1、第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式,1.同角三角函数的基本关系,2.诱导公式,教材研读,考点一 同角三角函数的基本关系,考点二 三角函数的诱导公式,考点突破,考点三 sin x+cos x,sin x-cos x,sin xcos x的关系及应用,1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系: sin2+cos2=1(R) . (2)商数关系: =tan .,教材研读,2.诱导公式,1.(教材习题改编)求值:tan 1 020= .,答案 -,解析 tan 1 020=tan(1806-60)=tan(-60)=-tan 60=- .,2.(2019南京模拟)已知角的顶点与坐标原点重合,
2、始边与x轴的正半轴 重合,终边经过点P(12,5),则sin(+)+cos(-)的值是 .,答案,解析 由题意得sin = ,cos = ,则sin(+)+cos(-)=-sin +cos =- + = .,3.(教材习题改编)若tan =- ,则 = .,答案 -1,解析 因为tan =- ,所以原式= = =-1.,4.(教材习题改编)若为第四象限角,则 + = .,答案 -,解析 原式= + = + = ,又为第 四象限角,所以原式=- .,5.(2018江苏镇江上学期期末)已知为锐角,且sin tan = ,则的值为 .,答案 -7,解析 sin tan = = = ,cos = 或-
3、 (舍),又为锐角,则sin = = ,则 = =-7.,6.(教材习题改编)已知sin = ,则sin +sin2 = .,答案,解析 sin =sin =sin = ,sin2 =cos2 =1-sin2 = ,则原式= + = .,考点一 同角三角函数的基本关系 角度一 求三角函数值 典例1 (1)若tan = ,则cos2+2sin 2= . (2)已知是第三象限角,且sin -2cos =- ,则sin +cos = .,考点突破,答案 (1) (2)-,解析 (1)当tan = 时,原式=cos2+4sin cos = = = . (2)由是第三象限角可得sin 0,cos 0.
4、联立sin -2cos =- 与sin2+cos2=1, 解得sin =- ,cos =- ,所以sin +cos =- .,同类练 (2018江苏苏州高三调研)已知tan =2,则sin2+sin cos -2cos2 = .,答案,解析 sin2+sin cos -2cos2 = = . 将tan =2代入,得原式= .,变式练 (2018盐城时杨中学高三月考)已知0x ,且sin x-cos x= ,则 4sin xcos x-cos2x的值为 .,答案,解析 因为00,cos x0,联立sin x-cos x= 和sin2x+cos2x =1,解得sin x= ,cos x= , 则4
5、sin xcos x-cos2x=4 - = .,深化练 (2018镇江秋学期高三模拟)已知锐角满足tan = cos ,则= .,答案 3+2,解析 因为锐角满足tan = cos , 所以tan2=6cos2= = , 即tan4+tan2-6=0,解得tan2=2或tan2=-3(舍去), 由于为锐角,所以tan = , 故 = = =3+2 .,典例2 (1)证明: = - . 证明 右边= = = = = =左边.,角度二 化简与证明,(2)化简: .,解析 原式= = = .,方法技巧 同角三角函数基本关系式的应用技巧,1-1 已知为第二象限角,则 cos +sin = .,答案
6、0,解析 原式=cos +sin =cos +sin . 因为是第二象限角,所以sin 0,cos 0, 所以cos +sin =-1+1=0,即原式=0.,1-2 求证: = . 证明 因为 = = =tan 2,又=tan 2, 所以 = , 所以 = .,典例3 化简: (kZ).,考点二 三角函数的诱导公式 角度一 利用诱导公式化简,解析 当k为偶数时,不妨设k=2n(nZ), 则原式= = = = =-1. 当k为奇数时,设k=2n+1(nZ), 则原式=,= = = =-1, 综上所述,当kZ时,原式=-1.,1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤 任意负角的三
7、角函数 任意正角的三角函数 0到360 角的三角函数 锐角三角函数,方法技巧,2.三角函数式化简的方向 (1)切化弦,统一名. (2)用诱导公式,统一角. (3)用因式分解将式子变形,化为最简.,典例4 (1)sin 600+tan 240= . (2)(2018宿迁第一学期期末)若sin = ,其中 ,则sin 的值为 .,角度二 利用诱导公式求值,答案 (1) (2)-,解析 (1)sin 600+tan 240 =sin(720-120)+tan(180+60) =-sin 120+tan 60 =- + = . (2)由 得 - ,又sin = ,则cos =-=- ,则sin =si
8、n =cos =- .,利用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的 思想简化解题过程,常见的互余关系有 -与 +, +与 -, +与 - 等,常见的互补关系有 -与 +, +与 -, +与 -等.,方法技巧,2-1 化简: .,解析 原式= = = = =- =-1.,2-2 已知2,cos(-7)=- ,求sin(3+)tan 的值.,解析 cos(-7)=cos(7-)=cos(-)=-cos =- , cos = , sin(3+)tan =sin(+) =sin tan =sin =sin =cos = .,典例5 已知sin +cos = ,(0,),则 (1)s
9、in -cos = ; (2)sin3+cos3= .,考点三 sin x+cos x,sin x-cos x,sin xcos x的关系及应用,答案 (1) (2),解析 (1)因为sin +cos = , 所以(sin +cos )2= , 所以2sin cos =- , 又(0,), 所以sin 0,cos 0, 所以sin -cos = = = . (2)sin3+cos3=(sin +cos )(sin2-sin cos +cos2)= = .,规律总结 sin xcos x与sin xcos x的关系 (1)sin x+cos x,sin x-cos x,sin xcos x之间的
10、关系为 (sin x+cos x)2=1+2sin xcos x.,(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x. (sin x+cos x)2+(sin x-cos x)2=2. 因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值,可求其余两个代数式的值.(2)开方求sin x+cos x或sin x-cos x时,一定要注意角的取值范围对其值符号的影响.,同类练 若(,2),且sin +cos = . (1)求cos2-cos4的值; (2)求sin -cos 的值.,解析 sin +cos = , (sin +cos )2= , 即1+2sin cos = ,sin cos =-
11、. (1)cos2-cos4=cos2(1-cos2)=cos2sin2= . (2)sin cos =- 0,sin -cos 0.又(sin -cos )2=1-2sin cos =1+ = , sin -cos =- .,变式练 已知sin ,cos 是关于x的方程x2-ax+a=0的两个根,则a= .,答案 1-,解析 由题意得sin +cos =a=sin cos ,(sin cos )2-2sin cos -1=0, 解得sin cos =1- 或1+ , a=1- 或1+ .,=a2-4a0,a0或a4,a=1- .,深化练 已知关于x的方程2x2-( +1)x+m=0的两个根分别为sin ,cos ,(0,). (1)求 + 的值; (2)求方程的两个根以及的大小.,解析 由题意得 所以(sin +cos )2= ,所以1+2sin cos = , 所以m= . (1) + = +,= + = =sin +cos = . (2)由 解得 或,因为(0,),所以= 或= .,
