1、1第二章 2.1 第 2课时 数列的递推公式A级 基础巩固一、选择题1已知数列 an中， an1 an2 an， a12， a25，则 a6( A )A3 B4C5 D2解析 由 an1 an2 an得 a33，a42， a55， a63.2正项数列 an中， an1 ， a12，则 a4( B )an1 3anA B165 219C D85 87解析 由递推关系可得 a2 ， a3 ， a4 .27 213 2193数列 an中， a11，以后各项由公式 a1a2a3an n2给出，则 a3 a5等于( C )A B259 2516C D6116 3115解析 a1a2a3an n2， a1
2、a2a39， a1a24， a3 .94同理 a5 ， a3 a5 .2516 94 2516 61164已知数列 an满足 a12， an1 an10( nN )，则此数列的通项 an等于( D )A n21 B n1C1 n D3 n解析 an1 an1. a2 a11， a3 a21， an an1 1， an a1( a2 a1)( a3 a2)( an an1 )2(1)(1)(1)2(1)( n1)3 n.25已知数列 an满足 a1 x， a2 y，且 an1 an an1 (n2)，则 a2 007( C )A x B yC y x D x解析 根据递推关系可得 x， y， y
3、 x， x， y， x y，这 6个数值重复出现 a2 007 a33463 a3.6观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样 10条直线相交，交点的个数最多的是( B )A40 个 B45 个C50 个 D55 个解析 交点个数依次组成数列为 1,3,6，即 ， ， ，由此猜想 an212 232 342，n n 12 a10 45.1092二、填空题7已知数列 an满足 a11， an nan1 (n2)，则 a5_120_.解析 因为 an nan1 ，且 n2，所以当 n2 时， a22 a12；当 n3 时， a33 a26；当 n4 时， a44 a324；当 n5 时， a55 a
4、4120.故 a5120.8已知数列 an的通项公式 an3 n1( nN *)，通过公式 bn 构造一个新数列an 1anbn，那么 bn的前五项为_ ， ， ， ， _.52851181411 1714解析 an3 n1( nN *)， an1 3( n1)13 n2， bn .an 1an 3n 23n 1 b1 ， b2 ， b3 ， b4 ， b5 .52 85 118 1411 1714三、解答题39一老汉为感激梁山好汉除暴安良，带了些千里马要送给梁山好汉，见过宋江后，宋江把老汉带来的马匹的一半和另外一匹马作为回礼送给了他，老汉又去见卢俊义，把现有剩马的一半送给卢俊义，卢俊义也把老
5、汉送的马匹的一半和另一匹马作为回礼送给老汉一直送到 108名好汉的最后一名是这样的，老汉下山回家时还剩两匹马，你知道老汉上山时一共带了多少匹千里马吗？解析 设老汉上山一共带了 a1匹千里马，送给宋江后还剩 a2匹，则 a2 a11，再12送给卢俊义后还剩下 a3匹，则 a3 a21.依次地进行下去，送给第 k个人后还剩下12ak1 ak1，按照题目要求应有12a109 a10812. a1092， a1082.12依次代入递推关系可得 a1 a2 a32.即老汉最初上山带了两匹千里马B级 素养提升一、选择题1数列 an满足 a11， an1 2 an1( nN *)，则 a1 000( A )
6、A1 B1 999C1 000 D1解析 a11， a22111， a32111， a42111，可知an1( nN *)2已知数列 an满足 a10， an1 (nN )，则 a20( B )an 33an 1A0 B 3C D332解析 a10， a2 ， a3 ， a4 0，.a1 33a1 1 3 a2 33a2 1 3 a3 33a3 1至此可知：数列 an的各项的值依次为 0， ， ，0， ， ，0，周而复3 3 3 3始20362， a20 a2 .3二、填空题3已知数列 an满足 a12， an1 2 ， 则 a6_ _.2an1 an 143解析 an1 2 ， a12，2a
7、n1 an 21 an4 a2 ， a3 6， a4 ，21 a1 23 21 a2 25a5 ， a6 .107 1434设 f(n) (nN *)，那么 f(n1) f(n)_ _.1n 1 1n 2 12n 12n 1 12n 2解析 f(n1) ，1n 2 1n 3 1n 4 12n 12n 1 12n 2 f(n1) f(n) .12n 1 12n 2 1n 1 12n 1 12n 2三、解答题5(1)已知数列 an的第 1项是 1，第 2项是 2，以后各项由 an an1 an2 (n3)给出，写出这个数列的前 5项；(2)用上面的数列 an，通过公式 bn 构造一个新的数列 bn
8、，写出数列 bn的anan 1前 5项解析 (1) a11， a22， an an1 an2 (n3)， a3 a1 a23， a4 a2 a35， a5 a3 a48.(2) a6 a4 a513， bn ， b1 ， b2 ， b3 ， b4 ， b5anan 1 a1a2 12 a2a3 23 a3a4 35 a4a5 58 a5a6 .8136已知数列 an中， a13， an1 ，求数列 an的前 5项，并猜想 an.3anan 3解析 a13， an1 ，3anan 3 a2 ， a3 1 ，3a1a1 3 333 3 32 3a2a2 333232 3 33a4 ， a5 ，3a
9、3a3 3 31 3 34 3a4a4 333434 3 35猜想： an .3nC级 能力拔高1一辆邮车每天从 A地往 B地运送邮件，沿途(包括 A、 B)共有 8站，从 A地出发时，5装上发往后面 7站的邮件各一个，到达后面各站后缷下前面各站发往该站的一个邮件，同时装上该站发往下面各站的邮件各一个，试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列，画出该数列的图象，并判断该数列的增减性解析 将 A、 B之间所有站按序 1,2,3,4,5,6,7,8编号，通过计算，上面各站剩余邮件数依次排成数列：7,12,15,16,15,12,7,0.填写下表：站号 1 2 3 4 5 6 7 8剩余邮件
10、数 7 12 15 16 15 12 7 0该数列的图象如图所示它在1,2,3,4上是递增的，在4,5,6,7,8上是递减的2设 an是首项为 1的正项数列，且( n2) a na 2 an1 an0( nN *)，求通项2n 1 2n公式 an.解析 把( n2) a na 2 an1 an0 分解因式，2n 1 2n得( n2) an1 nan(an1 an)0. an0， an an1 0，( n2) an1 nan0， ，an 1an nn 2 an a1 1 a2a1 a3a2 a4a3 a5a4 anan 1 13 24 35 46 n 2n n 1n 1(n2)2n n 1又 a11 满足上式， an .2n n 16
