大值和最小值.0, 2解析 (1)由已知,有 f(x)=- sin +6sinxcosx-2cos2x+12 (2x+ 4)=-sin2x-cos2x+3sin2x-(1+cos2x)+1=2sin2x-2cos2x=2 sin ,2 (2x- 4)f(x)的最小正周期 T= =.22(2)易知 f(x)在区间 上为增函数,在区间 上为减函数,f(0)=- 2 =-2,f0,38 38, 2 22 2= 2 =2,f =2 ,( 2) 22 2 (38) 2f(x)在区间 上的最大值为 2 ,最小值为-2.0, 2 29.(2019 届天津一中月考,15
10、)设函数 f(x)=cos +sin2x.(2x+ 3)(1)求函数 f(x)的最小正周期和最大值;(2)求函数 f(x)的单调递减区间;(3)设 A,B,C 为ABC 的三个内角,若 cosB= ,f =- ,且 C 为锐角,求 sinA.13 (C2) 14解析 (1)由已知,有 f(x)=cos2xcos -sin2xsin + = cos2x- sin2x+ - cos2x= - 3 31-cos2x2 12 32 1212 12sin2x,32所以 f(x)的最小正周期 T= =.229当 2x=- +2k(kZ),即 x=- +k(kZ)时,f(x)取得最大值,最大值为 . 2 4
11、 1+ 32(2)由- +2k2x +2k,kZ,得- +kx +k,kZ,所以 f(x)的单调递减区间 2 2 4 4为 (kZ).- 4+k , 4+k (3)由 f =- ,即 - sinC=- ,(C2) 14 12 32 14解得 sinC= ,又 C 为锐角,所以 C= .32 3由 cosB= ,得 sinB= .13 223因此 sinA=sin-(B+C)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC= + = .223 1213 32 22+ 3610.(2018 天津部分区县二模,15)已知函数 f(x)=cos2x+ sin2x- (0)的图象上相32 12邻的
12、两最高点间的距离是 .(1)求函数 f(x)的解析式;(2)在锐角ABC 中,内角 A,B,C 满足 sinAsinC-sin2C=sin2A-sin2B,求 f(A)的取值范围.解析 (1)函数 f(x)=cos2x+ sin2x-32 12= (1+cos2x)+ sin2x-12 32 12= sin2x+ cos2x=sin .32 12 (2x + 6)函数 f(x)图象上相邻的两最高点间的距离是 ,T=,由 T= =,且 0,解得 =1,22f(x)=sin .(2x+ 6)(2)由 sinAsinC-sin2C=sin2A-sin2B 得 ac-c2=a2-b2,即 a2+c2-
13、b2=ac,cosB= = = ,a2+c2-b22ac ac2ac12又B ,B= ,(0, 2) 3在锐角三角形 ABC 中,A ,( 6, 2) 2A+ , 2 676- sin 1,12 (2A+ 6)10f(A) .(-12,1)11.(2017 天津新华中学模拟,15)已知函数 f(x)=2sin sin -( 4-x) ( 4+x)2 sinxcos(-x).3(1)求 f(x)的单调递增区间;(2)将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标变为原来的122 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)在 上的值域.0,56解析 (1
14、)函数 f(x)=2sin sin -2 sinxcos(-x)( 4-x) ( 4+x) 3=cos2x+ sin2x=2sin .3 (2x+ 6)由 2k- 2x+ 2k+ ,kZ,得 k- xk+ ,kZ,所以 f(x)的单调递增区间为 2 6 2 3 6(kZ).k - 3,k + 6(2)由(1)可知 f(x)=2sin ,将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位长度,得到(2x+ 6) 12y=2sin =2sin 的图象,2(x+12)+ 6 (2x+ 3)再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)=2sin的图象,(x+ 3)当 x 时
15、,x+ ,故 g(x)-1,2.0,56 3 3,7612.(2017 天津和平四模,15)已知函数 f(x)=( tanx+1)cos2x.3(1)若 ,且 cos=- ,求 f()的值;( 2, ) 55(2)讨论函数 f(x)在 内的单调性. 4,34 解析 (1) ,且 cos=- ,( 2, ) 55sin= = ,1-cos2255tan= =-2,sincosf()=(-2 +1) = .3 (-55)21-235(2)易知函数 f(x)的定义域为 x xR,且 x +k,kZ . 211f(x)=( tanx+1)cos2x3= sinxcosx+cos2x3= sin2x+32 1+cos2x2=sin + ,(2x+ 6)12当 x 时,2x+ ,此时函数 f(x)单调递减; 4, 2) 6 23,76)x 时,2x+ ,此时函数 f(x)在 上单调递减,在 上单调递增.( 2,34 6 (76,53 ( 2,23 (23,34综上,函数 f(x)在区间 和区间 上单调递减,在区间 上单调递增. 4, 2) ( 2,23 (23,34
