1、- 1 -湖北省沙市中学 2018-2019 学年高二数学下学期第一次双周考试题 理考试时间：2019 年 2 月 28 日 一、单选题（5 分*12=60 分）1在 ABC 中， “A ”是“cos A ”的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件2已知向量 ，则下列结论正确的是A B C D3在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题 p 是“甲降落在指定范围” ， q 是“乙降落在指定范围” ，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A( p)或( q) B p 或( q) C( p)且( q) D p 或 q4已知双曲线的渐近线方程为 y=
2、 x,焦点坐标为(- ,0),( ,0),则双曲线方程为A B C D218xy218214y214xy5若向量 ， ， 是空间的一个基底，向量 ， ，那么可以与 ， 构成空间的另一个基底的向量是A B C D6已知点 A 在基底 下的坐标为8,6,4，其中 ，则点 A,abc ,aijbkci在基底 下的坐标为,ijkA(12,14,10) B(10,12,14) C(14,10,12) D(4,2,3)7已知一个动圆 P 与圆 O:x2+y2=1 外切,而与圆 C:x2+y2-6x+8=0 内切,则动圆圆心 P 的轨迹是A双曲线的一支 B椭圆 C抛物线 D圆8如图所示，已知 ， ， 三点不
3、共线， 为平面 内一定点， 为平面 外任一点，则下列能表示向量 的为A B C D9若直线 l:x+my+2-3m=0 被圆 C: 截得的线段最短，则 m 的值为- 2 -A-3 B C-1 D110如果椭圆 的弦被点 平分，则这条弦所在的直线方程是21369xyA BC D11已知 ，且 ， ， ，则 的取值范围是A B C D12已知点 是抛物线 的对称轴与准线的交点，点 为抛物线的焦点，点 在抛物线上且满足 ，若 取得最大值时，点 恰好在以 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为A B C D51221二、填空题（5 分*4=20 分）13苏州轨道交通 1 号线每 5 分钟一班，其中，列车在车
4、站停留 0.5 分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为_14已知命题 ：对任意 ， ，若 是真命题，则实数 的取值范围是_.15如图，以长方体 的顶点 为坐标原点，过 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 的坐标为 ，则 的坐标为_16已知双曲线 的离心率为 ，左焦点2:1(0,)xyCab为 ，点 （ 为半焦距）. 是双曲线 的右支上的动点，且 的最小值为 .则双曲线 的方程为_.三、解答题（70 分）- 3 -17已知向量 ， ，点 A(3，1,4)， B(2，2,2)(1,32)a(,1)b(1)求 ； (2)在直线 AB 上，存在点 E
5、，使得 (O 为原点)，求 E 的坐标Ob18已知圆 与 轴交于 ， 两点，且圆心 在直线 上.（1）求圆 的标准方程； （2）过点 的直线 与圆 相交于 两点，且 ，求直线 的方程.19如图所示，已知 ABCD-A1B1C1D1是平行六面体.(1)化简 ；122A(2)设 M 是底面 ABCD 的中心，N 是侧面BCC1B1对角线 BC1上的 分点，设 =34,试求 ， 的值.20如图所示，某桥是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 m，水面宽 4 m（1）水位下降 1 m 后，计算水面宽多少米？ （2）已知经过上述抛物线焦点且斜率为 2 的直线交抛物线于 A、B两点，求 A、B
6、两点间的距离 - 4 -21四棱锥 中，侧棱 ，底面 是直角梯形，PABCDPABCD底 面，且 ， 是 的中点/, 1,2EC（I）求异面直线 与 所成的角；E（II）线段 上是否存在一点 ，使得 ？QQ平 面若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由QBP22在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 的离心率为 ，左、2:1(0)xyCab32右焦点分别是 F1， F2以 F1为圆心、以 3 为半径的圆与以 F2为圆心、以 1 为半径的圆相交，且交点在椭圆 C 上(1)求椭圆 C 的方程；(2)设椭圆 ， P 为椭圆 C 上任意一点，过点 P 的直线 y kx m 交椭圆2:14xyEabE
7、于 A， B 两点，射线 PO 交椭圆 E 于点 M()求 的值；OMP()求 ABM 面积的最大值QPCEA BD- 5 -高二年级第一次双周练理数答案1C 2D 3A 4C 5C 6 A 7A 8D 9C 10D 11A 12B 13 14 15 1617(1)2ab(2，6,4)(2,1,1)(0，5,5)，故 .(2) 若 b，则 b0.所以2(3t)(1t)(42t)0，解得 t .因此存在点 E，使得 b，E 点坐标为 .18解：（1） 圆 与 轴分别交于 ， 两点，圆心 在线段 的中垂线 上由 得圆心 ， 圆 的半径为 ，圆 的标准方程为 （2） 圆 的半径为 5， ，所以圆心
8、到直线 的距离 ，当直线 的斜率不存在时，圆心 到直线 的距离为 4，符合题意当直线 的斜率存在时，设 ，圆心 到直线 的距离 ，解得 ， 直线 的方程为 综上所述，直线 的方程为 或 19(1)AD 1 (2) = = = = . = , = , = .20 （1）以拱顶为坐标原点建立直角坐标系，水平向右为 x 轴正方向，竖直向上为 y 轴正方- 6 -向.设抛物线方程为 ,将点（-2，-2）代入 解得 = , ,代入 得 , 水面宽为 m.（2）抛物线方程为 ，焦点（ ）,即直线方程为 , 联立方程 ,得 ， 有 ,焦点在 y 轴负半轴，由焦点弦公式得 .21解：以 为坐标原点，分别以 为
9、 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直D1,DACxyz角坐标系，则.2 分0,1,0,0,2,0,ABPE（I） .EPC则 4 分1cos, 2A，即异面直线 与 所成的角为 6 分0,6AEPEPC06（II）假设线段 上存在一点 ，使 ，设BQADQ平 面.)0(Q设 ，则 ，即 ，,xyzP1,2,1xyz.8 分1,z.,0,0,DAQxyC， ， ，即 .PC平 面 2PDAyzyz12,3即线段 上存在一点 ，使得 ，且 .12 分BQ平 面 3BP z yx QP CEA BD- 7 -22解 (1)由题意知，2 a4，则 a2， 又 ， a2 c2 b2，可得 b1，所以椭圆
10、C 的方程为 y21.(2)由(1)知椭圆 E 的方程为 . ()设 P(x0， y0)， ，由题意知， M( x 0， y 0) 因为 y1， 又 ，即 ，所以 2，即 .()设 A(x1， y1)， B(x2， y2) 将 y kx m 代入椭圆 E 的方程，可得(14 k2)x28 kmx4 m2160，由 0，可得 m2416 k2， 因为 x1 x2 ， x1x2 .所以| x1 x2| . 因为直线 y kx m 与 y 轴交点的坐标为(0， m)，所以 OAB 的面积 S |m|x1 x2| .设 t，则 t0.将 y kx m 代入椭圆 C 的方程， 可得(14 k2)x28 kmx4 m240，由 0，可得 m214 k2. 由可知 0 t1，因此 S ，故 ，当且仅当 t1，即 m214 k2时取得最大值 .由()知， ABM 面积为 3S，- 8 -所以 ABM 面积的最大值为 .
