1、1第 18 讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系: . (2)商数关系: . 2.诱导公式公式一公式二公式三公式四公式五公式六角+ 2k(kZ) + - - - 2 + 2正弦sin sin cos cos 余弦cos cos sin 正切tan -tan 口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限记忆规律奇变偶不变,符号看象限2常用结论1.sin(k + )=(-1)ksin .2.在 ABC 中:(1)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,tan(A+B)=-tan C; (2)sin =cos ,cos =sin
2、.A+B2 C2 A+B2 C2题组一 常识题1.教材改编 已知 cos = ,且 是第四象限角,则 sin 的值为 . 12132.教材改编 已知 =-5,那么 tan 的值为 . sin -2cos3sin +5cos3.教材改编 已知 sin = ,则 cos = . 33 (32+ )4.教材改编 求值:sin( -1200)cos 1290= . 题组二 常错题索引:平方关系没有考虑角的象限导致出错;扩大角的范围导致出错;不会运用消元的思想;k 的形式没有把 k 按奇数和偶数进行分类讨论导致出错 .5.已知 ABC 中, =- ,则 cos A 等于 . cosAsinA 1256.
3、已知 cos + =- ,且 是第四象限角,则 cos(-3 + )= . 32 357.已知 =5,则 sin2- sin cos = . sin +3cos3cos -sin8.已知 A= + (kZ),则 A 的值构成的集合是 . sin(k + )sin cos(k + )cos探究点一 三角函数的诱导公式例 1 (1)2018遵义联考 若 sin =- ,则 cos(2 - )= ( )( 2+ ) 35A.- B.35 353C.- D.45 45(2)2018桂林模拟 已知 f( )= ,则 f 的值为 ( )sin( - )cos(2 - )cos(- - ) (-83)A.
4、B.12 32C.- D.-12 32总结反思 (1)已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解 .转化过程中注意口诀“奇变偶不变,符号看象限”的应用 .(2)对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存在的特定关系,充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化 .特别要注意每一个角所在的象限,防止符号及三角函数名出错 .变式题 (1)2018广东名校联考 若 cos + = ,则 sin = ( ) 6 45 ( - 3)A. B.45 35C.- D.-35 45(2)2018江西六校联考 若点( a,32)在函数 y=2x的图像上,则 tan 的
5、值为 ( )a3A. B.333C.- D.-333探究点二 同角三角函数的基本关系微点 1 切弦互化例 2 (1)2018南充模拟 已知 tan = 2,则 的值为 ( )sin +cossin -3cosA.-3 B.3 C. D.-13 13(2)2018贵阳模拟 已知 sin( - )=- ,且 ,则 tan(2 - )= ( )23 (- 2,0)A. B.-255 2554C. D.-52 52总结反思 (1)同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函数值,主要利用商数关系 =tan 和平方关系 1=sin2+ cos2 ;(2)在弦切互化时,要sincos
6、注意判断角所在的象限,不要弄错切、弦的符号 .微点 2 “1”的变换例 3 (1)2018广东六校三联 已知 sin + +3cos( - )=sin(- ),则 sin cos 2+ cos2= ( )A. B.15 25C. D.35 55(2)2018武汉调研 已知 sin cos = ,则 tan = . 310总结反思 对于含有 sin2x,cos2x,sin xcos x 的三角函数求值问题,一般可以考虑添加分母 1,再将 1 用“sin 2x+cos2x”代替,然后用分子分母同除以角的余弦的平方的方式将其转化为关于 tan 的式子,从而求解 .微点 3 和积转换例 4 2018潍
7、坊模拟 若 (0,),sin( - )+cos = ,则 sin - cos 的值为23( )A. B.-23 23C. D.-43 435总结反思 对于 sin + cos ,sin - cos ,sin cos 这三个式子,利用(sin cos )2=12sin cos 可以达到转换、知一求二的目的 .应用演练1.【微点 1】2018南昌模拟 已知 sin = , ,则 tan = ( )13 ( 2, )A.-2 B.- 2C.- D.-22 242.【微点 1】已知 tan x=- ,x ,则 cos -x+ = ( )125 ( 2, ) 32A. B.-513 513C. D.-1
8、213 12133.【微点 2】2018遵义模拟 若点(2,tan )在直线 y=2x-1 上,则 = ( )sin cos1-sin2A.2 B.3C.4 D.64.【微点 3】若 sin ,cos 是方程 4x2+2mx+m=0 的两根,则 m 的值为 . 第 18 讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式6考试说明 1 .理解同角三角函数的基本关系式:sin 2x+cos2x=1, =tan x.sinxcosx2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 , 的正弦、余弦、正切的诱导公式 . 2【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)sin2+ cos2= 1 (2) =tan , k + (kZ)s
9、incos 22.-sin -sin -cos -cos -sin tan -tan 对点演练1.- 解析 由于 是第四象限角,故 sin =- =- .513 1-cos2 5132.- 解析 由 =-5,知 cos 0,等式左边分子分母同时除以 cos ,可得2316 sin -2cos3sin +5cos=-5,得 tan =- .tan -23tan +5 23163. 解析 cos =cos =-cos =sin = .33 (32+ ) ( + 2+ ) ( 2+ ) 334. 解析 原式 =-sin(120+3360)cos(210+3360)=-sin 120cos 21034
10、=-sin(180-60)cos(180+30)=sin 60cos 30= = .32 32 345.- 解析 =- , sin A=- cos A,A 为 ABC 的内角, sin A0, cos A 0,所以 sin - cos = ,故选 C.43应用演练1.D 解析 sin = , , cos =- =- ,则 tan = =13 ( 2, ) 1-sin2 223 sincos=- ,故选 D.13-223 242.D 解析 tan x=- ,x , sin x= , cos =-sin x=- .125 ( 2, ) 1213 (-x+32) 12133.B 解析 由题意知,ta
11、n = 4-1=3, = =tan = 3,故选 B.sin cos1-sin2 sin coscos24.1- 解析 由题意知 sin + cos =- ,sin cos = ,又(sin + cos )5m2 m42=1+2sin cos ,所以 =1+ ,解得 m=1 .又 = 4m2-16m0,所以 m0 或 m4,所以m24 m2 5m=1- .5【备选理由】 例 1 进一步考查利用诱导公式进行化简与求值;例 2 考查弦切互化,是平方关系及商数关系的综合应用;例 3 结合导数的几何意义得出 tan ,再巧妙使用sin2+ cos2= 1 代换求值;例 4 考查 sin + cos 与
12、 sin - cos 之间的转换,对于sin + cos ,sin cos ,sin - cos 这三个式子,利用(sin cos )2=12sin cos 可以知一求二 .例 1 配合例 1 使用 已知 cos = ,则 的值为 . 45 sin( - )-2cos( 2- )sin(- )cos( - )答案 -154解析 因为 cos = ,所以 = = =- =- .45 sin( - )-2cos( 2- )sin(- )cos( - ) -sin -2sinsin cos -3sinsin cos 3cos 154例 2 配合例 2 使用 2018黄山一模 已知 R,sin + 2
13、cos = ,则 tan = 102. 9答案 3 或 -13解析 sin + 2cos = ,sin2+ cos2= 1,102 (sin + 2cos )2=sin2+ 4sin cos + 4cos2= ,52 1+3cos2+ 4sin cos = ,即 3cos2+ 4sin cos = , = ,52 32 3cos2 +4sin cossin2 +cos2 32 = ,解得 tan = 3 或 - .3+4tantan2 +132 13例 3 配合例 3 使用 2018重庆调研 若曲线 f(x)=ln x- 在点(1, f(1)处的切线的倾1x斜角为 ,则 = . 1sin co
14、s -cos2答案 5解析 因为 f(x)=ln x- ,1x所以 f(x)= + ,所以 f(1)=2,则 tan = 2, 1x1x2所以 = = = =5.1sin cos -cos2 sin2 +cos2sin cos -cos2 tan2 +1tan -14+12-1例 4 配合例 4 使用 2018衡水武邑中学月考 已知 - 0,sin 0.因为(sin + cos )2+(cos - sin )2=2,所以(cos - sin )2=2-(sin + cos )2=2- = ,1254925所以 cos - sin = ,所以 cos2- sin2= = ,75 15 75725所以 的值为 ,故选 B.1cos2 -sin2 257
