1、高考数学（浙江专用）,10.4 直线与圆锥曲线的位置关系,考点 直线与圆锥曲线的位置关系,考点清单,考向基础1.判断直线l与圆锥曲线r的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+ C=0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线r的方程F(x,y)=0.消去y(或x)得到一 个关于变量x(或y)的方程,即 消去y后得ax2+bx+c=0. (1)若a0,则当 0 时,直线l与曲线r相交;当 =0 时,直线l 与曲线r相切;当 0 时,直线l与曲线r相离. (2)若a=0,则得到一个一次方程,则l与r相交,且只有一个交点,此时,若r为 双曲线,则直线l与双曲线的一条渐近线平行;若r为抛物线,则直线l与抛
2、物线的对称轴的位置关系是平行或重合.,2.连接圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦. 直线l:y=kx+b,曲线r:F(x,y)=0,l与r的两个不同的交点为M(x1,y1)、N(x2,y2), 则(x1,y1)、(x2,y2)是方程组 的解.方程组消元后化为关于x(也可 以是y)的一元二次方程Ax2+Bx+C=0(A0).=B2-4AC,应有0.所以x1、 x2是方程Ax2+Bx+C=0的解.由根与系数的关系求出x1+x2=- ,x1x2= .所以 M、N两点间距离为|MN|= |x1-x2|,即弦长公式.也可以写成关于y的 形式,|MN|= |y1-y2|(k0). 3.已知弦的中点、研
3、究弦的斜率和方程 (1)AB是椭圆 + =1(ab0)的一条弦,中点M坐标为(x0,y0)(y00),则 AB的斜率为- .,运用点差法求AB的斜率,设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2). A、B都在椭圆上, 两式相减得 + =0. + =0, 即 =- =- . 故kAB=- . (2)运用类比的方法可以推出:已知AB是双曲线 - =1(a0,b0)的弦,中点M(x0,y0)(y00),则kAB= ;已知抛物线y2=2px(p0)的弦AB的中点M (x0,y0)(y00),则kAB= . 【知识拓展】 与位置关系有关的常用结论 (1)过椭圆外一点总有两条直线和椭圆相切;过椭圆上一
4、点有且只有一 条直线与椭圆相切;过椭圆内一点的直线与椭圆相交. (2)过双曲线外但不在渐近线上的一点总有4条直线与双曲线有且只有 一个交点,即两条切线和两条与渐近线平行的直线;过双曲线上一点总 有3条直线与双曲线有且只有一个交点,即一条切线和两条与渐近线平 行的直线;过双曲线内一点总有2条直线与双曲线有且只有一个交点,即,两条与渐近线平行的直线;过双曲线的渐近线上的一点总有2条直线与 双曲线有且只有一个交点,即一条切线和一条与渐近线平行的直线. (3)过抛物线外一点总有3条直线与抛物线有且只有一个交点,即两条切 线和一条与对称轴平行或重合的直线;过抛物线上一点总有2条直线与 抛物线有且只有一个
5、交点,即一条切线和一条与对称轴平行或重合的直 线;过抛物线内一点总有1条直线与抛物线有且只有一个交点,即一条与 对称轴平行或重合的直线.,方法 圆锥曲线中弦长的求法 (1)直接法:求出弦的两个端点的坐标,再用两个点之间的距离公式求解. (2)间接法:“设而不求”用弦长公式:|AB|= |x1-x2|或|AB|= |y1 -y2|(k0)求解,其中k为直线AB的斜率,A(x1,y1),B(x2,y2). (3)如果是焦点弦,则用焦半径公式求解比较方便.,方法技巧,例 (2017浙江台州4月调研卷(一模),21)如图,在椭圆C: +y2=1中,过坐 标原点O作两条互相垂直的射线OA,OB与C分别交
6、于A,B两点. (1)已知直线AB的斜率为k,用k表示线段AB的长度; (2)过点O作OMAB于M点,点P为椭圆C上一动点,求线段PM长度的取 值范围.,解题导引 (1) (2),解析 (1)由题意可设AB:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2). 由 得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0, 于是x1+x2=- ,x1x2= . 则|AB|= |x1-x2|= , 又由OAOB,知-1= = , 即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,将代入化简得 5m2-4k2=4, 所以|AB|= = .,(2)当直线AB的斜率存在且不为0时,设直线AB:y=kx+m(k0),则OM:y=- x(k0),设M(x,y). 由y=- x,得k=- ,将其代入y=kx+m,得m=y+ , 又由(1)知5m2-4k2=4,所以5 -4 =4, 即 =4y2+4x2, 因为y2+x20,所以x2+y2= . 当直线AB的斜率为0或不存在时,显然符合x2+y2= . 故点M的轨迹方程为x2+y2= .,所以|PO|min- |PM|PO|max+ . 而|OP|的最大值为2,最小值为1, 所以|PM|的取值范围为1- |PM|2+ .,
