1、1专项强化练五 三角函数最值或值域的求解策略1.(2017 陕西西安改编)已知 f(x)=sin +cos 的最大值为 A,若存在实数 x1,x2,(2019x+ 6) (2019x- 3)使得对任意实数 x 总有 f(x1)f(x)f(x 2)成立,则 A|x1-x2|的最小值为( )A. B.2019 22019C. D.42019 4038答案 B f(x)=sin +cos =sin +cos =2sin(2019x+ 6) (2019x- 3) (2019x+ 6) (2019x+ 6- 2).(2019x+ 6)A=2,|x 1-x2| = ,A|x 1-x2| ,故选 B.T2
2、222019 220192.已知函数 f(x)=asin x- cos x 关于直线 x=- 对称,且 f(x1)f(x2)=-4,则|x 1+x2|的最小值为( )3 6A. B. 6 3C. D.56 23答案 D f(x)=asin x- cos x= sin (x-) ,3 a2+3 (tan =3a)f(x)图象的对称轴为直线 x=- ,=k+ (kZ),f(x 1)f(x2)=-4, 6 3x 1=- +2k1(k 1Z),x 2= +2k2(k 2Z), = ,故选 D. 6 56 |x1+x2|min233.已知向量 a=(sin x,cos x),b=(1,-1),函数 f(
3、x)=ab,且 ,xR,若 f(x)的任何一条对称轴12与 x 轴交点的横坐标都不属于区间(3,4),则 的取值范围是( )A. B. 712,1516 1312,1916 712,1116 1112,1516C. D. (12,712 1112,1916 (12,1116 1112,1516答案 B f(x)=sin x-cos x= sin ,由 ,得 T= , 0,tan B0,tan C0,得 tan Btan C=x1,所以 tan A+tan B+tan C=- +tan B+tan C= +2 x,tanB+tanC1-tanBtanC 23xx-1 3再令 x-1=t,则 t0
4、,得 tan A+tan B+tan C=2 =2 8 ,3t2+2t+1t 3 (t+1t+2) 3当且仅当 tan Btan C=x=2 时,取到等号,则(tan A+tan B+tan C) min=8 .36.设函数 f(x)= sin .若存在 f(x)的极值点 x0满足 + 2解析 f (x)= cos x,令 f (x)=0,则 x= +k(kZ),解得 x= +km(kZ),即 x0= +km(kZ).3m m m 2 m2 m2+ = +3sin2 = +3cos2k=m 2 +3,x20f(x0)2(m2+km)2 ( 2+k )(m2+km)2 (12+k)23kZ,k=
5、0 时, + 取得最小值 +3,存在 f(x)的极值点 x0满足 + 4,解得 m2.7.(2018 杭州高三上学期期末)设向量 a=(2 sin x,-cos x),b=(cos x,2cos x), f(x)=ab+1.3(1)求函数 f(x)的最小正周期;(2)若方程 f(x)=|t2-t|(tR)无实数解,求 t 的取值范围.解析 (1)f(x)=ab+1=2 sin xcos x-2cos2x+13= sin 2x-cos 2x3=2sin ,(2x- 6)故 f(x)的最小正周期为 .(2)若方程 f(x)=|t2-t|无解,则|t 2-t|f(x)max=2,t 2-t2 或 t
6、2-t2 得 t2 或 t2 或 t0)的最小正周期为 .(1)求 的值;(2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),得到函数 y=g(x)的图象,求函数12y=g(x)在区间 上的最值.- 4,0解析 (1)f(x)= sin + ,T= =,=1.22 (2x + 4)12 22(2)g(x)=f(2x)= sin + .22 (4x+ 4)12当 x 时,4x+ ,- 4,0 4 -34, 4g(x) min=g = ,g(x)max=g(0)=1.(-316)1- 229.(2018 暨阳联谊学校高三联考)已知函数 f(x)=2cos x(a2sin x
7、+bcos x)(xR)的值域为-1,3.(1)若函数 y=f(x+)的图象关于直线 x= 对称,求|的最小值; 2(2)当 x0,时,方程|f(x)|=c 有四个实数根,求 c 的取值范围.解析 (1)f(x)=a 2sin 2x+bcos 2x+b= sin(2x+)+b ,a4+b2 (其中 tan =ba2)4由题意可得 b- =-1,b+ =3,a4+b2 a4+b2解得 a2= ,b=1.3f(x)=2sin +1.(2x+ 6)f(x+)=2sin +1.(2x+2 + 6)由 y=f(x+)的图象关于直线 x= 对称得 2 +2+ = +k(kZ), 2 2 6 2= - (k
8、Z),k2 3| min= . 6(2) 作出 y=|f(x)|,x0,的图象,如图,故 y=|f(x)|= 在 , ,|2sin(2x+ 6)+1| 0, 6 2,23上单调递增;在 , 上单调递减,56, 6, 223,56f(0)=f()=2, f =1, f =f =0,(23) ( 2) (56)c(0,1).10.(2018 嘉兴高三上学期期末)已知函数 f(x)=Asin(x+) 的部分图象如(A0, 0,| | 2)图所示.(1)求 f(x)的解析式;(2)设函数 g(x)=f(x)+4sin2x,x ,求 g(x)的值域.0, 2解析 (1)由题图得 A=2,最小正周期 T=
9、4 =,(712- 3)所以 =2,5又由 2 += +2k(kZ),得 =- +2k(kZ),又| ,所以 =- ,所以 f(x)=2sin . 3 2 6 2 6 (2x- 6)(2)g(x)=f(x)+4sin2x= sin 2x-cos 2x+2(1-cos 2x)= sin 2x-3cos 2x+2=2 sin +2,3 3 3 (2x- 3)因为 x ,所以 2x- ,0, 2 3 - 3,23所以 sin ,(2x- 3) - 32,1所以 g(x)的值域为-1,2+2 .311.(2018 宁波效实中学等五校联考)在ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且(b+
10、c) 2-a2=(2+ )2bc,sin Asin B=cos2 .C(1)求角 A 和角 B 的大小;(2)已知当 xR 时,函数 f(x)=sin x(cos x+asin x)的最大值为 ,求 a 的值.32解析 (1)由(b+c) 2-a2=(2+ )bc 得 b2+c2-a2= bc,2 2cos A= = ,b2+c2-a22bc 22又 A(0,),A= . 4由 sin Asin B=cos2 ,得 sin B= ,C 22 1+cosC2即 sin B=1+cos ,2 (34 -B)整理得 sin B+ cos B=1,sin =1,22 22 ( 4+B)又 B ,故 B
11、= .(0,34) 4(2)f(x)=sin x(cos x+asin x)= +sin2x-acos2x2 a2= sin(2x-)+ + = ,1+a22 a2 1+a22 a232解得 a= .4312.(2018 宁波高三模拟)已知函数 f(x)=4cos xsin -1.(x- 6)(1)求函数 f(x)的单调递增区间;(2)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若满足 f(B)=0,a=2,且 D 是 BC 的中点,P 是直线 AB 上的动点,求 CP+PD 的最小值.6解析 (1)f(x)=4cos x -1,(32sinx-12cosx)= sin 2x-cos 2x-2=2sin -2,3 (2x- 6)由- +2k2x- +2k,kZ, 2 6 2得- +kx +k,kZ, 6 3所以 f(x)的增区间为 ,kZ.k - 6,k + 3(2)在ABC 中,由 f(B)=2sin -2=0 得 2B- = +2k,kZ,(2B- 6) 6 2所以 B= +k,kZ. 3B(0,),B= . 3作 C 关于 AB 的对称点 C,连接 CD,CC,CP,CB,CD2=BD2+BC2+BDBC=7,CP+PD=CP+PDCD= ,7当 C,P,D 共线时,取最小值 .7
