1、13.3 导数与函数极值和最值教师专用真题精编1.(2018 江苏,11,5 分)若函数 f(x)=2x3-ax2+1(aR)在(0,+)内有且只有一个零点,则 f(x)在-1,1上的最大值与最小值的和为 . 答案 -3解析 本题考查利用导数研究函数的极值和最值 .f(x)=2x 3-ax2+1,f (x)=6x 2-2ax=2x(3x-a).若 a0,则 x0 时, f (x)0,f(x)在(0,+)上为增函数,又 f(0)=1,f(x)在(0,+)上没有零点,a0.当 0 时, f (x)0, f(x)为增函数,x0 时, f(x)有极小值,a3 a3为 f =- +1.(a3) a327
2、f(x)在(0,+)内有且只有一个零点,f =0,(a3)a=3.f(x)=2x 3-3x2+1,则 f (x)=6x(x-1).令 f (x)=0,得 x=0 或 x=1.x -1 (-1,0) 0 (0,1) 1f (x) + -f(x) -4 增 1 减 0f(x)在-1,1上的最大值为 1,最小值为-4.最大值与最小值的和为-3.2.(2018 课标全国,21,12 分)已知函数 f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.(1)若 a=0,证明:当-10 时, f(x)0;(2)若 x=0 是 f(x)的极大值点,求 a.解析 本题考查导数与函数的单调性、导数与函数的极值.(1
3、)当 a=0 时, f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x, f (x)=ln(1+x)- .x1+x设函数 g(x)=f (x)=ln(1+x)- ,x1+x2则 g(x)= .x(1+x)2当-10 时,g(x)0.故当 x-1 时,g(x)g(0)=0,且仅当 x=0 时,g(x)=0,从而 f (x)0,且仅当 x=0 时, f (x)=0.所以 f(x)在(-1,+)单调递增.又 f(0)=0,故当-10 时, f(x)0.(2)(i)若 a0,由(1)知,当 x0 时, f(x)(2+x)ln(1+x)-2x0=f(0),这与 x=0 是 f(x)的极大值点矛盾.(ii)若 a0
4、,故 h(x)与 f(x)符号相同.1,1|a|又 h(0)=f(0)=0,故 x=0 是 f(x)的极大值点当且仅当 x=0 是 h(x)的极大值点.h(x)= -11+x2(2+x+ax2)-2x(1+2ax)(2+x+ax2)2= .x2(a2x2+4ax+6a+1)(x+1)(ax2+x+2)2如果 6a+10,则当 00,故 x=0 不是 h(x)的极大值点.6a+14a 1, 1|a|如果 6a+10;当 x(0,1)时,h(x) ,则当 x 时, f (x)0.所以 f(x)在 x=2 处取得极小值 0.若 a ,则当 x(0,2)时,x-20,所以 2 不是 f(x)的极小值点.综上可知,a 的取值范围是 .(12,+ )
