1、高考数学（浙江专用）,4.3 三角恒等变换,考点一 两角和与差的三角函数,考点清单,考向基础,考点二 简单的三角恒等变换,考向基础 1.公式的变形与应用 (1)两角和与差的正切公式的变形 tan +tan =tan(+)(1-tan tan ); tan -tan =tan(-)(1+tan tan ). (2)升幂公式 1+cos =2cos2 ;1-cos =2sin2 . (3)降幂公式 sin2= ;cos2= .(4)其他常用变形,sin 2= = ; cos 2= = ; 1+sin 2=(sin +cos )2; 1-sin 2=(sin -cos )2; (sin +cos )
2、2+(sin -cos )2=2; 1sin = ; tan = = . 2.辅助角公式 asin +bcos = sin(+),其中cos = ,sin = .,方法1 三角函数式的化简方法 1.化简原则 (1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角合 理地拆分,从而正确运用公式; (2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定要使用的公式; (3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,常 见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等. 2.化简要求 (1)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少;,方法技巧,(2)尽量
3、使分母不含三角函数; (3)尽量使被开方数不含三角函数等. 3.化简方法 (1)直接应用公式进行降次、消项; (2)切化弦、异角化同角、异次化同次、异名化同名; (3)三角公式的逆用等.,例1 化简 (0)= .,解题导引,解析 原式 = =cos = . 00,原式=-cos .,答案 -cos ,方法2 三角函数式的求值方法 1.“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面上看是很难的, 但非特殊角与特殊角是有一定关系的,解题时,要利用这种关系,结合公 式转化为特殊角的三角函数并且消掉非特殊角的三角函数而得解.(常 见方法有化为特殊角的三角函数值;化为正、负相消的项,消去求 值;化分子
4、、分母,使出现公约数,然后约分求值) 2.“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函 数式的值,解题关键在于“变角”,使角相同或具有某种关系.(如=(+ )-,2=(+)+(-)等,把待求三角函数值的角用含已知角的式子表示, 求解时要注意角的范围的讨论.),3.给值求角:实质上可转化为“给值求值”问题,先求所求角的某一三角 函数值,再利用该三角函数值结合所求角的范围及三角函数的单调性求 得角.,例2 (2017浙江镇海中学阶段测试(一),13)已知sin =cos + ,且,则 的值为 .,解题导引,解析 由sin =cos + ,得1-2sin cos = , 即有sin
5、 cos = . 又 , 所以sin +cos = = . 从而 = =- (sin +cos )=- .,答案 -,例3 (2017浙江金华十校联考,18)如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴 正半轴为始边的锐角与钝角的终边与单位圆分别交于点A,B,x轴正半 轴与单位圆交于点M,已知SOAM= ,点B的纵坐标是 . (1)求cos(-)的值; (2)求2- 的值.,解题导引 (1) (2),解析 (1)由SOAM= 和为锐角,知sin = ,cos = . 又点B的纵坐标是 ,sin = ,cos =- . cos(-)=cos cos +sin sin = + =- . (2)cos 2
6、=2cos2-1=2 -1=- , sin 2=2sin cos =2 = ,2 . ,2- . sin(2-)=sin 2cos -cos 2sin =- ,2-=- .,方法3 利用辅助角公式解决问题的方法 利用asin x+bcos x= sin(x+) 把形如y=asin x+bcos x +k的函数化为一个角的一种三角函数的一次式,从而可以求三角函数的 单调区间、周期、值域和最值、图象的对称轴以及对称中心等问题.辅 助角公式实质上是和角公式的逆用,它在化简、求值中有重要的作用. 在应用时要牢记30,45,60等特殊角的三角函数值,能合理选用公式.,例4 (2018浙江台州第一学期期末
7、质检,18,14分)已知函数f(x)=asin xcos x-b(cos2x-sin2x)(xR,a,b为常数),且f = , f =- . (1)求f(x)的单调递增区间; (2)当x 时,求函数f(x)的最大值与最小值.,解析 (1)由题意得f(x)= asin 2x-bcos 2x, 由f = , f =- , 得 故a= ,b= , f(x)= sin 2x- cos 2x= sin , 当2k- 2x- 2k+ ,kZ时, f(x)单调递增, 可得k- xk+ ,kZ,f(x)的单调递增区间为 (kZ). (8分) (2)由(1)得f(x)= sin , 由- x 得- 2x- , -1sin . 故f(x)在 上的最大值为 ,最小值为- . (14分),
