1、12.3 离散型随机变量及其分布列,-2-,知识梳理,考点自诊,1.随机变量 在随机试验中,确定一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示,在这种对应关系下,数字随着试验结果的变化而变化,像这种随着试验结果变化而变化的变量称为 ,随机变量常用字母X,Y,等表示.若是随机变量,=a+b,其中a,b是常数,则也是随机变量. 2.离散型随机变量 所有取值可以一一列出的随机变量,称为 随机变量.,随机变量,离散型,-3-,知识梳理,考点自诊,3.离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,xi,xn,X取每一个值xi(i=1,2,n)的概率P(
2、X=xi)=pi,则表称为离散型随机变量X的 ,简称为X的分布列. (2)离散型随机变量的分布列的性质,概率分布列,-4-,知识梳理,考点自诊,4.常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布:若随机变量X服从两点分布,其分布列为其中p=P(X=1)称为成功概率.,-5-,知识梳理,考点自诊,1.若X是随机变量,则Y=aX+b(a,b是常数)也是随机变量. 2.随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的.,-6-,知识梳理,考点自诊,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)随机变量和函数都是一种映射,随机变量把随机试验的结果映射为实数.( ) (2)抛掷均匀硬币一次,出现正
3、面的次数是随机变量.( ) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的. ( ) (4)从4名男演员和3名女演员中选出4人,其中女演员的人数X服从超几何分布.( ),-7-,知识梳理,考点自诊,2.(2018湖北武汉调研,2)一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字都可以从09中任选一个,某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码最后一位数字,如果任意按最后一位数字,不超过2次就按对的概率为( ),C,-8-,知识梳理,考点自诊,3.(2018内蒙古包头模拟,8)50个乒乓球中,合格品为45个,次品为5个,从这50个乒乓球中任取3个,出现次品的概率是( ),C,-9-,知识梳理,考点自
4、诊,4.(2018黑龙江哈尔滨考前押题,5)甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军,若比赛为“三局两胜”制,甲在每局比赛中获胜的概率均为 ,且各局比赛结果相互独立,则在甲获得冠军的情况下,比赛进行了三局的概率为( ),B,-10-,考点1,考点2,考点3,离散型随机变量分布列的性质,B,-11-,考点1,考点2,考点3,思考利用离散型随机变量的分布列的性质能解决哪些问题? 解题心得1.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,要注意检查每个概率值均为非负数. 2.求随机变量在某个范围内的概率,根据分布列,将所求范围内随机变量对应的概率值相加即可,其依据是互斥事件的概率加法公式.,-12-,考点1,考点
5、2,考点3,对点训练1设离散型随机变量X的分布列为求:(1)2X+1的分布列; (2)|X-1|的分布列.,-13-,考点1,考点2,考点3,解 由分布列的性质知,0.2+0.1+0.1+0.3+m=1, 解得m=0.3. 列表得,-14-,考点1,考点2,考点3,-15-,考点1,考点2,考点3,求离散型随机变量的分布列(多考向) 考向1 与互斥事件、独立事件有关的分布列 例2(2019届河南商丘二模,19)2018年2月22日,在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中,中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现,为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌,也创造了中国男子冰上竞速项目在冬奥会
6、金牌零的突破.根据短道速滑男子500米的比赛规则,运动员自出发点出发进入滑行阶段后,每滑行一圈都要依次经过4个直道与弯道的交接口Ak(k=1,2,3,4).已知某男子速滑运动员顺利通过每个交接口的概率均为 假定运动员只有在摔倒或到达终点时才停止滑行,现在用X表示该运动员滑行最后一圈时在这一圈内已经顺利通过的交接口数.,-16-,考点1,考点2,考点3,(1)求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过3个交接口的概率; (2)求X的分布列及均值EX.,-17-,考点1,考点2,考点3,-18-,考点1,考点2,考点3,-19-,考点1,考点2,考点3,思考该运动员停止滑行时恰好已顺利通过3个交接口包括哪
7、几种情况?,-20-,考点1,考点2,考点3,考向2 变量取值概率为古典概型的分布列 例3(2018天津一模,19)某大学数学学院拟从往年的智慧队和理想队中选拔4名大学生组成志愿者招募宣传队.往年的智慧队和理想队的构成数据如下表所示,现要求选出的4名大学生中两队中的大学生都要有.(1)求选出的4名大学生仅有1名女生的概率; (2)记选出的4名大学生中女生的人数为X,求随机变量X的分布列和均值.,-21-,考点1,考点2,考点3,-22-,考点1,考点2,考点3,-23-,考点1,考点2,考点3,思考如何求古典概型的离散型随机变量的分布列? 解题心得1.求古典概型的离散型随机变量的分布列,要注意
8、应用计数原理、排列组合的知识求基本事件的个数及事件A包含的基本事件的个数,然后应用古典概型的概率公式求概率. 2.求出分布列后,注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确.,-24-,考点1,考点2,考点3,考向3 统计与随机变量分布列的综合 例4(2018四川南充一诊,18)一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球,从中随机抽取50个作为样本,称出它们的重量(单位:克),重量分组区间为5,15,(15,25,(25,35,(35,45,由此得到样本的重量频率分布直方图(如图).(1)求a的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球重量的众数与平均值; (2)从盒子中随机抽取3个小球
9、,其中重量在5,15内的小球个数为X,求X的分布列和均值.(以直方图中的频率作为概率),-25-,考点1,考点2,考点3,-26-,考点1,考点2,考点3,-27-,考点1,考点2,考点3,思考求随机变量的分布列的基本步骤有哪些? 解题心得求随机变量的分布列的三个步骤 (1)找:找出随机变量的所有可能的取值xi(i=1,2,n),并确定=xi的意义. (2)求:借助概率的有关知识求出随机变量取每一个值的概率P(=xi)=pi(i=1,2,n). (3)列:列出表格,并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质.,-28-,考点1,考点2,考点3,对点训练2(2019届四川遂宁一诊,19)心理学家分
10、析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中用分层抽样的方法抽取50名同学(男30,女20),给所选的同学几何题和代数题各一题,让各位同学自由选择一题进行解答,选题情况如表(单位:人),-29-,考点1,考点2,考点3,(1)是否有95%的把握认为视觉和空间能力与性别有关? (2)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在57分钟,乙每次解答一道几何题所用的时间在68分钟,现甲乙解同一道几何题,求乙比甲先解答完成的概率. (3)现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记甲、乙两女生被抽到的人数为X,求X的分布列及均值EX. 附
11、表及公式:,-30-,考点1,考点2,考点3,-31-,考点1,考点2,考点3,-32-,考点1,考点2,考点3,超几何分布 例5(2018甘肃张掖一模,18)“扶贫帮困”是中华民族的传统美德,某校为帮扶困难同学,采用如下方式进行一次募捐:在不透明的箱子中放入大小均相同的白球七个,红球三个,每位献爱心的参与者投币20元有一次摸奖机会,一次性从箱中摸球三个(摸完球后将球放回),若有一个红球奖金10元,两个红球奖金20元,三个全为红球奖金100元. (1)求献爱心参与者中奖的概率; (2)若该次募捐有900位献爱心参与者,求此次募捐所得善款的均值.,-33-,考点1,考点2,考点3,-34-,考点
12、1,考点2,考点3,-35-,考点1,考点2,考点3,思考超几何分布有什么特点?它主要应用在哪些方面? 解题心得1.超几何分布的两个特点: (1)超几何分布是不放回抽样问题; (2)随机变量为抽到的某类个体的个数. 2.超几何分布的应用:超几何分布属于古典概型,主要应用于抽查产品、摸不同类别的小球等概率模型.,-36-,考点1,考点2,考点3,对点训练3(2019届安徽宿州一模,19)为了适当疏导电价矛盾,保障电力供应,支持可再生能源发展,促进节能减排,安徽省于2012年推出了省内居民阶梯电价的计算标准:以一个年度为计费周期,月度滚动使用,第一阶梯电量:年用电量2 160度以下(含2 160度
13、),执行第一档电价0.565 3元/度;第二阶梯电量:年用电量2 161至4 200度(含4 200度),执行第二档电价0.615 3元/度;第三阶梯电量:年用电量4 200度以上,执行第三档电价0.865 3元/度.某市的电力部门从本市的用电户中随机抽取10户,统计其同一年度的用电情况,列表如下.,-37-,考点1,考点2,考点3,(1)试计算表中编号为10的用电户本年度应交电费多少元? (2)现要在这10户家庭中任意选取4户,对其用电情况作进一步分析,求取到第二阶梯电量的户数的分布列与均值; (3)以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电情况,现从全市居民用电户中随机地抽取10户,若抽
14、到k户用电量为第一阶梯的可能性最大,求k的值.,解 (1)因为第二档电价比第一档电价多0.05元/度,第三档电价比第一档电价多0.3元/度,编号为10的用电户一年的用电量是4 600度, 则该户本年度应交电费为 4 6000.565 3+(4 200-2 160)0.05+(4 600-4 200)0.3=2 822.38(元).,-38-,考点1,考点2,考点3,-39-,考点1,考点2,考点3,-40-,考点1,考点2,考点3,1.求分布列的关键是正确求出随机变量的所有可能值及对应的概率,要注意避免分类不全面或计算错误. 2.注意运用分布列的两个性质检验求得分布列的正误. 3.本节求概率分布的常见类型: (1)根据统计数表求离散型随机变量的分布列; (2)由古典概型求离散型随机变量的分布列. 4.对于离散型随机变量X,P(X=k)表示的是变量X的值为k时的事件发生的概率,只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的.,-41-,考点1,考点2,考点3,1.对于分布列,易忽视其性质p1+p2+pn=1及pi0(i=1,2,n),其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确. 2.确定离散型随机变量的取值时,各个可能取值表示的事件是彼此互斥的.,
