1、1第 12 讲 椭圆1.已知正方形 ABCD 的四个顶点在椭圆 + =1(ab0)上,ABx 轴,AD 过左焦点 F,则该椭圆的离心率为 x2a2y2b2. 2.已知椭圆 C: + =1(ab0)的右焦点为 F,直线 y=- x 与椭圆 C 交于 A,B 两点,且 AFBF,则椭圆 C 的x2a2y2b2 3离心率为 . 3.已知点 P 是椭圆 + =1 上的动点,F 1为椭圆的左焦点,定点 M(6,4),则|PM|+|PF 1|的最大值为 x225y216. 4.已知椭圆 + =1(ab0),点 A,B1,B2,F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点.若直线 AB2与直线x2a2y2b2
2、B1F 的交点恰在椭圆的右准线上,则椭圆的离心率为 . 5.椭圆 C: + =1 的一条准线与 x 轴的交点为 P,点 A 为其短轴的一个端点.若 PA 的中点在椭x2a2y2b2 (ab0)圆 C 上,则椭圆的离心率为 . 6.(2018 盐城中学高三上学期期末)已知椭圆 C1: + =1 与圆 C2:x2+y2=b2,若椭圆 C1上存在点x2a2y2b2 (ab0)P,由点 P 向圆 C2所作的两条切线 PA,PB 且APB=60,则椭圆 C1的离心率的取值范围是 . 7.(2018 盐城射阳二中教学质量调研(三)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F 1,F2分别是椭圆+ =1(ab0)
3、的左、右焦点,顶点 B 的坐标为(0,b),连接 BF2并延长,交椭圆于点 P,直线 PF2,PF1的斜率x2a2y2b2之积为 1,则椭圆的离心率 e 为 . 8.(2018 扬州中学高三下学期开学考)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A 在椭圆 + =1 上,点 P 满足x225y29=(-1) (R),且 =48,则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为 . AP OA OAOP9.(2018 淮海中学高三数学 3 月模拟)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 + =1(ab0)的离心率x2a2y2b2为 ,两条准线之间的距离为 4 .22 2(1)求椭圆的标准方程;2
4、(2)已知椭圆的左顶点为 A,点 M 在圆 x2+y2= 上,直线 AM 与椭圆相交于另一点 B,且AOB 的面积是AOM89面积的 2 倍,求直线 AB 的方程.10.在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 C: + =1(ab0)的离心率为 ,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,x2a2y2b2 32过 F2作两条互相垂直的直线 l1,l2,直线 l1与 C 交于 A,B 两点,直线 l2与 C 交于 D,E 两点,且AF 1F2的周长是 4+2 .3(1)求椭圆 C 的方程;(2)当|AB|= |DE|时,求ODE 的面积.323答案精解精析1.答案 5-12解析 不妨设点 A 在第二象限.
5、由题意,可得 A 在直线 y=-x 上,所以 =c,即 b2=a2-c2=ac,e2+e-(-c,b2a) b2a1=0,(0b0)上,所以 + =1.化简得 a=(a2c,0) (0,b) (a22c,b2) x2a2y2b2 a24c214c.所以离心率 e= = .3ca 336.答案 32,1)解析 由椭圆 C1: + =1(ab0)的焦点在 x 轴上,x2a2y2b2连接 OA,OB,OP,依题意,O,P,A,B 四点共圆,APB=60,APO=BPO=30,在 RtOAP 中,AOP=60,cosAOP= = .b|OP|124|OP|= =2b.b12b|OP|a,2ba.4b
6、2a 2,由 a2=b2+c2,即 4(a2-c2)a 2,得 3a24c 2,即 .e .c2a2 34 32又 0e1, e1.32椭圆 C1的离心率的取值范围是 e1.327.答案 55解析 直线 PB 的方程为 y=- x+b,将其代入椭圆方程,解得 P ,则 = , =- ,bc (2a2ca2+c2,-b3a2+c2) kPF1 -b33a2c+c3kPF2 bc= =1,b4=3a2c2+c4,b4-c4=a2(b2-c2)=3a2c2,b2=4c2,a2=5c2,a= c.故则离心率 e= = .kPF1kPF2-b33a2c+c3 -bc 5 ca 558.答案 10解析 由
7、 =(-1) (R),得 = ,则 O,P,A 三点共线,则 =| | |=48.设 OP 与 x 轴AP OA OP OA OAOPOA OP的夹角为 ,A(x,y),B 为 A 在 x 轴上的投影,则线段 OP 在 x 轴上的投影长度为| |cos= = =48 48 =10,当且仅当 |x|= ,即|x|= 时,取等号.故投影OP48|OB|OA|2 48|x|x2+y2 11625|x|+9|x| 121625|x|9|x| 1625 9|x| 154长度的最大值为 10.9.解析 (1)设椭圆的焦距为 2c.由题意,得 = , =4 .解得 a=2,c= .ca 22 2a2c 2
8、2所以 b= .2所以椭圆的方程为 + =1.x24y22(2)因为 SAOB =2SAOM ,所以|AB|=2|AM|,所以点 M 为 AB 的中点.设直线 AB 的方程为 y=k(x+2).由 x24+y22=1,y=k(x+2),得(1+2k 2)x2+8k2x+8k2-4=0.所以(x+2)(1+2k 2)x+4k2-2=0.解得 xB= .2-4k21+2k25所以 xM= = ,yM=k(xM+2)= .xB+(-2)2 -4k21+2k2 2k1+2k2代入 x2+y2= ,得 + = .89 (-4k21+2k2)2( 2k1+2k2)289化简得 28k4+k2-2=0,即(
9、7k 2+2)(4k2-1)=0.解得 k= .12所以直线 AB 的方程为 y= (x+2),12即 x+2y+2=0,x-2y+2=0.10.解析 (1)由 e= ,知 = .所以 c= a.32 ca 32 32因为PF 1F2的周长是 4+2 ,3所以 2a+2c=4+2 .3所以 a=2,c= ,故 b2=a2-c2=1.3所以椭圆 C 的方程为 +y2=1.x24(2)分析知直线 l2的斜率存在,且不为 0,设 l1的方程为 x=my+ .与椭圆方程联立,得3消去 x 并整理,得 y2+ y- =0.x24+y2=1,x=my+ 3, (m24+1) 3m2 14所以|AB|= |y1-y2|= = .1+m2 1+m24m2+1m2+4 4(m2+1)m2+4同理|DE|= = .4(1m2+1)1m2+4 4(m2+1)1+4m2所以 = .解得 m2=2.4(m2+1)m2+4 32 4(m2+1)1+4m2所以|DE|= ,43直线 l2的方程为 y= (x- ).2 3所以点 O 到直线 l2的距离 d= .2故 SODE = = .12 2 432236
