1、1第 1 讲 小题考法直线与圆的方程一、主干知识要记牢1直线方程的五种形式点斜式y y1 k(x x1)(直线过点 P1(x1， y1)，且斜率为 k，不能表示 y 轴和平行于 y轴的直线)斜截式y kx b(b 为直线在 y 轴上的截距，且斜率为 k，不能表示 y 轴和平行于 y 轴的直线)两点式 (直线过点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)，且 x1 x2， y1 y2，不能表y y1y2 y1 x x1x2 x1示坐标轴和平行于坐标轴的直线)截距式 1( a， b 分别为直线的横、纵截距，且 a0， b0，不能表示坐标轴、平xa yb行于坐标轴和过原点的直线)一般式 Ax B
2、y C0(其中 A， B 不同时为 0)2.点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点 P(x0， y0)到直线 Ax By C0 的距离为 d |Ax0 By0 C|A2 B2(2)两平行线 l1： Ax By C10， l2： Ax By C20 间的距离为 d |C1 C2|A2 B23圆的方程(1)圆的标准方程：( x a)2( y b)2 r2(2)圆的一般方程： x2 y2 Dx Ey F0( D2 E24 F0)(3)圆的直径式方程：( x x1)(x x2)( y y1)(y y2)0(圆的直径的两端点是A(x1， y1)， B(x2， y2)4直线与圆位置关系的判定方法(1)
3、代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)： 0相交， r相离， d r相切5圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为 O1， O2，半径分别为 r1， r2，则2(1)当| O1O2| r1 r2时，两圆外离；(2)当| O1O2| r1 r2时，两圆外切；(3)当| r1 r2| O1O2| r1 r2时，两圆相交；(4)当| O1O2| r1 r2|时，两圆内切；(5)当 0| O1O2| r1 r2|时，两圆内含二、二级结论要用好直线 l1： A1x B1y C10 与直线 l2： A2x B2y C20 的位置关系(1)平行 A1B2 A2B10 且 B1C2 B2C10；(2
4、)重合 A1B2 A2B10 且 B1C2 B2C10；(3)相交 A1B2 A2B10；(4)垂直 A1A2 B1B20三、易错易混要明了1易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两坐标轴上的截距相等设方程时，忽视截距为 0 的情况，直接设为 1；再如，忽视斜率不存在的情况直接将过定xa ya点 P(x0， y0)的直线设为 y y0 k(x x0)等2讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为 0.如果利用直线 l1： A1x B1y C10与 l2： A2x B2y C20 垂直的充要条件 A1A2 B1B
5、20，就可以避免讨论3求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式，导致错解|C1 C2|A2 B24易误认为两圆相切即为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解考点一 直线方程直线方程问题的 2 个关注点(1)求解两条直线平行的问题时，在利用 A1B2 A2B10 建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况(2)求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意31已知直线 l1： x2 ay10， l2：( a1) x ay0，若 l1 l2，则实数 a 的值为( C )A B032C 或 0 D232解析 由 l1
6、l2得 1( a)2 a(a1)，即 2a23 a0，解得 a0 或 a . 经检32验，当 a0 或 a 时均有 l1 l2，故选 C322已知直线 l 的倾斜角为 ，直线 l1经过点 A(3,2)， B( a，1)，且 l1与 l 垂直， 4直线 l2：2 x by10 与直线 l1平行，则 a b( B )A4 B2C0 D2解析 由题知，直线 l 的斜率为 1，则直线 l1的斜率为1，所以 1，所以2 13 aa4.又 l1 l2，所以 1， b2，所以 a b422，故选 B2b3过直线 l1： x2 y30 与直线 l2：2 x3 y80 的交点，且到点 P(0,4)距离为2 的直
7、线方程为 y2 或 4x3 y20解析 由Error!得Error! l1与 l2的交点为(1,2). 当所求直线斜率不存在，即直线方程为 x1 时，显然不满足题意当所求直线斜率存在时，设所求直线方程为y2 k(x1)，即 kx y2 k0, 点 P(0,4)到直线的距离为2，2 ， k0 或 k . 直线方程为 y2 或 4x3 y20| 2 k|1 k2 43考点二 圆的方程圆的方程的 2 种求法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数41(2018湖北联考)已知 a1，过 P(a,0)
8、作 O： x2 y21 的两条切线 PA， PB，其中 A， B 为切点，则经过 P， A， B 三点的圆的半径为( D )A B2a 12 a 12C a Da2解析 经过 P， A， B 三点的圆为以 OP 为直径的圆，所以半径为 ，选 Da22(2018蚌埠模拟)以抛物线 y24 x 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为( D )A( x2) 2 y21 B( x1) 2 y21C( x2) 2 y24 D( x1) 2 y24解析 抛物线 y24 x 的焦点为(1,0)，准线为： x1. 根据题意可得圆心为(1,0)，半径为 2. 圆的方程为( x1) 2 y24.故选 D3
9、(2018天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为 x2 y22 x0解析 方法 1：设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F0圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，Error!解得Error!圆的方程为 x2 y22 x0方法 2：画出示意图如图所示，则 OAB 为等腰直角三角形，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为 1，所以所求圆的方程为( x1) 2 y21，即 x2 y22 x04(2018枣庄一模)已知圆 M 与直线 x y0 及 x y40 都相切，圆心在直线y x2 上，则圆 M 的标准方程为 x2( y2) 22解析 由题意，圆心在
10、 y x2，设圆心为( a,2 a), 因为圆 M 与直线 x y0 及x y40 都相切， 则圆心到两直线的距离相等，即 ，解得 a0，即|2a 2|2 |2a 2|25圆心(0,2)，且 r ，所以圆的方程 x2( y2) 22|20 2|2 2考点三 直线与圆、圆与圆的位置关系1直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路(1)研究直线与圆的位置关系主要通过将圆心到直线的距离同半径做比较实现，两圆位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式过圆外一点求解切线段长
11、的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算2直线截圆所得弦长的求解方法(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，即 l2 (其中 l 为弦长， r 为圆的半径， d 为圆心到直线的距离)r2 d2(2)根据公式： l |x1 x2|求解(其中 l 为弦长， x1， x2为直线与圆相交所得交1 k2点的横坐标， k 为直线的斜率)(3)求出交点坐标，用两点间的距离公式求解1(2018潍坊模拟)直线 y kx3 与圆( x2) 2( y3) 24 相交于 M， N 两点，若|MN|2 ，则 k 的取值范围是 ( B )3A B34， 0 33
12、， 33C ， D3 3 23， 0解析 设圆心(2,3)到直线 y kx3 的距离为 d，则根据点到直线距离有 d ，|2k|k2 1由直线与圆相交弦长公式 r2 d2 2，(|MN|2 )所以| MN|2 2 ，r2 d24 4k2k2 1解不等式 2 2 得 k2 ，4 4k2k2 1 3 13所以 k ，故选择 B33， 3362(2018绵阳三诊)已知圆 C1： x2 y2 r2，圆 C2：( x a)2( y b)2 r2(r0)交于不同的 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点，给出下列结论： a(x1 x2) b(y1 y2)0；2 ax12 by1 a2 b2； x1
13、x2 a， y1 y2 b其中正确结论的个数是( D )A0 B1 C2 D3解析 公共弦的方程为 2ax2 by a2 b20，所以有 2ax12 by1 a2 b20，正确；又 2ax22 by2 a2 b20，所以 a(x1 x2) b(y1 y2)0，正确； AB 的中点为直线 AB与直线 C1C2的交点，又 AB：2 ax2 by a2 b20， C1C2： bx ay0. 由Error! 得Error!故有 x1 x2 a， y1 y2 b，正确，综上，选 D3已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C： x2 y24 x6 y120 交于 M， N 两点若 12，其
14、中 O 为坐标原点，则| MN|( A )OM ON A2 B4C D23 3解析 设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，圆 C 的方程可化为( x2) 2( y3) 21，其圆心为(2,3)，将 y kx1 代入方程 x2 y24 x6 y120，整理得(1 k2)x24( k1) x70，所以 x1 x2 ， x1x2 4 k 11 k2 71 k2 x1x2 y1y2OM ON (1 k2)x1x2 k(x1 x2)1 8，4k 1 k1 k2由题设可得 812，得 k1，4k 1 k1 k2所以直线 l 的方程为 y x1故圆心(2,3)恰在直线 l 上，所以| MN|24已知圆 C：( x )2( y1) 21 和两点 A( t,0)， B(t,0)(t0)，若圆 C 上存在3点 P，使得 APB90，则 t 的取值范围是( D )A(0,2 B1,2C2,3 D1,3解析 依题意，设点 P( cos ，1sin )，37 APB90， 0，AP BP ( cos t)( cos t)(1sin )20，3 3得 t252 cos 2sin 54sin ，3 ( 3)sin 1,1， t21,9，( 3) t0， t1,3
