1、1解答必刷卷(二) 三角函数、解三角形考查范围:第 16 讲 第 23 讲题组一 真题集训1.2014全国卷 四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补, AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求 C 和 BD;(2)求四边形 ABCD 的面积 .2.2018天津卷 在 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 bsinA=acos B- . 6(1)求角 B 的大小;(2)设 a=2,c=3,求 b 和 sin(2A-B)的值 .23.2016四川卷 在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 + = .cosAa cosBb sinCc(1)证
2、明:sin AsinB=sinC;(2)若 b2+c2-a2= bc,求 tanB.65题组二 模拟强化4.2018湖南三湘名校三联 如图 J2-1,a,b,c 分别为 ABC 中角 A,B,C 的对边, ABC= ,cos ADC= ,c=8,CD=2. 3 17(1)求 a 的值;(2)求 ADC 的外接圆的半径 R.图 J2-15.2018四川内江一模 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 bcosC+csinB=0.(1)求 C;(2)若 a= ,b= ,点 D 在边 AB 上, CD=BD,求 CD 的长 .5 1036.2018武汉武昌区 5 月调研 在 AB
3、C 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 ABC的外接圆半径 R= ,且 tanB+tanC= .22sinAcosC(1)求 B 和 b 的值;(2)求 ABC 面积的最大值 .4解答必刷卷(二)1.解:(1)由题设及余弦定理得 BD2=BC2+CD2-2BCCDcosC=13-12cosC, BD2=AB2+DA2-2ABDAcosA=5+4cosC. 由 得 cosC= ,故 C=60,BD= .12 7(2)四边形 ABCD 的面积S= ABDAsinA+ BCCDsinC= sin60=2 .12 12 (1212+1232) 32.解:(1)在 ABC 中,由正弦定
4、理知 = ,可得 bsinA=asinB,asinA bsinB又 bsinA=acos B- ,所以 asinB=acos B- ,即 sinB=cos B- ,可得 tanB= . 6 6 6 3又因为 B(0,),所以 B= . 3(2)在 ABC 中,由余弦定理及 a=2,c=3,B= ,有 b2=a2+c2-2accosB=7,故 b= . 3 7由 bsinA=acos B- ,可得 sinA= . 6 37因为 a0),asinA bsinB csinC则 a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC,代入 + = 中,有cosAa cosBb sinCc+ = ,变形可得co
5、sAksinAcosBksinBsinCksinCsinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B).在 ABC 中,由 A+B+C=,有 sin(A+B)=sin( -C)=sinC,所以 sinAsinB=sinC.(2)由已知, b2+c2-a2= bc,根据余弦定理,有65cosA= = ,b2+c2-a22bc 355所以 sinA= = .1-cos2A45由(1)知,sin AsinB=sinAcosB+cosAsinB,所以 sinB= cosB+ sinB,45 45 35故 tanB= =4.sinBcosB4.解:(1)因为 cos ADC= ,17所
6、以 sin ADC=sin ADB= .437所以 sin BAD=sin( ADC- ABC)= - = ,437 1217 32 3314在 ABD 中,由正弦定理得 BD= =3,所以 a=3+2=5.csinBADsinADB(2)在 ABC 中, b= =7.a2+c2-2accosABC在 ADC 中, R= = .12 bsinADC493245.解:(1)因为 bcosC+csinB=0,所以由正弦定理知 sinBcosC+sinCsinB=0.因为 00,于是 cosC+sinC=0,即 tanC=-1.因为 0C,所以 C= .34(2)由(1)结合余弦定理,得 c2=a2
7、+b2-2abcos ACB=( )2+( )2-5 102 =25,5 10(-22)所以 c=5,所以 cosB= = = .a2+c2-b22ac 5+25-10255255因为在 BCD 中, CD=BD,所以 =cosB,所以 CD= = = .12BCCD a2cosB 52255546.解:(1)因为 tanB+tanC= ,2sinAcosC所以 + = ,sinBcosBsinCcosC 2sinAcosC所以 sinBcosC+cosBsinC= sinAcosB,即 sin(B+C)= sinAcosB.2 2因为 A+B+C=,所以 sin(B+C)=sinA,6又因为 sinA0,所以 cosB= ,因为 0B,所以 B= .22 4由正弦定理得 =2R,得 b=2RsinB=2 =2.bsinB 2 22(2)由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accosB,所以 4=a2+c2- ac.2由基本不等式,得 4=a2+c2- ac2 ac- ac(当且仅当 a=c 时取等号),2 2所以 ac =2(2+ ).42- 2 2因为 S ABC= acsinB= acsin = ac,12 12 4 24所以 S ABC= ac 2(2+ )=1+ .24 24 2 2所以 ABC 面积的最大值为 1+ .2
