1、19.6 直线与圆锥曲线的位置关系挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度2018 天津,19 三角函数2017 天津文,20椭圆的几何性质1.直线与圆锥曲线的位置关系2015 天津文,19直线与椭圆的位置关系直线方程2.弦长公式的应用2018 北京文,20 求弦长的最值直线与椭圆的位置关系3.弦中点问题1.会用代数法和数形结合法判断直线与椭圆、抛物线的位置关系2.根据所学知识熟练解决直线与椭圆、抛物线位置关系的综合问题2018 课标,20弦中点相关问题向量的运算 分析解读 从天津高考试题来看,本节内容一直是高考的热点,直线与椭圆以及抛物线的位置关系、圆锥曲线
2、中的弦长、弦的中点等问题考查比较频繁,常与向量、圆等知识结合考查,解题基本策略有:(1)巧设直线方程;(2)注意整体代换思想的应用,利用根与系数的关系设而不求.炼技法【方法集训】方法 1 圆锥曲线中弦长的求法1.过椭圆 +y2=1 的右焦点作互相垂直的两条直线,分别交椭圆于 A,B,C,D 四点,则四边形x24ABCD 面积 S 的最大值与最小值之差为( )A. B. C. D.1725 1825 1925 45答案 B 2.(2016 课标,20,12 分)已知椭圆 E: + =1 的焦点在 x 轴上,A 是 E 的左顶点,斜率为x2ty23k(k0)的直线交 E 于 A,M 两点,点 N
3、在 E 上,MANA.2(1)当 t=4,|AM|=|AN|时,求AMN 的面积;(2)当 2|AM|=|AN|时,求 k 的取值范围.解析 (1)设 M(x1,y1),则由题意知 y10.当 t=4 时,E 的方程为 + =1,A(-2,0).x24y23由已知及椭圆的对称性知,直线 AM 的倾斜角为 . 4因此直线 AM 的方程为 y=x+2.将 x=y-2 代入 + =1 得 7y2-12y=0.x24y23解得 y=0 或 y= ,所以 y1= .127 127因此AMN 的面积 SAMN =2 = .12 127 12714449(2)设 M(x1,y1),由题意,t3,k0,A(-
4、 ,0).将直线 AM 的方程 y=k(x+ )代入 + =1 得t tx2ty23(3+tk2)x2+2 tk2x+t2k2-3t=0.t由 x1(- )= 得 x1= ,tt2k2-3t3+tk2 t(3-tk2)3+tk2故|AM|=|x 1+ | = .t 1+k26t(1+k2)3+tk2由题设,直线 AN 的方程为 y=- (x+ ),1k t故同理可得|AN|= .6kt(1+k2)3k2+t由 2|AM|=|AN|得 = ,即(k 3-2)t=3k(2k-1).23+tk2 k3k2+t当 k= 时上式不成立,因此 t= .323k(2k-1)k3-2t3 等价于 = 0,k3
5、-20, 32因此 k 的取值范围是( ,2).32疑难突破 第(1)问中求出直线 AM 的倾斜角是解决问题的关键;第(2)问利用 2|AM|=|AN|得出 t 与 k 的关系式,由 t3,建立关于 k 的不等式,从而得出 k 的取值范围.评析本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系以及方程的思想方法的应用,考查学生的运算求解能力及逻辑思维能力.注意题目中 t3 这一隐含条件,是把等式转化为不等式的关键.3方法 2 圆锥曲线中弦中点问题的求法3.已知椭圆 E: + =1(ab0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交 E 于 A,B 两点.若 AB 的中x2a2y2b2点坐标为(
6、1,-1),则 E 的方程为( )A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1x245y236 x236y227 x227y218 x218y29答案 D 过专题【五年高考】A 组 自主命题天津卷题组1.(2018 天津,19,14 分)设椭圆 + =1(ab0)的左焦点为 F,上顶点为 B.已知椭圆的离心率x2a2y2b2为 ,点 A 的坐标为(b,0),且|FB|AB|=6 .53 2(1)求椭圆的方程;(2)设直线 l:y=kx(k0)与椭圆在第一象限的交点为 P,且 l 与直线 AB 交于点 Q.若= sinAOQ(O 为原点),求 k 的值.|AQ|PQ|524解析
7、 (1)设椭圆的焦距为 2c,由已知得 = ,c2a259又由 a2=b2+c2,可得 2a=3b.由已知可得,|FB|=a,|AB|= b,2由|FB|AB|=6 ,可得 ab=6,从而 a=3,b=2.2所以,椭圆的方程为 + =1.x29y24(2)设点 P 的坐标为(x 1,y1),点 Q 的坐标为(x 2,y2).由已知有 y1y20,故|PQ|sinAOQ=y 1-y2.又因为|AQ|= ,而OAB= ,故|AQ|= y2.y2sinOAB 4 2由 = sinAOQ,可得 5y1=9y2.|AQ|PQ|524由方程组 消去 x,可得 y1= .y=kx,x29+y24=1, 6k
8、9k2+4易知直线 AB 的方程为 x+y-2=0,4由方程组 消去 x,可得 y2= .y=kx,x+y-2=0, 2kk+1由 5y1=9y2,可得 5(k+1)=3 ,两边平方,9k2+4整理得 56k2-50k+11=0,解得 k= 或 k= .12 1128所以,k 的值为 或 .12 1128解题关键 利用平面几何知识将 = sinAOQ 转化为点 P、Q 坐标间的关系是解决第(2)|AQ|PQ|524问的关键.2.(2017 天津文,20,14 分)已知椭圆 + =1(ab0)的左焦点为 F(-c,0),右顶点为 A,点 E 的x2a2y2b2坐标为(0,c),EFA 的面积为
9、.b22(1)求椭圆的离心率;(2)设点 Q 在线段 AE 上,|FQ|= c,延长线段 FQ 与椭圆交于点 P,点 M,N 在 x 轴上,PMQN,且32直线 PM 与直线 QN 间的距离为 c,四边形 PQNM 的面积为 3c.(i)求直线 FP 的斜率;(ii)求椭圆的方程.解析 (1)设椭圆的离心率为 e.由已知,可得 (c+a)c= .12 b22又由 b2=a2-c2,可得 2c2+ac-a2=0,即 2e2+e-1=0.又因为 00),则直线 FP 的斜率为 .1m由(1)知 a=2c,可得直线 AE 的方程为 + =1,即 x+2y-2c=0,与直线 FP 的方程联立,可解得
10、x=x2cyc,y= ,即点 Q 的坐标为 .由已知|FQ|= c,有 + =(2m-2)cm+2 3cm+2 (2m-2)cm+2,3cm+2) 32 (2m-2)cm+2 +c2(3cm+2)2,整理得 3m2-4m=0,所以 m= ,即直线 FP 的斜率为 .(3c2)2 43 34(ii)由 a=2c,可得 b= c,故椭圆方程可以表示为 + =1.3x24c2y23c2由(i)得直线 FP 的方程为 3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得 消去 y,3x-4y+3c=0,x24c2+y23c2=1, 整理得 7x2+6cx-13c2=0,5解得 x=- (舍去)或 x=c.因此可得点
11、 P ,进而可得|FP|= = ,所以13c7 (c,3c2) (c+c)2+(3c2)25c2|PQ|=|FP|-|FQ|= - =c.由已知,线段 PQ 的长即为 PM 与 QN 这两条平行直线间的距离,故直5c23c2线 PM 和 QN 都垂直于直线 FP.因为 QNFP,所以|QN|=|FQ|tanQFN= = ,所以FQN 的面积为 |FQ|QN|= ,同理3c2 349c8 12 27c232FPM 的面积等于 ,由四边形 PQNM 的面积为 3c,得 - =3c,整理得 c2=2c,又由 c0,得75c232 75c23227c232c=2.所以,椭圆的方程为 + =1.x216
12、y2123.(2015 天津文,19,14 分)已知椭圆 + =1(ab0)的上顶点为 B,左焦点为 F,离心率为 .x2a2y2b2 55(1)求直线 BF 的斜率;(2)设直线 BF 与椭圆交于点 P(P 异于点 B),过点 B 且垂直于 BP 的直线与椭圆交于点 Q(Q 异于点 B),直线 PQ 与 y 轴交于点 M,|PM|=|MQ|.(i)求 的值;(ii)若|PM|sinBQP= ,求椭圆的方程.759解析 (1)设 F(-c,0).由已知离心率 = 及 a2=b2+c2,可得 a= c,b=2c.ca 55 5又因为 B(0,b),F(-c,0),故直线 BF 的斜率 k= =
13、=2.b-00-(-c)2cc(2)设点 P(xP,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM).(i)由(1)可得椭圆的方程为 + =1,直线 BF 的方程为 y=2x+2c.将直线方程与椭圆方程联x25c2y24c2立,消去 y,整理得 3x2+5cx=0,解得 xP=- .5c3因为 BQBP,所以直线 BQ 的方程为 y=- x+2c,与椭圆方程联立,消去 y,整理得 21x2-40cx=0,解12得 xQ= .40c21又因为 = ,及 xM=0,可得 = = = .|PM|MQ| |xM-xP|xQ-xM|xP|xQ|78(ii)由(i)有 = ,所以 = = ,|PM|MQ|78
14、|PM|PM|+|MQ| 77+8715即|PQ|= |PM|.157又因为|PM|sinBQP= ,7596所以|BP|=|PQ|sinBQP= |PM|sinBQP= .157 553又因为 yP=2xP+2c=- c,43所以|BP|= = c,(0+5c3)2+(2c+4c3)2553因此 c= ,得 c=1.553 553所以,椭圆方程为 + =1.x25y24评析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两条直线垂直等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想和化归思想解决问题的能力.B 组 统一命题、省(区、市)卷题组1.(2018 课标
15、,8,5 分)设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,过点(-2,0)且斜率为 的直线与 C 交23于 M,N 两点,则 =( )FMFNA.5 B.6 C.7 D.8答案 D 2.(2016 课标文,12,5 分)已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C: + =1(ab0)的左焦点,A,B 分x2a2y2b2别为 C 的左,右顶点.P 为 C 上一点,且 PFx 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为( )A. B. C. D.13 12 23 34答案 A 3.(2015 江苏,12,5 分)在平面直角坐
16、标系 xOy 中,P 为双曲线 x2-y2=1 右支上的一个动点.若点 P 到直线 x-y+1=0 的距离大于 c 恒成立,则实数 c 的最大值为 . 答案 224.(2018 课标,19,12 分)设椭圆 C: +y2=1 的右焦点为 F,过 F 的直线 l 与 C 交于 A,B 两点,点x22M 的坐标为(2,0).(1)当 l 与 x 轴垂直时,求直线 AM 的方程;(2)设 O 为坐标原点,证明:OMA=OMB.解析 (1)由已知得 F(1,0),l 的方程为 x=1,7由已知可得,点 A 的坐标为 或 .(1,22) (1,- 22)所以 AM 的方程为 y=- x+ 或 y= x-
17、 .22 2 22 2(2)证明:当 l 与 x 轴重合时,OMA=OMB=0,当 l 与 x 轴垂直时,直线 OM 为 AB 的垂直平分线,所以OMA=OMB.当 l 与 x 轴不重合也不垂直时,设 l 的方程为 y=k(x-1)(k0),A(x 1,y1),B(x2,y2),则 x10),将直线 l 的方程代入圆 O 的方程,得 x2+(kx+m)2=3,整理得(k 2+1)x2+2kmx+m2-3=0,因为直线 l 与圆 O 相切,所以 =(2km) 2-4(k2+1)(m2-3)=0,整理得 m2=3k2+3,将直线 l 的方程代入椭圆 C 的方程,得 +(kx+m)2=1,x24整理
18、得(4k 2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,因为直线 l 与椭圆 C 相切,所以 =(8km) 2-4(4k2+1)(4m2-4)=0,整理得 m2=4k2+1,所以 3k2+3=4k2+1,因为 k0,因为直线 l 和椭圆 C 相交,所以结合的过程知 m20).(1)证明:k0)的直线交 Ex24y23于 A,M 两点,点 N 在 E 上,MANA.(1)当|AM|=|AN|时,求AMN 的面积;(2)当 2|AM|=|AN|时,证明: 0.由已知及椭圆的对称性知,直线 AM 的倾斜角为 . 4又 A(-2,0),因此直线 AM 的方程为 y=x+2.将 x=y-2 代入 + =1 得
19、 7y2-12y=0.x24y23解得 y=0 或 y= ,所以 y1= .127 127因此AMN 的面积 SAMN =2 = .12 127 12714449(2)将直线 AM 的方程 y=k(x+2)(k0)代入 + =1 得x24y23(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.由 x1(-2)= 得 x1= ,16k2-123+4k2 2(3-4k2)3+4k2故|AM|=|x 1+2| = .1+k2121+k23+4k2由题设,直线 AN 的方程为 y=- (x+2),1k故同理可得|AN|= .12k1+k23k2+4由 2|AM|=|AN|得 = ,即 4k3-6k2
20、+3k-8=0.23+4k2 k3k2+4设 f(t)=4t3-6t2+3t-8,则 k 是 f(t)的零点,f(t)=12t 2-12t+3=3(2t-1)20,所以 f(t)在(0,+)单调递增.又 f( )=15 -260,因此 f(t)在(0,+)有唯一的零点,且零点 k 在( ,2)内,所3 3 3以 b0)的一个y2a2x2b2焦点,C 1与 C2的公共弦的长为 2 .过点 F 的直线 l 与 C1相交于 A,B 两点,与 C2相交于 C,D6两点,且 与 同向.ACBD(1)求 C2的方程;(2)若|AC|=|BD|,求直线 l 的斜率.解析 (1)由 C1:x2=4y 知其焦点
21、 F 的坐标为(0,1).因为 F 也是椭圆 C2的一个焦点,所以 a2-b2=1.又 C1与 C2的公共弦的长为 2 ,C1与 C2都关于 y 轴对称,且 C1的方程为 x2=4y,由此易知6C1与 C2的公共点的坐标为 ,所以 + =1.( 6,32) 94a26b2联立得 a2=9,b2=8.故 C2的方程为 + =1.y29x28(2)如图,设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).因 与 同向,且|AC|=|BD|,所以 = ,从而 x3-x1=x4-x2,即 x1-x2=x3-x4,于是(x 1+x2)2-ACBD ACBD4x1x2=(x3+x4
22、)2-4x3x4.设直线 l 的斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1.由 得 x2-4kx-4=0.而 x1,x2是这个方程的两根,所以 x1+x2=4k,x1x2=-4.y=kx+1,x2=4y由 得(9+8k 2)x2+16kx-64=0.y=kx+1,x28+y29=1而 x3,x4是这个方程的两根,所以 x3+x4=- ,x3x4=- .16k9+8k2 649+8k2将,代入,得 16(k2+1)= + ,162k2(9+8k2)24649+8k2即 16(k2+1)= ,1629(k2+1)(9+8k2)2所以(9+8k 2)2=169,解得 k= ,即直线 l 的斜率为 .
23、64 6412C 组 教师专用题组1.(2017 课标文,20,12 分)设 A,B 为曲线 C:y= 上两点,A 与 B 的横坐标之和为 4.x24(1)求直线 AB 的斜率;(2)设 M 为曲线 C 上一点,C 在 M 处的切线与直线 AB 平行,且 AMBM,求直线 AB 的方程.解析 (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x 2,y1= ,y2= ,x1+x2=4,x214 x224于是直线 AB 的斜率 k= = =1.y1-y2x1-x2x1+x24(2)由 y= ,得 y= ,设 M(x3,y3),由题设知 =1,x24 x2 x32解得 x3=2,于是 M(2,
24、1).设直线 AB 的方程为 y=x+m,故线段 AB 的中点为 N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将 y=x+m 代入 y= 得 x2-4x-4m=0.x24当 =16(m+1)0,即 m-1 时,x 1,2=22 .m+1从而|AB|= |x1-x2|=4 .2 2(m+1)由题设知|AB|=2|MN|,即 4 =2(m+1),解得 m=7.2(m+1)所以直线 AB 的方程为 y=x+7.2.(2015 福建文,19,12 分)已知点 F 为抛物线 E:y2=2px(p0)的焦点,点 A(2,m)在抛物线 E上,且|AF|=3.(1)求抛物线 E 的方程;(2)已知点 G(-1,0
25、),延长 AF 交抛物线 E 于点 B,证明:以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆,必与直线 GB 相切.解析 (1)由抛物线的定义得|AF|=2+ .p213因为|AF|=3,即 2+ =3,解得 p=2,p2所以抛物线 E 的方程为 y2=4x.(2)证明:因为点 A(2,m)在抛物线 E:y2=4x 上,所以 m=2 ,由抛物线的对称性,不妨设 A(2,2 ).2 2由 A(2,2 ),F(1,0)可得直线 AF 的方程为 y=2 (x-1).2 2由 得 2x2-5x+2=0,y=2 2(x-1),y2=4x 解得 x=2 或 x= ,从而 B .又 G(-1,0),12 (12,
26、- 2)所以 kGA= = ,kGB= =- ,22-02-(-1)223 - 2-012-(-1) 223所以 kGA+kGB=0,从而AGF=BGF,这表明点 F 到直线 GA,GB 的距离相等,故以 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切.评析本题主要考查抛物线、直线与圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程思想.3.(2014 陕西文,20,13 分)已知椭圆 + =1(ab0)经过点(0, ),离心率为 ,左,右焦点分x2a2y2b2 3 12别为 F1(-c,0),F2(c,0).(1)求椭圆的方程;(2)
27、若直线 l:y=- x+m 与椭圆交于 A,B 两点,与以 F1F2为直径的圆交于 C,D 两点,且满足 =12 |AB|CD|,求直线 l 的方程.534解析 (1)由题设知 解得 a=2,b= ,c=1,b= 3,ca=12,b2=a2-c2, 3椭圆的方程为 + =1.x24y23(2)由(1)知,以 F1F2为直径的圆的方程为 x2+y2=1,圆心到直线 l 的距离 d= ,由 d0,y00),则切线斜率为- ,切线方程为 y-y0=- (x-x0),x0y0 x0y0即 x0x+y0y=4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为 S= = .由 +12 4x0 4y0 8x
28、0y0 x20=42x 0y0知当且仅当 x0=y0= 时 x0y0有最大值,即 S 有最小值,因此点 P 的坐标为( ,y20 2 2).2由题意知 解得 a2=1,b2=2,2a2-2b2=1,a2+b2=3a2,故 C1的方程为 x2- =1.y2215(2)由(1)知 C2的焦点坐标为(- ,0),( ,0),由此设 C2的方程为 + =1,其中 b10.3 3x23+b21y2b21由 P( , )在 C2上,得 + =1,2 223+b212b21解得 =3,因此 C2的方程为 + =1.b21x26y23显然,l 不是直线 y=0.设 l 的方程为 x=my+ ,点 A(x1,y
29、1),B(x2,y2),由3 x=my+ 3,x26+y23=1,得(m 2+2)y2+2 my-3=0,又 y1,y2是方程的根,3因此y1+y2= -23mm2+2,y1y2= -3m2+2, 由 x1=my1+ ,x2=my2+ ,得3 3x1+x2=m(y1+y2)+2 3= 4 3m2+2,x1x2=m2y1y2+ 3m(y1+y2)+3=6-6m2m2+2. 因 =( -x1, -y1), =( -x2, -y2),AP 2 2 BP 2 2由题意知 =0,APBP所以 x1x2- (x1+x2)+y1y2- (y1+y2)+4=0.2 2将,代入式整理得2m2-2 m+4 -11
30、=0,6 6解得 m= -1 或 m=- +1.因此直线 l 的方程为362 62x- y- =0 或 x+ y- =0.(362 -1) 3 (62-1) 3【三年模拟】解答题(共 100 分)1.(2017 天津十二区县一模,19)已知椭圆 E: + =1(a0,b0)的焦点在 x 轴上,左顶点为 A,x2a2y2b2斜率为 k(k0)的直线交椭圆 E 于 A,B 两点,点 C 在椭圆 E 上,ABAC,直线 AC 交 y 轴于点 D.(1)当点 B 为椭圆的上顶点,ABD 的面积为 2ab 时,求椭圆的离心率;(2)当 b= ,2|AB|=|AC|时,求 k 的取值范围.3解析 (1)由
31、题意可知直线 AB 的方程为 y1= x+b,ba16直线 AC 的方程为 y2=- (x+a),ab令 x=0,则 y1=b,y2=- ,a2b所以 SABD = a=2ab,12 (b+a2b)于是 a2+b2=4b2,a2=3b2,所以 e= = = .ca a2-b2a2 63(2)由题意可知直线 AB 的方程为 y=k(x+a),椭圆方程为 + =1,x2a2y23联立 并整理得,x2a2+y23=1,y=k(x+a)(3+a2k2)x2+2a3k2x+a4k2-3a2=0,解得 x=-a 或 x=- ,a3k2-3a3+a2k2所以|AB|= = ,1+k2 |-a3k2-3a3+
32、a2k2+a| 1+k2 6a3+a2k2同理|AC|= ,1+k26a3k+a2k因为 2|AB|=|AC|,所以 2 = ,1+k26a3+a2k2 1+k2 6a3k+a2k整理得 a2= .6k2-3kk3-2因为椭圆 E 的焦点在 x 轴上,所以 a23,即 3,6k2-3kk3-2整理得 b0)的离心率为 ,以椭圆的四x2a2y2b2 32个顶点为顶点的四边形的面积为 8.(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)如图,斜率为 的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,点 P(2,1)在直线 l 的上方,若12APB=90,且直线 PA,PB 分别与 y 轴交于点 M,N,求线段 MN
33、 的长度.17解析 (1)由题意知椭圆的离心率 e= = = ,故 a2=4b2,又以椭圆的四个顶点为顶点ca 1-b2a2 32的四边形的面积为 8,则 4 ab=8,故 ab=4,因此 a=2 ,b= ,12 2 2故椭圆的标准方程为 + =1.x28y22(2)设直线 l 的方程为 y= x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),12由 得 x2+2mx+2m2-4=0,y=12x+m,x28+y22=1,又 =(2m) 2-4(2m2-4)0,故-2b0)x2a2y2b2的离心率 e= ,左顶点为 A(-4,0),过点 A 作斜率为 k(k0)的直线 l 交椭圆 C 于点 D,交 y
34、 轴12于点 E.(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)已知点 P 为 AD 的中点,是否存在定点 Q,对于任意的 k(k0)都有 OPEQ?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由;(3)过点 O 作直线 l 的平行线交椭圆 C 于点 M,求 的最小值.|AD|+|AE|OM|18解析 (1)因为椭圆 C 的左顶点为 A(-4,0),所以 a=4,又 e= ,所以 c=2.又因为 b2=a2-c2=12,所以椭圆 C 的标准方程为 + =1.12 x216y212(2)设 D(xD,yD),由题意得直线 l 的方程为 y=k(x+4),由 得(x+4)(4k 2+3)x216+y212=
35、1,y=k(x+4),x+16k2-12=0,所以 xD= .-16k2+124k2+3所以 D .(-16k2+124k2+3 ,24k4k2+3)因为点 P 为 AD 的中点,所以 P 的坐标为 ,则 kOP=- (k0).(-16k24k2+3,12k4k2+3) 34k直线 l 的方程为 y=k(x+4),令 x=0,得 E 点坐标为(0,4k),假设存在定点 Q(m,n)(m0),使得 OPEQ,则 kOPkEQ=-1,即- =-1 恒成立,34k n-4km所以(4m+12)k-3n=0 恒成立,所以 即4m+12=0,-3n=0, m= -3,n=0, 所以存在满足条件的定点 Q
36、,定点 Q 的坐标为(-3,0).(3)因为 OMl,所以 OM 的方程可设为 y=kx,由 得 M 点的横坐标为 xM= ,x216+y212=1,y=kx, 434k2+3由 OMl,得 = =|AD|+|AE|OM| |xD-xA|+|xE-xA|xM| xD-2xA|xM|= = -16k2+124k2+3 +8434k2+3 13 4k2+94k2+3= 2 ,13( 4k2+3+ 64k2+3) 2当且仅当 = ,即 k= 时取等号,4k2+364k2+3 32所以当 k= 时, 取得最小值,最小值为 2 .32 |AD|+|AE|OM| 2194.(2018 天津一中 3 月月考
37、,19)已知椭圆 C1: + =1(ab0)的离心率为 ,P(-2,0)是它的x2a2y2b2 22一个顶点,过点 P 作圆 C2:x2+y2=r2的切线 PT,T 为切点,且|PT|= .2(1)求椭圆 C1及圆 C2的方程;(2)过点 P 作互相垂直的两条直线 l1,l2,其中 l1与椭圆的另一交点为 D,l2与圆交于 A,B 两点,求ABD 面积的最大值.解析 (1)根据题意可知,P(-2,0)为椭圆的左顶点,a=2,又 e= = ,c= ,b 2=a2-c2=2,ca 22 2椭圆 C1的标准方程为 + =1,x24y22由题意知 r= = ,圆 C2的方程为 x2+y2=2.|PO|
38、2-|PT|2 2(2)依题意知,直线 l1的斜率必存在,设直线 l1的方程为 y=k(x+2),P(xP,yP),D(xD,yD),由 得(1+2k 2)x2+8k2x+8k2-y=k(x+2),x24+y22=1,4=0,x P+xD=- ,又 xP=-2,x D= ,8k21+2k2 2-4k21+2k2|DP|= |xP-xD|= ,1+k241+k21+2k2直线 l2的方程为 y=- (x+2),即 x+ky+2=0,1k|AB|=2 =2 ,2-(21+k2)2 2k2-21+k2则 SABD = |AB|DP|= 2 = = = = ,当12 12 2k2-21+k2 41+k
39、21+2k242k2-22k2+1 42k2-22k2-2+3 42k2-2+ 32k2-2 423233且仅当 = ,即 k= 时取等号.2k2-232k2-2 102ABD 面积的最大值为 .2335.(2018 天津河西二模,19)已知椭圆 C1的方程为 + =1(ab0),离心率 e= ,其一个焦点在x2a2y2b2 22抛物线 C2:y2=2px(p0)的准线上,且抛物线 C2与直线 l:x-y+ =0 相切.620(1)求椭圆 C1的方程;(2)若点 M,N 为椭圆 C1上的两个不同的点,T 为平面内任意一点,且满足 = +2 + ,直线OTMNOMONOM 与 ON 的斜率之积为
40、- ,试说明:是否存在两个定点 F1,F2,使得|TF 1|+|TF2|为定值?若存在,求12点 F1,F2的坐标;若不存在,请说明理由.解析 (1)联立抛物线方程与直线方程得 得 y2-2py+2 p=0,y2=2px,x-y+ 6=0, 6抛物线 C2与直线 l:x-y+ =0 相切,6=4p 2-8 p=0,解得 p=2 .6 6抛物线 C2的方程为 y2=4 x,准线方程为 x=- .6 6椭圆 C1的一个焦点在抛物线 C2的准线上,c= ,6又e= = ,a2=b2+c2,ca 22a 2=12,b2=6.椭圆 C1的方程为 + =1.x212y26(2)设 T(x,y),M(x1,
41、y1),N(x2,y2),直线 OM 与 ON 的斜率之积为- ,12 =- ,即 x1x2+2y1y2=0.y1y2x1x2 12点 M,N 在椭圆 + =1 上,x212y26 +2 =12, +2 =12.x21 y21 x22 y22 = +2 + =2 + ,OTMNOMONONOM x=2x2+x1,y=2y2+y1.x 2+2y2=4 +4x1x2+ +2(4 +4y1y2+ )x22 x21 y22 y21=( +2 )+4( +2 )+4(x1x2+2y1y2)=60.x21 y21 x22 y22点 T(x,y)在椭圆 + =1 上.x260y23021根据椭圆的定义可知:
42、当 F1,F2为椭圆 + =1 的焦点时,|TF 1|+|TF2|为定值.其中 F1(- ,0),x260y230 30F2( ,0).306.(2018 天津一中 4 月月考,19)过椭圆 C: + =1(00,且 k1,|AM|=|AN|, = ,1+k2 |18kbb2+9k2| 1+1k2 |18kbb2k2+9|即 b2+9k2=b2k3+9k,整理可得(k-1)b 2k2+(b2-9)k+b2=0,则 b2k2+(b2-9)k+b2=0 有不为 1 的正根,22 解得 00,b2+b2-9+b2 0, 3a=3,c 2=a2-b2,61)的左顶点为 A,上顶点为 B,右x2a2焦点
43、为 F.(1)若 SABF = ,求 a 的值;32(2)点 P 在椭圆上,且在第二象限内,线段 AP 的垂直平分线交 y 轴于点 Q.若APQ 为正三角形,求椭圆的离心率的取值范围.解析 (1)由题意知椭圆的焦点在 x 轴上,b=1,c= ,a2-1S ABF = (a+c)b= = ,解得 a= .12 12 (a+ a2-1)32 53(2)易知 A(-a,0),B(0,1),设 P(x,y),x0,AP 的中点为 M(x0,y0),显然直线 AP 的斜率存在,设直线 AP 的方程为 y=k(x+a),由 P 在椭圆上,且在第二象限内,得 ka1,即 k ,1a由 y=k(x+a),x2
44、+a2y2-a2=0,得(1+a 2k2)x2+2a3k2x+a4k2-a2=0,解得 x=-a 或 x=- ,a(a2k2-1)1+a2k2由中点坐标公式可得 x0=- ,y0= ,a3k21+a2k2 ka1+a2k2即 M ,(-a3k21+a2k2, ka1+a2k2)则线段 AP 垂直平分线的方程为y- =- ,ka1+a2k2 1k(x+ a3k21+a2k2)令 x=0,则 y= - = ,ka1+a2k2 a3k1+a2k2ka(1-a2)1+a2k2Q ,|AQ|2=a2+ ,(0,ka(1-a2)1+a2k2) k2a2(1-a2)2(1+a2k2)2|AM|2= + = ,(-a3k21+a2k2+a)2( ka1+a2k2)2a2(1+k2)(1+a2k2)223APQ 为正三角形,|AQ| 2=4|AM|2,即 a2+ =4 ,k2a2(1-a2)2(1+a2k2)2 a2(1+k2)(1+a2k2)2整理得 a4k2=3,由 k ,解得 a2 ,1a 1a213椭圆的离心率 e= = ,ca 1-1a2 63椭圆的离心率的取值范围为 .(0,63)
