1、14.2 三角函数的图象与性质挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度2016 浙江文,32015 浙江文,5三角函数的图象三角函数的图象识别三角函数的图象及其变换1.能画出 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的图象. 2.了解函数y=Asin(x+)的物理意义;能画出 y=Asin(x+)的图象,了解参数 A,对函数图象变化的影响.2014 浙江,4三角函数的图象及其变换2017 浙江,18三角函数的性质及其应用三角函数的单调性2016 浙江,5三角函数的性质及其应用三角函数的周期性三角函数的性质及其应用1.理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性
2、质.2.了解三角函数的周期性.2015 浙江,11 三角函数的性质分析解读 1.三角函数的图象与性质主要考查三角函数的概念、周期性、单调性、有界性及图象的平移和伸缩变换等,多以小而活的选择题与填空题的形式出现,有时也会出现以函数性质为主的结合图象的综合题,考查数形结合思想.2.考查形如 y=Asin(x+)或通过三角恒等变换化为 y=Asin(x+)的函数的图象和性质,其中 asin x+bcos x= sin(x+)尤其重要(例:2016 浙江 5 题).2+23.对 y=Asin(x+)中 A, 的考查是重点,图象与性质及平移、伸缩变换也是重点考查对象(例:2014 浙江 4 题).4.预
3、计 2020 年高考中,本节内容仍是考查热点,复习时应高度重视.破考点【考点集训】考点一 三角函数的图象及其变换21.(2018 浙江金华十校模拟(4 月),5)已知函数 f(x)=sin (xR,0)与 g(x)(+3)=cos(2x+)的对称轴完全相同,为了得到 h(x)=cos 的图象,只需将 y=f(x)的图象( )(+3)A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度答案 A 2.(2018 浙江诸暨高三上学期期末,13)如图是函数 f(x)=2sin(x+) 的部分(0,|2)图象,已知函数图象经过点 P ,Q ,则 = ;= . (512
4、,2) (76,0)答案 2;-考点二 三角函数的性质及其应用1.(2018 浙江杭州地区重点中学第一学期期中,3)函数 f(x)= 的最小正周期是( ) |12-2|A.2 B. C. D.答案 C 2.(2018 浙江镇海中学期中,12)函数 f(x)=sin2x+sin xcos x+1 的最小正周期是 ,单调递增区间是 . 答案 ; (kZ)-8,+38炼技法【方法集训】方法 1 三角函数图象变换的解题方法(2018 天津文,6,5 分)将函数 y=sin 的图象向右平移 个单位长度,所得图象对应(2+5) 10的函数( ) 3A.在区间 上单调递增-4,4B.在区间 上单调递减-4,
5、0C.在区间 上单调递增4,2D.在区间 上单调递减2,答案 A 方法 2 三角函数周期和对称轴(对称中心)的求解方法1.(2017 湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考,10)已知函数 f(x)=2sin 的图象为 C,(2+3)则:C 关于直线 x= 对称;C 关于点 对称;f(x)在 上是增函数;把712 (12,0) (-3,12)y=2cos 2x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C.以上结论中正确的有( ) 12A. B.C. D.答案 D 2.(2017 浙江名校(杭州二中)交流卷三,11)函数 f(x)=sin +1 的最小正周期为 ;单(2-4)调递增区间是 ;对称轴方程
6、为 . 答案 ; (kZ);x= + (kZ)-8,+38 2 38方法 3 三角函数的单调性与最值(值域)的求解方法1.(2018 浙江湖州、衢州、丽水质检,18)已知函数 f(x)= sin -2sin xcos x.3 (2+6)(1)求函数 f(x)的最小正周期;(2)当 x 时,求函数 f(x)的最大值和最小值.-4,4解析 (1)f(x)= -sin 2x3(sin2cos6+cos2sin 6)= cos 2x+sin 2x=sin ,(6 分)32 (2+3)因此函数 f(x)的最小正周期为 .(8 分)(2)因为-x,所以-2x+ ,(10 分)56所以-sin 1,(12
7、分 )(2+3)4因此,当 2x+=,即 x= 时, f(x)取得最大值 1,当 2x+=-,即 x=-时, f(x)取得最小值-.(14 分)122.(2017 浙江绍兴质量调测(3 月),18)已知函数 f(x)=2sin2x+cos .(2-3)(1)求 f(x)的最小正周期;(2)求 f(x)在 上的单调递增区间.(0,2)解析 (1)因为 cos 2x=1-2sin2x,所以 f(x)=2sin2x+cos =1-cos 2x+cos 2x+ sin 2x=1+sin .(2-3) 32 (2-6)故 f(x)的最小正周期为 .(2)由 2k-2x-2k+,kZ,得 k-xk+,kZ
8、.故 f(x)在 上的单调递增区间为 .(0,2) (0,3方法 4 由函数图象求解析式的方法(2018 浙江嘉兴第一学期高三期末,18,14 分)已知函数 f(x)=Asin(x+)的部分图象如图所示.(0,0,|0,|0)个单位长度得(2-3) (4,)到点 P.若 P位于函数 y=sin 2x 的图象上,则( )10A.t=,s 的最小值为 B.t= ,s 的最小值为32C.t=,s 的最小值为 D.t= ,s 的最小值为32答案 A 5.(2015 湖南,9,5 分)将函数 f(x)=sin 2x 的图象向右平移 个单位后得到函数(00,|0)个单位长度,得到 y=g(x)的图象.若y
9、=g(x)图象的一个对称中心为 ,求 的最小值.(512,0)解析 (1)根据表中已知数据,解得 A=5,=2,=-.数据补全如下表:x+ 02322x12 3 712 561312Asin(x+) 0 5 0 -5 0且函数表达式为 f(x)=5sin .(2-6)(2)由(1)知 f(x)=5sin ,(2-6)得 g(x)=5sin .(2+2-6)因为 y=sin x 的对称中心为(k,0),kZ.令 2x+2-=k,kZ,解得 x= + -,kZ.2 12由于函数 y=g(x)的图象关于点 中心对称,(512,0)令 + -= ,kZ,2 12 512解得 = -,kZ.2由 0 可
10、知,当 k=1 时, 取得最小值.10.(2015 福建,19,13 分)已知函数 f(x)的图象是由函数 g(x)=cos x 的图象经如下变换得到:先将 g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移个单位长度.(1)求函数 f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;(2)已知关于 x 的方程 f(x)+g(x)=m 在0,2)内有两个不同的解 ,.12(i)求实数 m 的取值范围;(ii)证明:cos(-)= -1.225解析 (1)将 g(x)=cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)得到y=2cos x 的图象,再
11、将 y=2cos x 的图象向右平移个单位长度后得到 y=2cos 的图象,(-2)故 f(x)=2sin x.从而函数 f(x)=2sin x 图象的对称轴方程为 x=k+ (kZ).(2)(i)f(x)+g(x)=2sin x+cos x= = sin(x+) .5(25sin+15cos) 5 (其中 sin=15,cos=25)依题意知,sin(x+)= 在0,2)内有两个不同的解 ,当且仅当 0).若 f(x)f 对任意的实数 x 都(-6) (4)成立,则 的最小值为 . 答案 7.(2016 天津,15,13 分)已知函数 f(x)=4tan xsin cos - .(2-) (
12、-3) 3(1)求 f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论 f(x)在区间 上的单调性.-4,4解析 (1)f(x)的定义域为 .|2+,14f(x)=4tan xcos xcos -(-3) 3=4sin xcos -(-3) 3=4sin x -(12cos+ 32sin)3=2sin xcos x+2 sin2x-3 3=sin 2x+ (1-cos 2x)-3 3=sin 2x- cos 2x=2sin .3 (2-3)所以, f(x)的最小正周期 T= =.22(2)令 z=2x-,易知函数 y=2sin z 的单调递增区间是 ,kZ.-2+2,2+2由-+2k2x-+2k,得-
13、+kx +k,kZ.12 512设 A= ,B= ,易知 AB= .-4,4 |-12+512+, -12,4所以,当 x 时, f(x)在区间 上单调递增,在区间 上单调递减.-4,4 -12,4) -4,-128.(2015 重庆,18,13 分)已知函数 f(x)=sin sin x- cos2x.(2-) 3(1)求 f(x)的最小正周期和最大值;(2)讨论 f(x)在 上的单调性 .6,23解析 (1)f(x)=sin sin x- cos2x(2-) 3=cos xsin x- (1+cos 2x)32=sin 2x- cos 2x- =sin - ,32 32 (2-3) 32因
14、此 f(x)的最小正周期为 ,最大值为 .2- 32(2)当 x 时,02x-, 从而当 02x-,即x 时, f(x)单调递增,6,23 512当2x-,即 x 时, f(x)单调递减.512 23综上可知, f(x)在 上单调递增 ;在 上单调递减 .6,512 512,23评析 本题考查二倍角公式,辅助角公式 等三角(sin+cos= 2+2sin(+),其中 ,tan=)变形公式,以及三角函数的图象与性质,属常规基础题.159.(2015 北京,15,13 分)已知函数 f(x)= sincos- sin2.2 2(1)求 f(x)的最小正周期;(2)求 f(x)在区间-,0上的最小值
15、.解析 (1)因为 f(x)= sin x- (1-cos x)22 22=sin - ,(+4) 22所以 f(x)的最小正周期为 2.(2)因为-x0,所以- x+.34当 x+=-,即 x=- 时, f(x)取得最小值 .34所以 f(x)在区间-,0上的最小值为 f =-1- .(-34) 2210.(2014 天津,15,13 分)已知函数 f(x)=cos xsin - cos2x+ ,xR.(+3) 3 34(1)求 f(x)的最小正周期;(2)求 f(x)在闭区间 上的最大值和最小值.-4,4解析 (1)由已知,有f(x)=cos x - cos2x+(12sin+ 32cos
16、)334=sin xcos x- cos2x+32 34=sin 2x- (1+cos 2x)+34 34=sin 2x- cos 2x34=sin .(2-3)所以 f(x)的最小正周期 T= =.22(2)因为 f(x)在区间 上是减函数,在区间 上是增函数,-4,-12 -12,4f =-, f =-, f =,(-4) (-12) (4)所以函数 f(x)在闭区间 上的最大值为,最小值为-.-4,4评析 本题主要考查两角和与差的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,三角函数的最小正周期、单调性等基础知识.考查基本运算能力.16【三年模拟】一、选择题(每小题 4 分,共 16 分)1.(20
17、19 届浙江“七彩阳光”联盟期初联考,7)已知函数 f(x)=sin 2x+ cos 2x-m 在3上有两个不同的零点,则 m 的取值范围为( ) 0,2A.- ,2) B.- , )3 3 3C. ,2)D.0,2)3答案 C 2.(2019 届台州中学第一次模拟,7)将函数 y=3sin 图象上各点的横坐标伸长到原来的(4+6)2 倍,再向右平移个单位长度,则所得函数图象的一个对称中心为( )A. B.(748,0) (3,0)C. D.(712,0) (58,0)答案 C 3.(2019 届台州中学第一次模拟,8)如果存在正实数 a,使得 f(x+a)为奇函数, f(x-a)为偶函数,我
18、们就称函数 f(x)为“ 函数”.现给出下列四个函数:f(x)=sin x;f(x)=cos x;f(x)=sin x-cos x;f(x)=sin 2 .其中“ 函数 ”的个数为( )(+8)A.1 B.2 C.3 D.4答案 B 4.(2018 浙江新高考调研卷四(金华一中),5)已知函数 f(x)=Asin(x+)(A0,0)的部分图象如图所示,则 f(x)=( ) A. sin B. sin2 (2-3) 2 (2+6)C. sin D. sin2 (2-6) 2 (2+3)答案 A 二、填空题(单空题 4 分,多空题 6 分,共 24 分)175.(2019 届浙江温州九校联考,13
19、)已知函数 f(x)=(1+tan x)sin 2x,则 f(x)的定义域为 , f(x)的最大值为 . 答案 ;1+|2 +, 26.(2019 届浙江镇海中学期中考试,12)y=sin 的最小正周期为 ,为了得到函(2+6)数 y=sin 的图象,可以将函数 y=cos 2x 的图象向左最少平移 个单位. (2+6)答案 ;7.(2017 浙江名校(诸暨中学)交流卷四,13)已知 x0,x0+是函数 f(x)=cos2 -(-6)sin2x(0)的两个相邻的零点,则 f = ;f(x)在0,上的递减区间为 . (12)答案 ;32 12,7128.(2017 浙江温州十校期末联考,13)设
20、 f(x)是定义在 R 上的最小正周期为 的函数,且在76上 f(x)= 则 a= , f = . -56,3 sin,-56,0),cos+,0,3, (-163)答案 -1;-32三、解答题(共 40 分)9.(2019 届台州中学第一次模拟,20)已知函数 f(x)=Asin(x+) 的部分(0,0,|2)图象如图所示.(1)求函数 f(x)的解析式;(2)若 x ,且方程 f(x)=2m 有两个不同的实数根,求实数 m 的取值范围和这两个根112 1112的和.解析 (1)显然 A=2,函数 f(x)的图象过(0,1),f(0)=1,sin =,|,=,18由图象知, - = ,=2.
21、23 2函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin .(2+6)(2)如图所示,在同一坐标系中画出 y=2sin 和 y=2m(mR)的图象,(2+6)(1121112)由图可知,当-22m0 或 2m2 时,y=2m 与 y=2sin 的图象有两个不同的交点,即原方3 (2+6)程有两个不同的实数根,m 的取值范围为-1m0 或 m1.32当-1m0 时,两根之和为 ;43当 m1 时,两根之和为.3210.(2017 浙江金丽衢十二校第二次联考,18)已知直线 x= 是函数 f(x)=sin(3x+)(-5180)的图象的一条对称轴.(1)求 ;(2)求函数 y=f(x)+f ,x 的值
22、域.(6-) (0,3)解析 (1)由题意得 3 +=+k,kZ,518=-+k,kZ.(-,0),=-,f(x)=sin .(3-3)(2)y=f(x)+f =sin +sin(6-) (3-3) 3(6-)-3=sin +cos(3-3) (3+3)= sin .2- 62 (3+4)x ,3x+ ,(0,3) (4,54)y .2- 62 , 3-12 )11.(2018 浙江台州第一次调考(4 月),18)已知函数 f(x)=sin xcos x+cos2x.19(1)求函数 f(x)的最小正周期,并写出 f(x)图象的对称轴方程;(2)若将函数 y=f(x)的图象向右平移个单位长度,
23、得到函数 y=g(x)的图象,求满足 g(x0)1的实数 x0的集合.解析 (1)f(x)=sin xcos x+cos 2x= sin +,22 (2+4)f(x)的最小正周期 T=,令 2x+=+k,kZ,则 x=+ ,kZ,2f(x)图象的对称轴方程为 x=+ ,kZ.2(2)由题得,g(x)= sin += sin 2x+,22 2(-8)+4 22g(x0)1,即 sin 2x0+1,22sin 2x 0 ,22+2k2x 0 +2k,kZ,34+kx 0 +k,kZ,38即所求 x0的集合为 .0|8+038+,12.(2018 浙江杭州第二次高考教学质量检测(4 月),18)已知函数 f(x)=sin +cos(+74).(-34)(1)求 f(x)的最小正周期和最大值;(2)求函数 y=f(-x)的单调减区间.解析 (1)因为 sin =cos ,(+74) (-34)所以 f(x)=2sin =-2sin .(+74) (+34)所以函数 f(x)的最小正周期是 2,最大值是 2.(2)f(-x)=2sin ,+2kx- +2k,kZ,所以 +2kx+2k,kZ,(-34) 34 54所以 y=f(-x)的单调递减区间为 (kZ).54+2,94+2
