1、1课时跟踪训练(七) 二项式定理(时间 45 分钟)题型对点练(时间 20 分钟)题组一 二项式定理1若(2 x3 )n3 的展开式中共有 15 项，则自然数 n 的值为( )xA11 B12 C13 D14解析 因为(2 x3 )n3 的展开式中共 n4 项，所以 n415，即 n11，选 A.x答案 A2已知(1 )5 a b (a， b 为有理数)，则 a b( )3 3A44 B46 C110 D120解析 二项式(1 )5的展开式为 1C ( )1C ( )2C ( )3C ( )4C (3 15 3 25 3 35 3 45 3 5)51 5 3030 45 9 7644 ，所以
2、a76， b44， a b7644120.3 3 3 3 3答案 D3用二项式定理展开 6.(x 1x)解 6 6 C x6(1) 0C x5(1) 1C x4(1)(x 1x) (x 1x) x 1 6x3 1x3 06 16 262C x3(1) 3C x2(1) 4C x1(1) 5C x0(1) 636 46 56 6 (x66 x515 x420 x315 x26 x1) x36 x215 x20 .1x3 15x 6x2 1x3题组二 二项式定理中的特定项与系数问题4二项式 5的展开式中 的二项式系数为( )(x32x) 1xA1 B5 C10 D20解析 5的展开式的通项为 Tr
3、1 C x5 r r rC x52 r，令 52 r1，(x32x) r5 (32x) (32) r5得 r3，所以展开式中 的二项式系数为 C 10.选 C.1x 35答案 C5二项式 5的展开式中的常数项为( )(x32x2)A80 B80 C40 D40解析 二项式 5的展开式的通项为 Tr1 C (x3)5 r r(1)(x32x2) r5 ( 2x2)r2rC x155 r，令 155 r0，得 r3，所以常数项为 T4(1) 323C 80，选 B.r5 35答案 B26记 n的展开式中第 m 项的系数为 bm.(2x1x)(1)求 bm的表达式；(2)若 n6，求展开式中的常数项
4、；(3)若 b32 b4，求 n.解 (1) n的展开式中第 m 项为 C (2x)(2x1x) m 1nn m1 m1 2n1 mC xn22 m，(1x) m 1n所以 bm2 n1 mC .m 1n(2)当 n6 时， n的展开式的通项为 Tr1 C (2x)6 r r2 6 rC x62 r.(2x1x) r6 (1x) r6依题意，62 r0，得 r3，故展开式中的常数项为 T42 3C 160.36(3)由(1)及已知 b32 b4，得 2n2 C 22 n3 C ，从而 C C ，即 n5.2n 3n 2n 3n题组三 整除(余数)问题7设 aZ，且 0 a0 时， f(f(x)
5、表达式的展开式中常数项为( )A4 B6 C8 D10解析 依据分段函数的解析式，得 f(f(x) f( ) 4， Tr1 C (1)x (1x x) r4rxr2 .令 r20，则 r2，故常数项为 C (1) 26.24答案 B3. (1 x)4展开式中含 x2的项的系数为( )(11x)A4 B6 C10 D12解析 根据乘法公式，得：因式 1 中的 1 和(1 x)4展开式中含 x2的项相乘可1x得含 x2的项；因式 1 中的 和(1 x)4展开式中含 x3的项相乘可得含 x2的项(1 x)41x 1x展开式的通项为 Tr1 C xr(r0,1，4)，故 (1 x)4展开式中含 x2的
6、项为r4 (11x)1C x2 C x310 x2，即含 x2项的系数为 10.241x 34答案 C二、填空题4若 6的展开式中 x3项的系数为 20，则 a2 b2的最小值为_(ax2bx)解析 本题利用二项式定理求出 x3项的系数，从而求得 ab 的值，再应用基本不等式解决. 6的展开式的通项为 Tr1 C (ax2)6 r rC a6 rbrx123 r，令(ax2bx) r6 (bx) r6123 r3，得 r3，由 C a63 b320 得 ab1，所以 a2 b22 ab2，故 a2 b2的最小364值为 2.故填 2.答案 25( x )100的展开式中，系数为有理项的共有_项
7、3 32解析 Tr1 C ( x)100 r rC 3 2 x100 r(r0,1,2，100)，为r100 3 (32) r100 使系数为有理数， r 必为 2 与 3 的倍数，即 6 的倍数，故 r0,6,12，96，共有 17个答案 17三、解答题6已知在 n的展开式中，第 9 项为常数项，求：(12x2 1x)(1)n 的值；(2)展开式中 x5的系数；(3)含 x 的整数次幂的项的个数解 已知二项展开式的通项 Tk1 C n k k(1) k n kC x .kn(12x2) ( 1x) (12) kn (1)因为第 9 项为常数项，即当 k8 时，2 n k0，52解得 n10.
8、(2)令 2n k5，得 k (2n5)6，52 25所以 x5的系数为(1) 6 4C .(12) 610 1058(3)要使 2n k，即 为整数，只需 k 为偶数，由于 k0,1,2,3，9,10，故符52 40 5k2合要求的有 6 项，分别为展开式的第 1,3,5,7,9,11 项7(1)求多项式 3的展开式；(x21x2 2)(2)求(1 x)2(1 x)5的展开式中 x3的系数解 (1) x2 2 x22 2，1x2 1x2 (x 1x) 3 6(x21x2 2) (x 1x)C x6C x5 C x4 2C x3 3C x2 4C x 5C 606 16 (1x) 26 ( 1
9、x) 36 ( 1x) 46 ( 1x) 56( 1x) 6( 1x) x66 x415 x220 .15x2 6x4 1x6(2)解法一：(1 x)2(1 x)5(1 x2)2(1 x)3(12 x2 x4)(13 x3 x2 x3)，5 x3的系数为 1(1)(2)(3)5.解法二：(1 x)2的通项 Tr1 C xr，r2(1 x)5的通项 Tk1 (1) kC xk，k5(1 x)2(1 x)5的通项(1) kC C xk rr2 k5(其中 r0,1,2， k0,1,2,3,4,5)，令 k r3，则有Error! 或Error!或Error!故 x3的系数为C C C C C 5.15 2 12 25 35
