1、考点一 等比数列的有关概念及运算,考点清单,考向基础 1.等比数列的通项公式,2.等比数列an的前n项和公式 (1)当q=1时,Sn= na1 . (2)当q1时,Sn= = . 3.等比中项 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么称这个数G为a 与b的等比中项,即 G= (a,b同号).,(1)a,G,b成等比数列G2=ab(ab0). (2)同号的两个数才有等比中项.,考向突破,考向一 求等比数列的an与Sn,例1 已知正项数列an满足 -6 =an+1an,若a1=2,则数列an的前n项 和Sn= .,解析 -6 =an+1an, 即 -an+1an-6 =0, (a
2、n+1-3an)(an+1+2an)=0, an0,an+1=3an,即 =3,又a1=2, an是首项为2,公比为3的等比数列, Sn= =3n-1.,答案 3n-1,考向二 等比中项的运用,例2 成等差数列的三个正数的和等于6,并且这三个数分别加上3,6,13 后成为等比数列bn中的b3,b4,b5,则数列bn的通项公式为 ( ) A.bn=2n-1 B.bn=3n-1 C.bn=2n-2 D.bn=3n-2,解析 设成等差数列的三个正数分别为2-d,2,2+d, 则bn中的b3,b4,b5分别为5-d,8,15+d, 64=(5-d)(15+d),即d2+10d-11=0, 解得d=1或
3、d=-11(舍),则b3=4,b4=8,b5=16, q= =2,b1=1,bn=2n-1.故选A.,答案 A,考点二 等比数列的性质及应用,考向基础 1.等比数列an满足 或 时,an是递增数列;满足或 时,an是递减数列. 2.有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项的积相等.特别地,当项数 为奇数时,还等于中间项的平方. 3.等比数列的一些结论: (1)在等比数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列,构成 的新数列仍然是等比数列. (2)当q-1或q=-1且k为奇数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,是等比数列;当q=-1且k 为偶数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,不是
4、等比数列.,(3)若an是等比数列,则an,|an|皆为等比数列,公比分别为 q和|q| (为非零常数). (4)一个等比数列各项的k次幂仍组成一个等比数列,新公比是原公比的 k次幂 . (5)an为等比数列,若a1a2an=Tn,则Tn, , ,成等比数列. (6)若数列an与bn均为等比数列,则manbn与 仍为等比数列, 其中m是不为零的常数. (7)若数列an的项数为2n,S偶与S奇分别为偶数项与奇数项的和,则 =q; 若项数为2n+1,则 =q.,4.当q0,q1时,Sn=k-kqn(k0)是an为等比数列的充要条件,这时k= . 5.对于正整数m,n,p,q,若m+n=p+q,则在
5、等比数列an中,am,an,ap,aq的关系 为 aman=apaq .,考向突破,考向 等比数列中的常用性质,例 已知递增的等比数列an的公比为q,其前n项和Sn1 C.a10,00,q1,解析 Snan,且|an|an+1|, 则-an-an+10,则q= (0,1), a10,0q1.故选A.,答案 A 方法总结 an是等比数列,公比为q(q1),熟记下列结论能快速解题: 当q1,a10或01,a10时,数列an为递减数列.,方法1 等比数列的基本运算技巧 1.方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”, 通过列方程(组)求出关键量a1和q,问题可迎刃而
6、解. 2.分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当 q=1时,数列an的前n项和Sn=na1;当q1时,数列an的前n项和Sn= = .,方法技巧,例1 已知等比数列an的前n项和为Sn,且a1+a3= ,a2+a4= ,则 =( ) A.4n-1 B.4n-1 C.2n-1 D.2n-1,解析 设等比数列an的公比为q, 由可得 =2,q= ,代入解得a1=2, an=2 = ,Sn= =4 , = =2n-1,故选D.,答案 D,方法2 等比数列的判定 1.定义法:若 =q(q为非零常数,nN*)或 =q(q为非零常数且n2,n N*),则数列an是等比数列. 2.
7、等比中项法:若数列an中,an0且 =anan+2(nN*),则数列an是等 比数列. 3.通项公式法:若数列的通项公式可写成an=cqn(c,q均是不为0的常数,n N*),则数列an是等比数列. 4.前n项和公式法:若数列an的前n项和Sn=k-kqn(k为常数且k0,q0, 1),则数列an是等比数列. 其中前两种方法常用于证明等比数列,后两种方法常用于选择题和填空题中.,若证明一个数列不是等比数列,只要证明存在相邻三项不成等比数列即可.,例2 已知数列an满足a1=1,a2=4,an+2=4an+1-4an. (1)求证:an+1-2an是等比数列; (2)求an的通项公式.,解析 (1)证明:由an+2=4an+1-4an得an+2-2an+1=2an+1-4an=2(an+1-2an)=22(an-2an-1) =2n(a2-2a1)0, =2,an+1-2an是等比数列. (2)由(1)可得an+1-2an=2n-1(a2-2a1)=2n, - = , 是首项为 ,公差 为 的等差数列, = ,则an=n2n-1.,
