1、1第一章 1.2 第 2 课时 高度、角度问题A 级 基础巩固一、选择题1某工程中要将一长为 100 m 倾斜角为 75的斜坡，改造成倾斜角为 30的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长( A )A100 m B100 m2 3C50( ) m D200 m2 6解析 如图，由条件知，AD100sin75100sin(4530)100(sin45cos30cos45sin30)25( )，6 2CD100cos7525( )，6 2BD 25(3 )ADtan3025 6 233 2 6 BC BD CD25(3 )25( )100 (m)2 6 6 2 22要测量底部不能到达的电视塔 AB 的
2、高度，在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45，在 D点测得塔顶 A 的仰角是 30，并测得水平面上的 BCD120， CD40 m，则电视塔的高度为( D )A10 m B20 m2C20 m D40 m3解析 设 AB x m，则 BC x m， BD x m，在 BCD 中，由余弦定理，得3BD2 BC2 CD22 BCCDcos120，2 x220 x8000， x40(m)3若甲船在 B 岛的正南方 A 处， AB10 km，甲船以 4 km/h 的速度向正北航行，同时，乙船自 B 岛出发以 6 km/h 的速度向北偏东 60的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是( A
3、)A min B h1507 157C21.5 min D2.15 h解析 当时间 tCD2，32 6754故距离最近时， t2.5 h，即 t min15074(20182019 学年度湖南武冈二中高二月考)在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30，60，则塔高为( A )A m B m4003 40033C200 m D200 m3解析 如图，由题意可知， ABC30， AB200， AC200tan30 200333过点 D 作 DE AB， E 为垂足，在 DEB 中，DE ， DBE60，20033 BE ，DEtan602003塔高 CD AB BE m4
4、0035江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为 45和 30，而且两条船与炮台底部连线成 30角，则两条船相距( D )A10 m B100 m3 3C20 m D30 m30解析 设炮塔顶 A、底 D，两船 B、 C，则 ABD45， ACD30， BDC30，AD30， DB30， DC30 ， BC2 DB2 DC22 DBDCcos30900，3 BC306如图所示，在山底 A 处测得山顶 B 的仰角 CAB45，沿倾斜角为 30的山坡向山顶走 1 000 m 到达 S 点，又测得山顶仰角 DSB75，则山高 BC 为( D )A500 m B200 m2C
5、1 000 m D1 000 m2解析 SAB453015， SBA ABC SBC45(9075)30，4在 ABS 中， AB ASsin135sin301 00022121 000 ，2 BC ABsin451 000 1 000(m)222二、填空题7一树干高 15 m，被台风吹断并歪倒，折断部分(长 5 m)与残存树干成 120角，树干折断处距离地面的高度是_ _m.(不求近似值)5217解析 如图，大树折断部分 BC5 m，殊存树干为 AB，折断部分与残存树干所成的角为 ABC120作 AD CB 交 CB 延长线于点 D，作 BE AC 于点 E， BE 的长为树干折断处距离地面
6、的高度树干高 15 m， AB BC15(m)， AB15 BC10(m) ABC120， ABD60 BAD90 ABD30 BD AB5(m)12 AD 5 (m)AB2 BD2 102 52 3 CD CB BD10(m) AC 5 (m)，CD2 AD2 102 53 2 7 S ABC ACBE BCAD，12 12 BE (m)BCADAC 55357 52178甲船在 A 处发现乙船在北偏东 60的 B 处，乙船正以 a n mile/h 的速度向北行驶已知甲船的速度是 a n mile/h，问甲船应沿着_北偏东 30_方向前进，才能最快3与乙船相遇？解析 如图，设经过 t h
7、两船在 C 点相遇，5则在 ABC 中，BC at， AC at， B18060120，3由 ，BCsin CAB ACsinB得 sin CAB BCsinBAC atsin1203at 120 CAB90， CAB30， DAC603030即甲船应沿北偏东 30的方向前进，才能最快与乙船相遇三、解答题9在海岸 A 处，发现北偏东 45方向，距 A 处( 1)n mile 的 B 处有一艘走私船，3在 A 处北偏西 75的方向，距离 A 处 2 n mile 的 C 处的缉私船奉命以 10 n mile/h 的3速度追截走私船此时，走私船正以 10 n mile/h 的速度从 B 处向北偏东
8、 30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解析 设缉私船用 t 小时在 D 处追上走私船在 ABC 中，由余弦定理，得BC2 AB2 AC22 ABACcos CAB( 1) 22 22( 1)2cos1203 36， BC 6在 BCD 中，由正弦定理，得sin ABC sin BAC ，ACBC 22 ABC45， BC 与正北方向垂直 CBD120.在 BCD 中，由正弦定理，得 ，CDsin CBD BDsin BCD ，sin BCD ，103tsin120 10tsin BCD 12 BCD30故缉私船沿北偏东 60的方向能最快追上走私船B 级 素养提升6一、选择题1渡轮
9、以 15 km/h 的速度沿与水流方向成 120角的方向行驶，水流速度为 4 km/h，则渡轮实际航行的速度为(精确到 0.1 km/h)( C )A14.5 km/h B15.6 km/hC13.5 km/h D11.3 km/h解析 由物理学知识，画出示意图，如图 AB15， AD4， BAD120.在 ABCD 中， D60，在 ADC 中，由余弦定理，得AC AD2 CD2 2ADCDcosD 13.5(km/h)16 225 415 181故选 C2某人在 C 点测得某塔在南偏西 80，塔顶仰角为 45，此人沿南偏东 40方向前进 10 m 到 D，测得塔顶 A 的仰角为 30，则塔
10、高为( C )A15 m B5 mC10 m D12 m解析 如图，设塔高为 h，在 Rt AOC 中， ACO45，则 OC OA h在 Rt AOD 中， ADO30，则 OD h3在 OCD 中， OCD120， CD10，由余弦定理得 OD2 OC2 CD22 OCCDcos OCD，即( h)2 h210 22 h10cos120，3 h25 h500，解得 h10 或 h5(舍)3如图所示，在地面上共线的三点 A， B， C 处测得一建筑物的仰角分别为 30，45，60，且 AB BC60 m，则建筑物的高度为( D )7A15 m B20 m6 6C25 m D30 m6 6解析
11、 设建筑物的高度为 h，由题图知， PA2 h， PB h， PC h，2233在 PBA 和 PBC 中，分别由余弦定理，得cos PBA ， 602 2h2 4h22602hcos PBC . 602 2h2 43h22602h PBA PBC180，cos PBAcos PBC0. 由，解得 h30 或 h30 (舍去)，6 6即建筑物的高度为 30 m6二、填空题4学校里有一棵树，甲同学在 A 地测得树尖的仰角为 45，乙同学在 B 地测得树尖的仰角为 30，量得 AB AC10 m 树根部为 C(A、 B、 C 在同一水平面上)，则 ACB_30_解析 如图， AC10， DAC45
12、， DC10， DBC30， BC10 ，3cos ACB ，102 103 2 102210103 32 ACB305如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点从 A 点测得 M点的仰角 MAN60， C 点的仰角 CAB45以及 MAC75；从 C 点测得8 MCA60.已知山高 BC100 m，则山高 MN_150_ m 解析 如图，在 Rt ABC 中， BC100， CAB45， AC100 2在 AMC 中， CAM75， ACM60， AMC45由正弦定理知 ， AM100 AMsin60 1002sin45 3在 Rt AMN 中， NAM60， MN
13、 AMsin60100 150(m)332三、解答题6如图，渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60方向的 B 处，且与岛屿 A 相距 12 n mile，渔船乙以 10 n mile/h 的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙，刚好用 2 h 追上(1)求渔船甲的速度；(2)求 sin 的值解析 (1)依题意可得，在 ABC 中， BAC18060120，AB12， AC10220， BCA 由余弦定理，得 BC2 AB2 AC22 ABACcos BAC12 220 221220cos1207849解得 BC28所以渔船甲的速度为 14 n m
14、ile/hBC2(2)在 ABC 中，因为 AB12， BAC120， BC28， BCA ，由正弦定理，得 ABsin BCsin120即 sin ABsin120BC 123228 3314C 级 能力拔高1据气象台预报，在 S 岛正东距 S 岛 300 km 的 A 处有一台风中心形成，并以每小时30 km 的速度向北偏西 30的方向移动，在距台风中心 270 km 以内的地区将受到台风的影响问： S 岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时 S 岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由解析 如图，设台风中心经过 t h 到达 B 点，由题意： SAB903060，在 SAB
15、 中， SA300， AB30 t， SAB60，由余弦定理，得SB2 SA2 AB22 SAABcos SAB300 2(30 t)2230030 tcos60若 S 岛受到台风影响，则应满足条件|SB|270 即 SB2270 2，化简整理得 t210 t190，解之得 5 t5 ，6 6所以从现在起，经过(5 )h S 岛开始受到影响，(5 )h 后影响结束，持续时间：6 6(5 )(5 )2 (h)6 6 6答： S 岛从现在起经过(5 )h 受到台风影响，且持续时间为 2 h6 62如图，某人在塔的正东方向上的 C 处在与塔垂直的水平面内沿南偏西 60的方向以每小时 6 km 的速度
16、步行了 1 min 以后，在点 D 处望见塔的底端 B 在东北方向上，已知沿途塔的仰角 AEB ， 的最大值为 6010(1)求该人沿南偏西 60的方向走到仰角 最大时，走了几分钟；(2)求塔的高 AB.(结果保留根号，不求近似值)解析 (1)依据题意知，在 DBC 中， BCD30， DBC18045135，CD6 000 100(m)，160 BDC453015，由正弦定理，得 ，CDsin DBC BCsin BDC BC CDsin BDCsin DBC 100sin15sin1351006 2422 50( 1)(m)，50 6 22 3在 Rt ABE 中，tan ，ABBE AB 为定长，当 BE 的长最小时， 取最大值 60，这时 BE CD，当 BE CD 时，在 Rt BEC 中，EC BCcos BCE50( 1) 25(3 )(m)，332 3设该人沿南偏西 60的方向走到仰角 最大时，走了 t min，则 t 60EC6 00060 (min)25 3 36 000 3 34(2)由(1)知当 取得最大值 60时， BE CD，在 Rt BEC 中， BE BCsin BCD，所以 AB BEtan60 BCsin BCDtan6050( 1) 25(3 )(m)，312 3 3即所求塔高为 25(3 )m311
