1、1安徽省阜阳市第三中学 2018-2019 学年高二竞培中心下学期开学考试文科数学试题一、选择题（共 60 分）1已知函数 f（ x）是偶函数，若在（0，+）为增函数， f（1）=0，则 0 的解()集为（ ）A( ， B0)(1,) (,1)(0,1)C D(,1)(1,+) (1,0)(0,1)2定义在 R 上的函数 f（x）满足 则 f（2019）的值为()=2(1),0,(1)(2),0, （ ）A2 B1 C2 D03已知定义在 R 上的函数 满足以下三个条件： 对于任意的 ，都有=() ；对于任意的 都有 函数(+4)=() 1,2,且 01 5已知 x1、 x2分别是函数 f（
2、x）= ex+x-4、 g（ x）=ln x+x-4 的零点，则 的1+2值为（ ）A B C3 D42+3 +36已知函数 ，若关于 x 的不等式 恰有一个()=2+,02,1)斯圆，则下列结论中正确的是（ ）A曲线 C 关于 x 轴对称B曲线 C 关于 y 轴对称C曲线 C 关于坐标原点对称D曲线 C 经过坐标原点11已知 是椭圆 的两个焦点，点 在椭圆上， ,1(3,0),2(3,0)2+2=1 12=当 时， 的面积最大，则 的值是（ ）=23 12 +A41 B15 C9 D112设函数 f（x）e x（2x1）ax+a，其中 a1，若存在唯一的整数 x0使得f（x 0）0，则 a
3、的取值范围是（ ）A ,1） B ， ） C ， ） D ， 1）32 32 32 32二、填空题（共 20 分）13命题“ ”的否定是_.0,+)， 3+014已知角 终边上有一点 ，则 _. (1， 2)(2)(2)(32+)+()=15已知椭圆 C： ， ， 是其两个焦点，P 为 C 上任意一点，则 的24+2=1 1 2 1 2最大值为_16已知定义在 的两个函数 和 （ 是自然对数的底） ，(1,+)()=+2 ()= 若在 的解集内有且只有两个整数，则实数 的范围是_()()1 3三、解答题（共 70 分）17 （10 分）已知函数 的部分图像如图，其中()=+1,(20) (0,
4、1)倍.（1）求椭圆 的方程；（2）设直线经过点 且与椭圆 相交于 ， 两点（异于点 ） ，记直线 的斜率(2,1) 为 ，直线 的斜率为 ，证明： 为定值.1 2 1+221 （12 分）已知抛物线 上一点 的纵坐标为 6，且点 到焦点 的距:2=2(0) 离为 7.（1）求抛物线 的方程；（2）设 为过焦点 且互相垂直的两条直线，直线 与抛物线 相交于 两点，直线1,2 1 ,与抛物线 相交于点 两点，若直线 的斜率为 ，且 ，试求2 , 1 (0) =8的值.22 （12 分）已知函数 ,若曲线 在点 处的切线与直线()=ln+ () =() (1,(1)平行 .1=0（1）求 的值（2
5、）求函数 的单调区间和极值()5（3）试判断函数 的零点个数，并说明理由()=()e2阜阳三中 20182019 学年第二学期竞二年级开学考试文科数学参考答案1B【解析】【分析】根据题意，结合函数的单调性以及特殊值可得在（0，1）上，f（x）0，在（1，+）上，f（x）0，结合函数的奇偶性可得在（-1，0）上，f（x）0，在（-，-1）上，f（x）0，又由 0 ，据此分析可得答案() ()0 或 ()00 或 ()00 ()=(1)(2) (1)=(2)(3)两式相加可得 ，所以周期为 6.()=(3),(2019)=(3)=(2)(1)=(0)=21=0故选 D.【点睛】本题主要考查利用函数
6、的周期求值.先利用周期把所求化到已知区间，再代入对应的解析式即可.3B【解析】【分析】由可知函数 f（x）是周期 T=4 的周期函数； 由可得函数 f（x）在0，2上单调递增；由可得函数 f（x）的图象关于直线 x=2 对称于是 f（4.5）=f（0.5） ，f（7）=f（3）=f（1） ，f（6.5）=f（2.5）=f（1.5） 即可得出结果.【详解】定义在 R 上的函数 y=f（x）满足以下三个条件：由对于任意的 xR，都有 f（x+4）=f（x） ，可知函数 f（x）是周期 T=4 的周期函数； 对于任意的 x1，x 2R，且0x 1x 22，都有 f（x 1）f（x 2） ，可得函数
7、f（x）在0，2上单调递增；函数y=f（x+2）的图象关于 y 轴对称，可得函数 f（x）的图象关于直线 x=2 对称f（4.5）=f（0.5） ，f（7）=f（3）=f（1） ，f（6.5）=f（2.5）=f（1.5） f（0.5）f（1）f（1.5） ，f （4.5）f （7）f （6.5） 故选：B【点睛】本题考查了函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题,熟练掌握函数的周期性，单调性，对称性是解题的关键.4C【解析】【分析】利用指数和对数函数的单调性即可得到 a,b,c 的大小关系.【详解】对数函数 y=lnx 在 上单调递增，a=lnx0 (0)=(0)|0|+2012
8、=|0|+log2(0+)而 ，即函数 与 的图像在 上有2012=log2(0+) =212 =2(+) (0,+)交点；如图所示，可知若函数 与 的图象在上有交点，则当 =212 =2(+) =0时，满足 ，即 ；易知当 时，函数2(0+)0 (0)=(0)，即函数 与 的图像在 上有交2012=log2(0+) =212 =2(+) (0,+)点；作出函数的草图，当 时，满足 ，即 ；易知当 时，函=021，所以 ，故圆不经过坐标原点，D 选项是错误的.2+1221=22+121221【点睛】本小题主要考查利用直接法求动点的轨迹方程，考查对新概念的理解，考查图形的对称性，属于中档题.11
9、B【解析】【分析】由 当 时， F1PF2面积最大，可得此时点 P 为椭圆的一个短轴的端点，12=23 F1PO 可得 a，又 c3， a2 b2+c2，联立解出即可=3 =12【详解】 当 时， F1PF2面积最大，12=23此时点 P 为椭圆的一个短轴的端点， F1PO =3 a，又 c3， a2 b2+c2，=12联立解得 b23， a212 m+n a2+b215故选： B【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形面积计算公式、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12D【解析】【分析】设 ， ，问题转化为存在唯一的整数 使得 在直线()=(21)= 0 (0
10、)的下方，利用导数数形结合并解关于 的不等式组可得= 【详解】解：设 ， ，()=(21)=由题意知存在唯一的整数 使得 在直线 的下方，0 (0) =，()=(21)+2=(2+1)当 时， ，当 时， ，12 ()0当 时， 取最小值 ，=12 () 212当 时， ，当 时， （1） ，=0 (0)=1 =1 =0直线 恒过定点 且斜率为 ，= (1,0) 故 且 ，解得(0)=1 (1)=3132112eln =图像上方只有两个横坐标为整数的点.利用导数画出 的图像，结=12eln =12eln合图像列出不等式组，解不等式组求得 的取值范围.【详解】化简不等式 ，得 ，构造函数 和 ，
11、()()112eln ()= =12eln需要满足 图像在 图像上方的点的横坐标有且只有两个整数. ()=()=12eln，故函数 在 上递减，在 上递增，且当(12eln )=2e12 ()=12eln (1,e) (e,+)时，函数值小于零.当 时， 在 上递增，画出图像如下图所示，e 0 ()= (1,+)由图可知 图像在 图像上方的点不止两个整数 .故不符合题意.()=()=12eln当 时，显然不符合题意.当 时，画出图像如下图所示，由图可知 ，=0 (2)(3)(3)(4)(4) 即 ，解得 .即 的取值范围是 .212eln22312eln33412eln44 1323e0) (
12、0,1) =1又 ， .2=4 =2椭圆 的标准方程为： .24+2=1（2）若直线 的斜率不存在，则直线的方程为 ， =2此时直线与椭圆相切，不符合题意.设直线 的方程为 ，即 . 1=(2) =2+1联立 ，得 .=2+124+2=1 (1+42)28(21)+16216=0设 ， ，则(1,1) (2,2)1+2=1+11 2+12 =2(12+2)+1(22+2)12=212(22)(1+2)12 =2(22)(1+2)12.=2(22)8(21)16(1) =2(21)=1 为定值，且定值为 1.1+2【点睛】求定值问题常见的方法从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关直接推理、
13、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值21 （1） ；（2） 或 .2=4 =1 =1【解析】【分析】(1)由题得 ，解得 .故抛物线 的方程为 .（2）由题意可知 的方程为6+2=7 =2 2=4 1，先求出 ， ，由 ，得=+1(0) =22+1=22+1| =8，解得 或 .22+122+1| =8 =1 =1【详解】（1）由抛物线的定义知，点 到抛物线的准线 的距离为 7， 又抛物线 的准线方程为 ，=2所以 ，解得 .6+2=7 =2故抛物线 的方程为 . 2=4（2）由题意可知 的方程为 ，设 ， ，1 =+1(0) (1,1) (2,2)由 消去 ，整理得 ，=+12=
14、4 244=0则 ， ， ，1+2=412=4 =16(2+1)0.|=1+2|12|=1+21=1+216(2+1)=4(2+1)又点 到直线 的距离 ， = 12+1则 .=12|=124(2+1) 12+1=22+1因为 ，同理可得 ，12=2(1)2+1=22+1|由 ，得 ，=822+122+1| =8解得 ，即 或 .2=1 =1 =1【点睛】本题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.22 （ ） （ ）单调递减区间 ，单调递减区间 ，极大值为 （ ） 个，1 =0 2 (,e) (,+) 3 2
15、理由见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出 x1 处的切线方程；（2）当 a0 时，利用导数判断出 f（ x）的单调增区间与单调减区间，从而求出极值；（3）函数 的零点个数等价于 y= 与 图象的交点个数()=()e2ln =1e2【详解】（ ） ，1()=ln+，()=1ln2 =1ln2 ，即 (1)=1=1 =0（ ） ，2()=ln，令 ， ，()=1ln2 ()=0 =e (,e) e (,+)() + 0 () 极大值 单调递增区间为 ，单调递减区间为 () (,e) (,+)极大值为 ()()=1e（ ） ，当 时，即为 ，由（ ）作出 大致图象，3()=lne2 ()=0 ln=()=1e2 2 ()由图可知 与 有两个点即 有 个零点ln =1e2 () 2【点睛】（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意图象的渐近线。
