1、1第三章 3.4 第 2 课时 基本不等式的应用证明与最值问题A 级 基础巩固一、选择题1已知直线 l1： a2x y20 与直线 l2： bx( a21) y10 互相垂直，则| ab|的最小值为( C )A5 B4C2 D1解析 由条件知，直线 l1与 l2的斜率存在，且 l1 l2， k1 a2， k2 ，ba2 1 k1k2 1， a2ba2 1 b 0，| ab| | a| 2，等号成立时a2 1a2 a2 1a 1|a|a| ， a1， b2，1|a| ab|的最小值为 22已知 a0， b0，且 2 是 2a 与 b 的等差中项，则 的最小值为( B )1abA B14 12C2
2、 D4解析 2 是 2a 与 b 的等差中项，2 a b4又 a0， b0，2 ab( )2( )24，当且仅当 2a b2，即 a1， b2 时取等号2a b2 42 .故选 B1ab 123某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比如果在距离车站 10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为 2 万元和 8 万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( A )A5 km 处 B4 km 处C3 km 处 D2 km 处解析 设仓库建在离车站 x km 处，则土地费用 y1 (k10)，运输费用k1x2y2 k2x(k20)，把
3、 x10， y12 代入得 k120，把 x10， y28 代入得 k2 ，故总费45用 y x2 8，当且仅当 x，即 x5 时等号成立20x 45 20x45x 20x 454设 x3 y20，则 3x27 y1 的最小值为( A )A7 B3 39C12 D52解析 由已知得 x3 y2,3 x0,27y0，3 x27 y12 1617，3x 3y当且仅当 3x27 y，即 x1， y 时等号成立故选 A13二、填空题5若 xq0，则提价多的方案是_乙_p q2解析 设原价为 1，则提价后的价格，方案甲：(1 p%)(1 q%)，乙：(1 %)p q22，因为 1 %，因为 pq0，所以
4、 1 p% 1 q%1 p% 1 q%2 p q2a3b2 a2b3， a2 b22( a b1)， 2.上述三个式子恒成立的有( B )ab baA0 个 B1 个C2 个 D3 个解析 a5 b5( a3b2 a2b3) a3(a2 b2) b3(b2 a2)( a2 b2)(a3 b3)( a b)2(a b)(a2 ab b2)0 不恒成立；( a2 b2)2( a b1) a22 a b22 b2( a1)2( b1) 20 恒成立； 2 或 0， y0，4 x9 y2 12 4x9y xy6 S160，即( )26 1600S S S0 10，0 S100.故 S 的取值范围是(0
5、,100S(2)当 S100 m 2时，4 x9 y，且 xy100解之得 x15(m)， y (m)203答：仓库面积 S 的取值范围是(0,100，当 S 取到最大允许值 100 m2时，正面铁栅长15 m6已知 a、 b、 c(0，)，且 a b c1.求证：( a )( b )( c )101a 1b 1c解析 ( a )( b )( c )1a 1b 1c( a )( b )( c )a b ca a b cb a b cc4( )( )( )ba ab ca ac cb bc422210，当且仅当 a b c 时取等号13( a )( b )( c )101a 1b 1cC 级 能
6、力拔高1(20182019 学年度山东莒县二中高二月考)某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本 40 万元，每生产 1 万件还需另投入 16 万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲 x 万件并全部销售完，每一万件的销售收入为 R(x)万元，且 R(x) (10 x100)，该公司在电饭煲的生产中所获年利润为 W(万元)，(注：4 400x 40 000x2利润销售收入成本)(1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(万件)的函数解析式，并求年利润的最大值；(2)为了让年利润 W 不低于 2 360 万元，求年产量 x 的取值范围解析 (1) W xR(x)(16 x40) 16 x4 360
7、40 000x( 16 x)4 360(10 x100)，40 000x6 16 x2 1 60040 000x 40 000x 16x当且仅当 x50 时， “”成立， W1 6004 3602 760，即年利润的最大值为 2 760 万元(2)W 16 x4 3602 360，40 000x整理得 x2125 x2 5000解得：25 x100.又 10 x100.25 x100故为了让年利润 W 不低于 2 360 万元，年产量 x 的范围是25,100)2某单位在国家科研部门的支持下，能够把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月的二氧化碳处理量最少为 400 t，最多为 6
8、00 t，月处理成本 y(元)与月处理量 x(t)之间的函数关系可近似地表示为 y x2200 x80 000，且每处理一吨二氧化碳12得到可利用的化工产品价值为 100 元(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？解析 (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为 x 2002yx 12 80 000x200200，当且仅当 x ，即 x400 时等号成立，12x80 000x 12 80 000x故该单位月处理为 400 t 时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为每吨 200元(2)不获利设该单位每月获利为 S 元，则 S100 x y100 x( x2200 x80 000)12 x2300 x80 00012 (x300) 235 000，12因为 x400,600，所以 S80 000，40 000故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴 40 000 元才能不亏损7
