1、1第三章 3.4 第 1课时 基本不等式A级 基础巩固一、选择题1若 2x2 y1，则 x y的取值范围是( D )A0,2 B2,0C2，) D(，2解析 2 x0,2y0，2 x2 y2 2 (当且仅当 2x2 y时，等号成立)，2x2y 2x y ，2 x y ， x y22x y12 142(20182019 学年度山东昌乐一中高二月考)设 a， b满足 2a3 b6( a0， b0)，则 的最小值为( A )2a 3bA B256 83C D4113解析 2 a3 b6， 1，a3 b2 ( )( ) 2 2 ，2a 3b 2a 3b a3 b2 136 ba ab 136 baab
2、 136 256当且仅当 ，即 a b 时，等号成立ba ab 653(20182019 学年度江西戈阳一中高二月考)下列结论正确的是( D )A当 x0， x1 时，lg x 21lgxB当 x2 时， x 的最小值为 21xC当 xR 时， x212 xD当 x0 时， 的最小值为 2x1x解析 当 0 x1 时，lg x0，排除 A；当 x2 时， y x 单调递增，1xymin2 ，排除 B；当 x1 时， x212 x，排除 C，故选 D12 5224函数 f(x) 的最大值为( B )xx 1A B25 12C D122解析 令 t (t0)，则 x t2， f(x) xxx 1
3、tt2 1当 t0 时， f(x)0；当 t0时， f(x) 1t2 1t1t 1t t 2，00， y0， x、 a、 b、 y成等差数列， x、 c、 d、 y成等比数列，则的最小值是( D ) a b 2cdA0 B1C2 D4解析 由等差、等比数列的性质得 22 24.当且仅当 x y时取等号，所求最 a b 2cd x y 2xy xy yx yxxy小值为 46设函数 f(x)2 x 1( x0， a恒成立，则 a的取值范围是_ ，)_xx2 3x 1 15解析 令 f(x) (x0)xx2 3x 1 ，1x 1x 312x1x 3 15当且仅当 x ，即 x1 时等号成立，1x
4、a f(x)max 158已知正数 x、 y满足 x2 y2，则 的最小值为_9_x 8yxy解析 因为 x、 y为正数，且 x2 y2，所以 ( )( y)x 8yxy 1y 8x x2 52 5 9，当且仅当 x4 y 时，等号成立，所以 的最小值为x2y 8yx x2y8yx 43 x 8yxy9三、解答题9已知 x0， y0(1)若 2x5 y20，求 ulg xlg y的最大值；(2)若 lgxlg y2，求 5x2 y的最小值解析 (1) x0， y0，由基本不等式，得 2x5 y2 2 2x5y 10 xy又2 x5 y20，202 ，10 xy ， xy10，xy 10当且仅当
5、 2x5 y时，等号成立由Error! ，解得Error! 当 x5， y2 时， xy有最大值 10这样 ulg xlg ylg( xy)lg101当 x5， y2 时， umax1(2)由已知，得 xy100，5x2 y2 2 20 10xy 103 10当且仅当 5x2 y ，即当 x2 ，103 10y5 时，等号成立10所以 5x2 y的最小值为 20 10410已知直角三角形两条直角边的和等于 10 cm，求面积最大时斜边的长解析 设一条直角边长为 x cm，(02ab， a b2 ， aa2， bb2，ab a ba2 b2，故选 D解法二：取 a ， b ，则 a2 b2 ，2
6、 ，2 ab ， a b ，显然 最大12 13 1336 ab 63 13 56 562(20182019 学年度福建莆田一中高二月考)某工厂第一年产量为 A，第二年的增长率为 a, 第三年的增长率为 b，这两年的平均增长率为 x，则( B )A x B xa b2 a b2C x D xa b2 a b2解析 这两年的平均增长率为 x A(1 x)2 A(1 a)(1 b)，(1 x)2(1 a)(1 b)，由题设 a0， b01 x 1 a 1 b 1 a 1 b21 ， x ，a b2 a b2等号在 1 a1 b即 a b时成立选 B3已知向量 a( x1,2)， b(4， y)(x
7、、 y为正数)，若 a b，则 xy的最大值是( A )A B12 12C1 D15解析 由已知得 4(x1)2 y0，即 2x y2 xy x(22 x) ( )2 ，等号成立时 2x22 x，即2x 2 2x2 12 2x 2 2x2 12x ， y1， xy的最大值为 12 12二、填空题4已知函数 y x4 (x1)，当 x a时， y取得最小值 b，则 a b_3_9x 1解析 y x4 x1 5，9x 1 9x 1因为 x1，所以 x10， 0，9x 1所以由均值不等式得 y x1 59x 12 51， x 1 9x 1当且仅当 x1 ，即 x2 时，等号成立，所以 a2， b1，
8、 a b39x 15已知 x ，则函数 y4 x2 的最大值是_1_54 14x 5解析 x ，4 x50， y4 x254 14x 54 x5 3314x 5 5 4x 15 4x321，等号在 54 x ，即 x1 时成立15 4x三、解答题6已知： a0， b0， a b1，求( a )2( b )2的最小值1a 1b解析 ( a )2( b )21a 1b a2 b2 4( a2 b2)(1 )41a2 1b2 1a2b2(12 ab)(1 )4，1a2b2 a0， b0， a b1， ab( )2 ，a b2 14612 ab1 ，且 16,1 1712 12 1a2b2 1a2b2
9、原式 174 (当且仅当 a b 时，等号成立)，( a )2( b )2的最12 252 12 1a 1b小值是 252C级 能力拔高1求函数 y12 x 的值域3x解析 y12 x 1(2 x )3x 3x当 x0时，2 x 2 2 3x 2x3x 6当且仅当 2x ，即 x 时取等号3x 62 y1(2 x )12 3x 6当 x0时， y1(2 x)( )3x2 x( )2 2 3x 2x 3x 6当且仅当2 x 时，即 x 时取等号3x 62此时 y12 x 123x 6综上知 y(，12 12 ，)6 6函数 y12 x 的值域为(，12 12 ，)3x 6 62某商场预计全年分批
10、购入每台 2 000元的电视机共 3 600台每批都购入 x台( x是自然数)且每批均需付运费 400元贮存购入的电视机全年所需付的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比若每批购入 400台，则全年需用去运输和保管总费用 43 600元现在全年只有 24 000元资金可以支付这笔费用，请问，能否恰当安排每批进货数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由解析 设总费用为 y元( y0)，且将题中正比例函数的比例系数设为 k，则 y400 k(2 000x)，依条件，当 x400 时， y43 600，可得 k5%，3 600x故有 y 100 x1 440 000x72 24 000(元)1 440 000x 100x当且仅当 100 x，即 x120 时取等号1 440 000x所以只需每批购入 120台，可使资金够用
