1、16.3 等比数列挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度2018 浙江,10等比数列的概念不等式等比数列的有关概念及运算1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式.3.掌握等比数列的前 n 项和公式.4.了解等比数列与指数函数之间的关系.2015 浙江文,10 等比数列2017 浙江,22等比数列性质的运用不等式证明等比数列的性质及应用能利用等比数列的性质解决有关问题.2016 浙江文,17等比数列性质的运用数列求和分析解读 1.考查等比数列的定义与判定,通项公式、前 n 项和的求解,等比数列的性质等知识.2.预计 2020 年高考试题中,对等比数列
2、的考查仍以概念、性质、通项、前 n 项和等基本量为主,以中档题形式出现,复习时要足够重视.破考点【考点集训】考点一 等比数列的有关概念及运算1.(2018 浙江嘉兴高三期末,11)各项均为实数的等比数列a n,若 a1=1,a5=9,则 a3= ,公比 q= . 答案 3; 32.(2018 浙江嵊州高三期末质检,11)我国古代数学巨著九章算术中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”这个问题用今天的白话叙述为:有一位善于2织布的女子,每天织的布都是前一天的 2 倍,已知她 5 天共织布 5 尺,问这位女子每天分别织布多少?”根据上述问题的已知条件,可求得该女子第 1
3、天织布的尺数为 . 答案 531考点二 等比数列的性质及应用1.(2018 浙江温州适应性测试,5)已知数列a n是公差不为 0 的等差数列,b n= ,数列b n的2前 n 项,前 2n 项,前 3n 项的和分别为 A,B,C,则( ) A.A+B=C B.B2=ACC.(A+B)-C=B2D.(B-A)2=A(C-B)答案 D 2.(2018 浙江杭州二中期中,6)已知等比数列a n的前 n 项积为 Tn,log2a3+log2a7=2,则 T9的值为( )A.512 B.512 C.1 024 D.1 024答案 B 炼技法【方法集训】方法 1 等比数列中“基本量法”的解题方法1.(20
4、18 浙江金华十校期末,6)已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn,则下列结论一定成立的是( )A.若 a50,则 a2 0170,则 a2 0180,则 S2 0170D.若 a60,则 S2 0180答案 C 2.(2017 浙江名校(诸暨中学)交流卷四,11)已知等比数列a n的首项为 1,前 3 项的和为 13,且a2a1,则数列a n的公比为 ,数列log 3an的前 10 项和为 . 答案 3;45方法 2 等比数列的判定方法1.在数列a n中,a 1=3,an+1=2an+2(nN *).3(1)求证:a n+2是等比数列,并求数列a n的通项公式;(2)设 bn= ,Sn=b
5、1+b2+b3+bn,证明:对任意 nN *,都有S n0,+152数列S n单调递增,S nS 1=,对任意 nN *,都有S n1,则( ) A.a1a3,a2a4D.a1a3,a2a4答案 B B 组 统一命题、省(区、市)卷题组考点一 等比数列的有关概念及运算1.(2017 课标全国理,3,5 分)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座 7 层塔共挂了381 盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍,则塔的顶层共有灯( ) A.1 盏 B.3 盏 C.5 盏 D.9 盏答案 B 52.(2014
6、 重庆,2,5 分)对任意等比数列a n,下列说法一定正确的是( )A.a1,a3,a9成等比数列 B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列 D.a3,a6,a9成等比数列答案 D 3.(2017 课标全国理,14,5 分)设等比数列a n满足 a1+a2=-1,a1-a3=-3,则 a4 = . 答案 -84.(2016 课标全国,15,5 分)设等比数列a n满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2an的最大值为 . 答案 645.(2018 课标全国文,17,12 分)等比数列a n中,a 1=1,a5=4a3.(1)求a n的通项公式;(2)记 Sn为a
7、 n的前 n 项和.若 Sm=63,求 m.解析 本题考查等比数列的通项公式、前 n 项和公式.(1)设a n的公比为 q,由题设得 an=qn-1.由已知得 q4=4q2,解得 q=0(舍去)或 q=-2 或 q=2.故 an=(-2)n-1或 an=2n-1.(2)若 an=(-2)n-1,则 Sn= .1-(-2)3由 Sm=63 得(-2) m=-188,此方程没有正整数解.若 an=2n-1,则 Sn=2n-1.由 Sm=63 得 2m=64,解得 m=6.综上,m=6.解后反思 等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略:(1)求通项.求出等比数列的两个基本量 a1和 q 后,通项
8、便可求出.(2)求特定项.利用通项公式或者等比数列的性质求解.(3)求公比.利用等比数列的定义和性质建立方程(组)求解.(4)求前 n 项和.直接将基本量代入等比数列的前 n 项和公式求解或利用等比数列的性质求解.6.(2015 四川,16,12 分)设数列a n(n=1,2,3,)的前 n 项和 Sn满足 Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.6(1)求数列a n的通项公式;(2)设数列 的前 n 项和为 Tn,求 Tn.1解析 (1)由已知 Sn=2an-a1,有 an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n2),即 an=2an-1(n2).从而 a2=2a1,a3=2a
9、2=4a1.又因为 a1,a2+1,a3成等差数列,即 a1+a3=2(a2+1).所以 a1+4a1=2(2a1+1),解得 a1=2.所以,数列a n是首项为 2,公比为 2 的等比数列.故 an=2n.(2)由(1)得 = .112所以 Tn=+ + = =1- .12212121-(12)1-12 12评析 本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前 n 项和等基础知识,考查运算求解能力.考点二 等比数列的性质及应用1.(2015 课标,4,5 分)已知等比数列a n满足 a1=3,a1+a3+a5=21,则 a3+a5+a7=( )A.21 B.42 C.63 D.84
10、答案 B 2.(2014 大纲全国,10,5 分)等比数列a n中,a 4=2,a5=5,则数列lg a n的前 8 项和等于( )A.6 B.5 C.4 D.3答案 C 3.(2017 江苏,9,5 分)等比数列a n的各项均为实数,其前 n 项和为 Sn.已知 S3=,S6= ,则634a8= . 答案 324.(2015 安徽,14,5 分)已知数列a n是递增的等比数列,a 1+a4=9,a2a3=8,则数列a n的前 n项和等于 . 答案 2 n-175.(2015 湖南,14,5 分)设 Sn为等比数列a n的前 n 项和.若 a1=1,且 3S1,2S2,S3成等差数列,则an=
11、 . 答案 3 n-16.(2014 安徽,12,5 分)数列a n是等差数列,若 a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为 q 的等比数列,则 q= . 答案 1C 组 教师专用题组考点一 等比数列的有关概念及运算1.(2018 北京理,4,5 分)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .若第一个单音的频率为 f,则第八个单音的频率为( ) 122A. f B. f C. f D. f32 322 122
12、5 1227答案 D 2.(2014 江苏,7,5 分)在各项均为正数的等比数列a n中,若 a2=1,a8=a6+2a4,则 a6的值是 .答案 43.(2014 天津,11,5 分)设a n是首项为 a1,公差为-1 的等差数列,S n为其前 n 项和.若S1,S2,S4成等比数列,则 a1的值为 . 答案 -4.(2018 课标全国文,17,12 分)已知数列a n满足 a1=1,nan+1=2(n+1)an.设 bn= .(1)求 b1,b2,b3;(2)判断数列b n是不是等比数列,并说明理由;(3)求a n的通项公式.解析 (1)由条件可得 an+1= an.2(+1)将 n=1
13、代入得,a 2=4a1,而 a1=1,所以 a2=4.将 n=2 代入得,a 3=3a2,所以 a3=12.从而 b1=1,b2=2,b3=4.(2)bn是首项为 1,公比为 2 的等比数列.8由条件可得 = ,即 bn+1=2bn,+1+12又 b1=1,所以b n是首项为 1,公比为 2 的等比数列.(3)由(2)可得 =2n-1,所以 an=n2n-1.方法规律 等比数列的判定方法:证明一个数列为等比数列常用定义法或等比中项法,通项公式法及前 n 项和公式法只用于选择题、填空题中的判定.若证明某数列不是等比数列,则只需证明存在连续三项不成等比数列即可.5.(2016 课标全国,17,12
14、 分)已知数列a n的前 n 项和 Sn=1+a n,其中 0.(1)证明a n是等比数列,并求其通项公式;(2)若 S5= ,求 .3132解析 (1)由题意得 a1=S1=1+a 1,故 1,a 1= ,a10.(2 分)11-由 Sn=1+a n,Sn+1=1+a n+1得 an+1=a n+1-a n,即 an+1(-1)=a n.由 a10,0 得 an0,所以 = .+1 -1因此a n是首项为 ,公比为 的等比数列,于是 an= .(6 分)11- -1 11- ( -1)-1(2)由(1)得 Sn=1- .(-1)由 S5= 得 1- = ,即 = .3132 ( -1)531
15、32 ( -1)5 132解得 =-1.(12 分)思路分析 (1)先由题设利用 an+1=Sn+1-Sn得到 an+1与 an的关系式,要证数列是等比数列,关键是看 an+1与 an之比是不是一常数,其中说明 an0 是非常重要的.(2)利用第(1)问的结论解方程求出 .6.(2016 四川,19,12 分)已知数列a n的首项为 1,Sn为数列a n的前 n 项和,S n+1=qSn+1,其中 q0,nN *.(1)若 2a2,a3,a2+2 成等差数列,求数列a n的通项公式;(2)设双曲线 x2- =1 的离心率为 en,且 e2=,证明:e 1+e2+en .22 4-33-19解析
16、 (1)由已知,S n+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,两式相减得到 an+2=qan+1,n1.又由 S2=qS1+1 得到 a2=qa1,故 an+1=qan对所有 n1 都成立.所以,数列a n是首项为 1,公比为 q 的等比数列.从而 an=qn-1.由 2a2,a3,a2+2 成等差数列,可得2a3=3a2+2,即 2q2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,因为 q0,所以 q=2.所以 an=2n-1(nN *).(2)由(1)可知,a n=qn-1.所以双曲线 x2- =1 的离心率 en= = .22 1+2 1+2(-1)由 e2= =,解得 q=.1+2因为
17、 1+q2(k-1)q2(k-1),所以 qk-1(kN *).1+2(-1)于是 e1+e2+en1+q+qn-1= ,-1-1故 e1+e2+en .4-33-1疑难突破 由(1)可得 en= ,因为所证的不等式左边是 e1+e2+en,直接求和不行,1+2(-1)利用放缩法得 en= =qn-1,从而得 e1+e2+enq0+q1+qn-1,化简即可.1+2(-1) 2(-1)评析 本题涉及的知识点比较多,由递推思想推出数列a n是等比数列,由等差中项求出 q,由放缩法证明不等式成立.综合性较强.7.(2014 课标,17,12 分)已知数列a n满足 a1=1,an+1=3an+1.(
18、1)证明 是等比数列,并求a n的通项公式;+12(2)证明 + + a3+a7”是“S 2n-10,b2b7=16b4,所以 b5=16,所以 q2= =4,又 q0,所以 q=2,所以 bn=b3qn-3=2n-1.53(2)由(1)得 Cn= =2n-1,1-21-2所以 nCn=n2n-n,设 A=12+222+n2n,所以 2A=122+223+n2n+1,两式相减得 A=(n-1)2n+1+2,设 B=1+2+n= ,(+1)2所以 Tn=A-B=(n-1)2n+1+2- .(+1)210.(2018 浙江“七彩阳光”联盟期初联考,22)在数列a n中,a 1=2,an+1=2 a
19、n.(1+1)(1)求数列a n的通项公式;(2)设 bn= ,数列b n的前 n 项和为 Sn,试求数列S 2n-Sn的最小值;2(3)在(2)的条件下,求证:当 n2 时, .27+1112解析 (1)由条件 an+1=2 an得 =2 ,又 a1=2,所以 =2,因此数列 是首项为 2,(1+1) +1+1 11 公比为 2 的等比数列,从而 =22n-1=2n,13因此 an=n2n.(2)由(1)得 bn=,设 cn=S2n-Sn,则 cn= + + ,1+1 1+2 12所以 cn+1= + + + + ,1+2 1+3 12 12+1 12+2从而 cn+1-cn= + - + - =0,即 cn+1cn,12+1 12+2 1+1 12+2 12+2 1+1因此数列c n是单调递增的,所以(c n)min=c1=.(3)证明:当 n2 时, =( - )+( - )+(S4-S2)+(S2-S1)2 22-1 2-12-2+S1= + +c2+c1+S1,由(2)知 c 2,又 c1=,S1=1,c2= ,所以 (n-1)2-12-2 2-1 2-2712 2c2+c1+S1= (n-1)+ +1= .712 7+1112
