1、1第二章 2.4 第 1 课时 等比数列的概念与通项公式A 级 基础巩固一、选择题1已知 an是等比数列， a32， a6 ，则公比 q( D )14A B212C2 D12解析 由条件得Error!， a10， q0， q3 ， q .故选 D18 122(20182019 学年度湖南武冈二中高二月考)在等比数列 an中， a1 ， q2，则18a4与 a8的等比中项是( B )A4 B4C D14 14解析 由题意，得 a4 a1q3 231，18a8 a1q7 2716，18 a4与 a8的等比中项为 a64.3互不相等的实数 a， b， c 成等差数列， c， a， b 成等比数列，且
2、 a3 b c10，则a( D )A4 B2C2 D4解析 由题意知Error!，消去 a 得 4b25 bc c20， b c， c4 b， a2 b，代入 a3 b c10 中解得 b2， a4.4等比数列 an的首项 a11，公比 q1，如果 a1， a2， a3依次是等差数列的第1、2、5 项，则 q 为( B )A2 B3C3 D3 或3解析 设等差数列为 bn，则 b1 a11， b21 d， b514 d，由题设(1 d)221(14 d)， d2 或 d0(与 q1 矛盾舍去)， b23，公比 q 3.a2a1 b2b15(20182019 学年度山东菏泽一中高二月考)已知等比
3、数列 an的公比为 q，若a2， a5的等差中项为 4， a5， a8的等差中项为 8 ，则 log q 的值为( A )212A B12 12C2 D2解析 由已知得Error!，Error! ，解得 q ，log qlog log 21 2 .212 122 12 126一个各项均为正数的等比数列，其任何项都是后面两项的和，则其公比是( D )A B52 1 52C D255 5 12解析 由已知得 an an1 an2 ，即 a1qn1 a1qn a1qn1 ， q2 q1，解得 q . 152又 q0， q .5 12二、填空题7已知等比数列 an中， a33， a10384，则该数列
4、的通项 an_32 n3 _.解析 Error!，Error!， q7128， q2， a1 ， an a1qn1 32 n3 .348已知等比数列前 3 项为 ， ，则其第 8 项是_ _.12 1418 1256解析 a1 ， a2 a1q q ，12 12 14 q ， a8 a1q7 ( )7 .12 12 12 1256三、解答题9在各项均为负数的数列 an中，已知 2an3 an1 ，且 a2a5 ，证明 an是等比827数列，并求出通项公式3证明 2 an3 an1 ， ，故数列 an是公比 q 的等比数列an 1an 23 23又 a2a5 ，则 a1qa1q4 ，827 82
5、7即 a ( )5( )3.2123 23由于数列各项均为负数，则 a1 .32 an ( )n1 ( )n2 .32 23 2310(20182019 学年度山东菏泽一中高二月考)已知数列 an为等比数列，an0， a12,2 a2 a330.(1)求 an；(2)若数列 bn满足 bn1 bn an， b1 a2，求 b5.解析 (1)设公比为 q，由题意得 2a1q a1q230，4 q2 q230， q22 q150， q3 或5. an0， q3. an a1qn1 23 n1 .(2) b1 a2， b16.又 bn1 bn an， bn1 bn23 n1 . b2 b123 06
6、28，b3 b223 18614，b4 b323 2141832，b5 b423 3325486.B 级 素养提升一、选择题1已知 an是公比为 q(q1)的等比数列， an0， m a5 a6， k a4 a7，则 m 与 k 的大小关系是( C )A mk B m kC m0， q1)2数列 an是公差不为 0 的等差数列，且 a1、 a3、 a7为等比数列 bn的连续三项，则数列 bn的公比为( C )A B42C2 D12解析 a1、 a3、 a7为等比数列 bn中的连续三项， a a1a7，设 an的公差为 d，则 d0，23( a12 d)2 a1(a16 d)， a12 d，公比
7、 q 2，故选 Ca3a1 4d2d3已知 a1， a2， a3， a8为各项都大于零的等比数列，公比 q1，则( A )A a1 a8a4 a5B a1 a80 且 q1， a10，( a1 a8)( a4 a5)0， a1 a8a4 a5.4若正数 a， b， c 依次成公比大于 1 的等比数列，则当 x1 时，logax，log bx，log cx( C )A依次成等差数列 B依次成等比数列C各项的倒数依次成等差数列 D各项的倒数依次成等比数列解析 log xalog xclog x(ac)log xb21logax 1logcx2log xb2logbx ， ， 成等差数列1logax
8、 1logbx 1logcx二、填空题5在 6 和 768 之间插入 6 个数，使它们组成共 8 项的等比数列，则这个等比数列的第6 项是_192_.5解析 由条件得，7686 q7，解得 q2. a662 5192.6某林场的树木每年以 25%的增长率增长，则经 10 年末的树木总量是今年的_1.259_倍解析 设这个林场今年的树木总量是 m，第 n 年末的树木总量为 an，则an1 an an25%1.25 an.则 1.25，则数列 an是公比 q1.25 的等比数列an 1an则 a10 a1q91.25 9m.所以 1.25 9.a10a1三、解答题7等比数列 an中，已知 a12，
9、 a416.(1)求数列 an的通项公式；(2)若 a3、 a5分别为等差数列 bn的第 3 项和第 5 项，试求数列 bn的通项公式及前 n项和 Sn.解析 (1)设 an的公比为 q，由已知得 162 q3，解得 q2， an a1qn1 2 n.(2)由(1)得 a38， a532，则 b38， b532，设 bn的公差为 d，则有Error!，解得 Error!.从而 bn1612( n1)12 n28，数列 bn的前 n 项和 Snn 16 12n 2826 n222 n.C 级 能力拔高1(2018全国卷文，17)已知数列 an满足 a11， nan1 2 an，设 bn .(n
10、1)ann(1)求 b1， b2， b3；(2)判断数列 bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求 an的通项公式解析 (1)由条件可得 an1 an.2 n 1n将 n1 代入得， a24 a1，而 a11，所以， a24.将 n2 代入得， a33 a2，所以， a312.6从而 b11， b22， b34.(2)数列 bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列理由如下：由条件可得 ，即 bn1 2 bn，又 b11，an 1n 1 2ann所以数列 bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列(3)由(2)可得 2 n1 ，所以 an n2n1 .ann2设数列 an的前 n 项和为 Sn，已
11、知 a11， Sn1 4 an2.(1)设 bn an1 2 an，证明：数列 bn是等比数列；(2)求数列 an的通项公式解析 (1)证明：由已知，有 a1 a24 a12， a23 a125，故 b1 a22 a13.又 an2 Sn2 Sn1 4 an1 2(4 an2)4 an1 4 an，于是 an2 2 an1 2( an1 2 an)，即 bn1 2 bn.因此数列 bn是首项为 3，公比为 2 的等比数列(2)由(1)知等比数列 bn中， b13，公比 q2，所以 an1 2 an32 n1 .于是 ，an 12n 1 an2n 34因此数列 是首项为 ，公差为 的等差数列， ( n1) n .an2n 12 34 an2n 12 34 34 14所以 an(3 n1)2 n2 .7
