1、1第一章 1.2 第 1课时 距离问题A级 基础巩固一、选择题1已知 A、 B两地的距离为 10 km， B、 C两地的距离为 20 km，现测得 ABC120，则 A、 C两地的距离为( D )A10 km B km3C10 km D10 km5 7解析 在 ABC中， AB10， BC20， ABC120，则由余弦定理，得AC2 AB2 BC22 ABBCcos ABC10040021020cos12010040021020( )700，12 AC10 ，即 A、 C两地的距离为 10 km7 72如图，在河岸 AC测量河的宽度 BC，测量下列四组数据，较适宜的是( D )A ， c， B
2、 b， c， C c， ， D b， ， 解析 本题中 a、 c、 这三个量不易直接测量，故选 D3一船向正北航行，看见正西方向有相距 10 n mlie的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60方向上，另一灯塔在船的南偏西75方向上，则这艘船的速度是每小时( C )A5 n mlie B5 n mlie3C10 n mlie D10 n mlie3解析 如图，依题意有 BAC60， BAD75， CAD CDA15，从而 CD CA10，在 Rt ABC中，求得 AB5，2这艘船的速度是 10(n mlie/h)50.54某观察站 C与两灯塔 A、 B的距
3、离分别为 300 m和 500 m，测得灯塔 A在观察站 C北偏东 30，灯塔 B在观察站 C正西方向，则两灯塔 A、 B间的距离为( C )A500 m B600 mC700 m D800 m解析 根据题意画出图形如图在 ABC中， BC500， AC300， ACB120，由余弦定理得， AB2 AC2 BC22 ACBCcos120300 2500 22300500( )12490 000， AB700(m)5要直接测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取 A、 B两点，观察对岸的点 C，测得 CAB45， CB
4、A75，且 AB120 m 由此可得河宽为(精确到 1m)( C )A170 m B98 mC95 m D86 m解析 在 ABC中， AB120， CAB45， CBA75，则 ACB60，由正弦定理，得 BC 40 120sin45sin60 6设 ABC中， AB边上的高为 h，则 h即为河宽， h BCsin CBA40 sin7595(m)66甲船在湖中 B岛的正南 A处， AB3 km，甲船以 8 km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从 B岛出发，以 12 km/h的速度向北偏东 60方向驶去，则行驶 15 min时，两船的距离是( B )A km B km7 13C km D
5、km19 10 333解析 由题意知 AM8 2， BN12 3， MB AB AM321，所以由1560 1560余弦定理，得 MN2 MB2 BN22 MBBNcos12019213( )13，所以 MN12km13二、填空题7在相距 2km的 A， B两点处测量目标点 C，若 CAB75， CBA60，则 A， C两点之间的距离是_ _km6解析 如图所示，由题意易知 C45，由正弦定理得 ，从而 AC (km)ACsin60 2sin45 222 32 68一只蜘蛛沿东北方向爬行 x cm捕捉到一只小虫，然后向右转 105，爬行 10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转 135爬行回它
6、的出发点，则 x_ _cm1063解析 如图，由题意知， BAC75， ACB45. B60，由正弦定理，得 ，xsin ACB 10sinB4 x 10sin ACBsinB 10sin45sin60 1063三、解答题9如图，我炮兵阵地位于地面 A处，两观察所分别位于地面点 C和 D处，已知 CD6 000 m ACD45， ADC75，目标出现于地面 B处时测得 BCD30， BDC15.求炮兵阵地到目标的距离(结果保留根号)解析 在 ACD中， CAD60，AD CDCDsin45sin60 63在 BCD中， CBD135， BD CD，CDsin30sin135 22 ADB90在
7、 Rt ABD中， AB CDAD2 BD24261 000 (m)4210一艘船以 32.2 n mile/h的速度向正北航行在 A处看灯塔 S在船的北偏东 20的方向，30 min 后航行到 B处，在 B处看灯塔在船的北偏东 65的方向，已知距离此灯塔6.5 n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？解析 在 ASB中， SBA115， S45.由正弦定理，得 SB ABsin20sin457.787(n mile)设点 S到直线 AB的距离为 h，则 h SBsin657.06(n 16.1sin20sin45mile) h6.5 n mile，此船可以继续沿
8、正北方向航行B级 素养提升一、选择题1已知船 A在灯塔 C北偏东 85且到 C的距离为 2 km，船 B在灯塔 C西偏北 25且5到 C的距离为 km，则 A、 B两船的距离为( D )3A2 km B3 km3 2C km D km15 13解析 如图可知 ACB85(9025)150，AC2， BC ，3 AB2 AC2 BC22 ACBCcos15013， AB 132一船自西向东匀速航行，上午 10时到达一座灯塔 P的南偏西 75距塔 68 n mile的 M处，下午 2时到达这座灯塔的东南方向的 N处，则这只船的航行速度为( A )A n mile/h B34 n mile/h176
9、2 6C n mile/h D34 n mile/h1722 2解析 如图所示，在 PMN中， ，PMsin45 MNsin120 MN 34 ， v (n mile/h)683222 6 MN4 17623如图，货轮在海上以 40 km/h的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为 140的方向航行为了确定船的位置，船在 B点观测灯塔 A的方位角为110，航行 h到达 C点，观测灯塔 A的方位角是 65，则货轮到达 C点时，与灯塔 A的12距离是( B )A10 km B10 km26C15 km D15 km2解析 在 ABC中， BC40 20( km)， ABC140
10、11030，12 ACB(180140)65105，则 A180(30105)45由正弦定理，得AC 10 ( km)BCsin ABCsinA 20sin30sin45 2二、填空题4海上一观测站测得方位角 240的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时 90 n mile.此时海盗船距观测站 10 n 7mile，20 min 后测得海盗船距观测站 20 n mlie，再过_ _min，海盗船到达商船403解析 如下图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于 A、 B、 C处，20 min后，海盗船到达 D处，在 ADC中， AC10 ， AD20
11、， CD30，由余弦定理，得7cos ADC AD2 CD2 AC22ADCD 400 900 70022030 12 ADC60，在 ABD中，由已知得 ABD30， BAD603030， BD AD20， 60 (min)2090 4035如图，一艘船上午 800 在 A处测得灯塔 S在它的北偏东 30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午 830 到达 B处，此时又测得灯塔 S在它的北偏东 75处，且与它相距 4 n mile，则此船的航行速度是_16_n mile/h2解析 在 ABS中， A30， ABS105， ASB45， BS4 ， ，2BSsinA ABsin ASB7 AB
12、 8，BSsin ASBsinA422212上午 800 在 A地，830 在 B地，航行 0.5小时的路程为 8 n mile，此船的航速为 16 n mile/h三、解答题6如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的 A、 B、 C三点进行测量，已知 AB50 m， BC120 m，于 A处测得水深 AD80 m，于 B处测得水深 BE200 m，于C处测得水深 CF110 m，求 DEF的余弦值解析 由题意可得 DE250 2120 2130 2，DF2170 230 229 800，EF2120 290 2150 2，由余弦定理，得 cos DEF 1665C级 能力拔高1为了
13、测量两山顶 M、 N间的距离，飞机沿水平方向在 A、 B两点进行测量，A、 B、 M、 N在同一个铅垂平面内(如图)能够测量的数据有俯角和 A、 B间的距离请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；用文字和公式写出计算 M、 N间的距离的步骤解析 方案一：需要测量的数据有：点 A到点 M、 N的俯角 1、 1；点 B到点M、 N的俯角 2、 2； A、 B间的距离 d(如图)8第一步：计算 AM，由正弦定理，得 AM ；dsin 2sin 1 2第二步：计算 AN，由正弦定理，得 AN ；dsin 2sin 2 1第三步：计算 MN，由余弦定理，得MN AM2 AN
14、2 2AMANcos 1 1方案二：需要测量的数据有：点 A到点 M、 N的俯角 1、 1；点 B到点 M、 N的俯角 2、 2； A、 B间的距离 d(如图)第一步：计算 BM，由正弦定理，得 BM ；dsin 1sin 1 2第二步：计算 BN，由正弦定理，得 BN ；dsin 1sin 2 1第三步：计算 MN，由余弦定理，得MN BM2 BN2 2BMBNcos 2 22已知海岛 B在海岛 A的北偏东 45方向上， A、 B相距 10 n mile，小船甲从海岛B以 2 n mile/h的速度沿直线向海岛 A移动，同时小船乙从海岛 A出发沿北偏西 15方向也以 2 n mile/h的速
15、度移动(1)经过 1 h后，甲、乙两小船相距多少海里？(2)在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可能，请求出所需时间，若不可能，请说明理由解析 经过 1 h后，甲船到达 M点，乙船到达 N点，AM1028， AN2， MAN60，所以 MN2 AM2 AN22 AMANcos60644282 5212所以 MN2 13所以经过 1 h后，甲、乙两小船相距 2 海里139(2)设经过 t(0t5)h小船甲处于小船乙的正东方向，则甲船与 A距离为 AE(102 t)n mile，乙船与 A距离为 AF2 t n mile， EAF60 ， EFA75，则由正弦定理，得 ，即 ，AFsin45 AEsin75 2tsin4510 2tsin75则 t 510sin452sin75 2sin45 103 3 5 3 33答：经过 小时小船甲处于小船乙的正东方向5 3 33
