1、- 1 -2018-2019 学年度红旗中学第一学期期末考试试题高一数学(理)一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集 ，集合 ， ，则 =（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为设全集 ，集合 ， ，则 = 选B2.下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递减的是 A. B. C. D. 【答案】C【解析】A 中为奇函数，B 中 ye x为非奇非偶函数，函数 y x21 是偶函数，且在(0，)上递减3.如图， 是水平放置的 的直观图，则 的周长为 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】是
2、水平放置的 的直观图， 如图所示：- 2 -所以周长为： ，故选 A.4.若用 m，n 表示两条不同的直线，用 表示一个平面，则下列命题正确的是 A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则【答案】D【解析】【分析】根据直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系可判断。【详解】对于 A，m 有可能在平面 内，所以 A 错误对于 B，m 与 n 有可能异面，所以 B 错误对于 C，m 与 n 有可能异面，所以 C 错误对于 D，根据直线与平面垂直的性质可知 D 是正确的所以选 D【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系判断，属于基础题。5.函数 的零点所在的区间是
3、A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由函数可得 f（2） f（3）0，再利用函数的零点的判定定理可得函数 f（ x）2 x+x7 的零点所在的区间【详解】函数 f（ x）2 x+x7， f（2）10， f（3）40， f（2） f（3）- 3 -0，根据函数的零点的判定定理可得，函数 f（ x）2 x+x7 的零点所在的区间是 （2，3） ，故选： C【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题6.三个数 之间的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】, ，故选 B.7.下列四个命题中，正确的是（ ）两个平面同时垂直第三个平面，则这两个平面可能互相
4、垂直方程 表示经过第一、二、三象限的直线若一个平面中有 4 个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行方程 可以表示经过两点 的任意直线A. B. C. D. 【答案】C【解析】对于，如果两个平面垂直于同一个平面，那么这两个平面可能互相垂直，比如正方体的两个相邻侧面与底面，故正确；对于,当 时，直线 ，即 ，故直线的斜率 ，且直线在 轴上的截距- 故直线经过第一、二、三象限，故正确；对于，在正方体 中， 这四个点不共线，且它们到平面 的距离都相等，但平面 与平面 并不平行，故错误对于为两点式的变形，包括点 ，故正确故正确，选 C8.某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体
5、的体积（单位： ）是- 4 -A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三视图可知几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体， = ,故选 A.9.在正方体 中，下列几种说法不正确的是 A. B. B1C 与 BD 所成的角为 60C. 二面角 的平面角为 D. 与平面 ABCD 所成的角为【答案】D【解析】【分析】在正方体中，利用线面关系逐一判断即可.【详解】解：对于 A，连接 AC，则 AC BD， A1C1 AC， A1C1 BD，故 A 正确；对于 B，B 1C D，即 B1C 与 BD 所成的角为 DB，连接 DB 为等边三角形， B1C 与 BD 所成的角为 60，故 B 正确；对于
6、C， BC平面 A1ABB1， A1B平面 A1ABB1， BC A1B， AB BC，平面 A1BC平面 BCD BC， A1B平面 A1BC， AB平面 BCD， ABA1是二面角 A1 BC D 的平面角， A1AB 是等腰直角三角形， ABA145，故 C 正确；对于 D， C1C平面 ABCD， AC1平面 ABCD A， C1AC 是 AC1与平面 ABCD 所成的角， AC C1C， C1AC45，故 D 错误故选： D- 5 -【点睛】本题考查了线面的空间位置关系及空间角，做出图形分析是关键,考查推理能力与空间想象能力10.已知直线 与直线 平行，则 的值为（ ）A. 0 或
7、3 或 B. 0 或 3 C. 3 或 D. 0 或【答案】D【解析】直线 与直线 平行 ，即 ， ，或经验证当 时，两直线重合.故选 D11.直线 与 、 为端点的线段有公共点，则 k 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出直线 y k（ x1）过定点 C（1，0） ，再求它与两点 A（3，2） ， B（0，1）的斜率，即可取得 k 的取值范围【详解】解： y k（ x1）过 C（1，0） ，而 kAC 1， kBC 1，故 k 的范围是（，11，+） ，故选： B【点睛】本题考查倾斜角与斜率的关系，正确分析图象是解题的关键.- 6 -12.在等腰直角三角形 A
8、BC 中， ，点 P 是边 AB 边上异于 AB 的一点，光线从点 P出发，经 BC，CA 反射后又回到点 如图 ，若光线 QR 经过 的重心，则 AP 等于 A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D【解析】【分析】建立坐标系，设点 P 的坐标，可得 P 关于直线 BC 的对称点 P1的坐标，和 P 关于 y 轴的对称点 P2的坐标，由 P1， Q， R， P2四点共线可得直线的方程，由于过 ABC 的重心，代入可得关于 a 的方程，解之可得 P 的坐标，进而可得 AP 的值【详解】解：建立如图所示的坐标系：可得 B（4，0） ， C（0，4） ，故直线 BC 的方程为 x+y4， ABC
9、的重心为（ ， ） ，设 P（ a，0） ，其中 0 a4，则点 P 关于直线 BC 的对称点 P1（ x， y） ，满足 ，解得 ，即 P1（4，4 a） ，易得 P 关于 y 轴的对称点 P2（ a，0） ，由光的反射原理可知 P1， Q， R， P2四点共线，直线 QR 的斜率为 k ，故直线 QR 的方程为 y （ x+a） ，由于直线 QR 过 ABC 的重心（ ， ） ，代入化简可得 3a24 a0，解得 a ，或 a0（舍去） ，故 P（ ，0） ，故 AP故选： D- 7 -【点睛】本题考查直线中的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题二、填空题（本大题共
10、 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13. =_【答案】【解析】试题分析： 考点：对数的运算14.已知 ， ，以 为直径的圆的标准方程为_【答案】14.【解析】从题设可得圆心为 ，则所求圆的标准方程为 ，应填答案 。15.若关于 的方程 有两个不相等的实数解，则实数 的取值范围是_【答案】 或【解析】【分析】方程 有两个不相等的实数解即直线 与 的图象有两个不同的交点，数形结合即可得到结果.【详解】关于 的方程 有两个不相等的实数解即直线 与 的图象有两个不同的交点，作图如下：- 8 -由图易知：实数 的取值范围是 或故答案为： 或【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(
11、1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解16.已知直线 与函数 的图像交于点 ，则 _【答案】1【解析】【分析】由题意易知：直线 与函数 的图像都关于点 对称，利用对称性易得结果.【详解】由 可得 ，易得：直线 过定点 ，函数 的图像也关于点 对称，二者的两个交点 关于点 对称，故答案为：1- 9 -【点睛】本题考查了函数的对称性的应用，考查了一次分式函数的图象与性质，考查数形结合思想，属于中档题.三、解答
12、题（本大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.设全集 ，集合 ， 求 ；若集合 ，满足 ，求实数 a 的取值范围【答案】 （1） 或 ；（2）【解析】【分析】（1）求出 A 与 B 中不等式的解确定出 A 与 B，进而求出 A 与 B 的交集，找出交集的补集即可；（2）表示出 C 中不等式的解集，根据 B 与 C 的交集为空集，确定出 a 的范围即可【详解】解： 由 A 中不等式变形得： ，即 ，；由 B 中不等式变形得： ，得到 ，全集 ， 或 ；由 C 中不等式解得： ，即 ， ，则 a 的范围为 【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各
13、自的定义是解本题的关键18.已知两直线 ： ， ： - 10 -求直线 与 的交点 P 的坐标；设 ，若直线 l 过点 P，且点 A 到直线 l 的距离等于 1，求直线 l 的方程【答案】 （1） （2）直线 l 的方程为 ，或 【解析】【分析】（1）联立方程组，能求出 l1， l2的交点;若所求直线斜率存在，设所求的直线方程为 y1 k（ x+2） ，由所求的直线与点A（1，2）的距离为 1，利用点到直线距离公式求出 ，从而求出直线 l 的方程；若所求直线斜率不存在时，即 l 为 x+20，满足题意由此能求出直线 l 的方程【详解】解： 由， 的交点为 当所求直线斜率存在时，设所求直线方程为
14、 ，即所求的直线与点 的距离为 1，得即所求的直线 l 的方程为当所求直线斜率不存在时，l 为 ，点 到直线 的距离为 1，直线 也满足题意综上，故所求的直线 l 的方程为 ，或 【点睛】本题考查两直线交点坐标的求法，考查直线方程的求法，涉及到直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题19.已知函数 ，且 时，总有 成立.- 11 -（1）求 的值；（2）用定义证明函数 的单调性；【答案】 （1） （2）见解析【解析】试题分析：（1）函数 的定义域为 ，且 是奇函数，故 ， 解得 的值，再检验即可；（2）任取 ，作差判断 与 的大小，根据函数单调性的定义，可得函数 单调
15、性. 试题解析：（1）解法一：即：即：解法二：是奇函数，此时 检验： 符合题意（2）任取 ，设 - 12 -所以函数 在 上的减函数.20.某民营企业生产 A，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润 y 与投资 x 成正比，其关系如图甲，B 产品的利润 y 与投资 x 的算术平方根成正比，其关系如图乙 注：利润与投资单位为万元 分别将 A，B 两种产品的利润 y 表示为投资 x 的函数关系式；该企业已筹集到 10 万元资金，并全部投入 A，B 两种产品的生产 问：怎样分配这 10 万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少万元？【答案】 （1） ， ，（2）当 A 产品投入 万
16、元，B 产品投入 万元时，企业获得最大利润约为 万元。【解析】【分析】（1）根据题意可设 代值即可求出相对应的参数，即可得到函数的解析式;（2）设设 A 产品投入 x 万元，则 B 产品投入 万元，企业获利利用换元法结合二次函数的性质即可求出.- 13 -【详解】解： 投资为 x 万元，A 产品的利润为 万元，B 产品的利润为 万元，由题设 ，由图知 ， ，又 ， ，从而 ， ，设 A 产品投入 x 万元，则 B 产品投入 万元，设企业的利润为 y 万元，令 ，当 ，此时 ，当 A 产品投入 万元，B 产品投入 万元时，企业获得最大利润约为 万元。【点睛】解决函数模型应用的解答题，还有以下几点
17、容易造成失分：读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型对涉及的相关公式，记忆错误在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况.21.如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，已知 AC BC， BC CC1，设 AB1的中点为D， B1C BC1 E.求证：(1) DE平面 AA1C1C；(2)BC1 AB1.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】- 14 -试题分析:(1) 由题意知， E 为 B1C 的中点，又 D 为 AB1的中点，因此 DE AC,根据线面平行
18、的判定定理得证;(2)由 CC1平面 ABC,可得 AC CC1，又因为 AC BC，由线面垂直的判定定理可得 AC平面 BCC1B1，进而可得 B1CAC,又 BC1 B1C,证得 BC1平面 B1AC,故命题成立.试题解析:(1)由题意知， E 为 B1C 的中点，又 D 为 AB1的中点，因此 DE AC.又因为 DE平面 AA1C1C， AC平面 AA1C1C，所以 DE平面 AA1C1C.(2)因为棱柱 ABC A1B1C1是直三棱柱，所以 CC1平面 ABC.因为 AC平面 ABC，所以 AC CC1.又因为 AC BC， CC1平面 BCC1B1，BC平面 BCC1B1， BC
19、CC1 C，所以 AC平面 BCC1B1，又因为 BC1平面 BCC1B1，所以 B1C AC.因为 BC CC1，所以矩形 BCC1B1是正方形，因此 BC1 B1C.因为 AC， B1C平面 B1AC， AC B1C C，所以 BC1平面 B1AC.又因为 AB1平面 B1AC，所以 BC1 AB1.点睛:本题考查线面平行的判定定理和线面垂直的性质定理,属于中档题目.垂直、平行关系在证明题中经常应用转化与化归思想的常见类型有:(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.- 15 -22.如图，在三棱锥
20、中，已知 是正三角形， 平面 BCD， ，E 为BC 的中点，F 在棱 AC 上，且 求三棱锥 的表面积；求证 平面 DEF；若 M 为 BD 的中点，问 AC 上是否存在一点 N，使 平面 DEF？若存在，说明点 N 的位置；若不存在，试说明理由【答案】 （1） （2）先证 EF AC， 再证 DEAC ， 即可证 AC平面 DEF（3）存在这样的点 N，当 CN 时， MN平面 DEF【解析】试题分析：解：（1） AB平面 BCD， AB BC， AB BD BCD 是正三角形，且 AB BC a， AD AC 设 G 为 CD 的中点，则 CG ， AG ， ， - 16 -三棱锥 D
21、ABC 的表面积为 （2）取 AC 的中点 H， AB BC， BH AC AF3 FC， F 为 CH 的中点 E 为 BC 的中点， EF BH则 EF AC BCD 是正三角形， DE BC AB平面 BCD， AB DE AB BC B， DE平面 ABC DE AC DE EF E， AC平面 DEF（3）存在这样的点 N，当 CN 时， MN平面 DEF连 CM，设 CM DE O，连 OF由条件知， O 为 BCD 的重心， CO CM当 CF CN 时， MN OF CN考点：空间点线面的位置关系点评：解决该试题的关键是线面平行和线面垂直的运用，以及椎体体积的求解运用，属于中档题。- 17 - 18 -
