1、1课时跟踪检测（十七） “解析几何”专题提能课A组易错清零练1(2018嘉兴模拟)已知直线 l1： ax( a2) y10， l2： x ay20，其中aR，则“ a3”是“ l1 l2”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A 若 l1 l2，则 a a(a2)0，即 a(a3)0，解得 a0 或 a3，所以“ a3”是“ l1 l2”的充分不必要条件故选 A.2已知双曲线 ： 1( a0， b0)，过双曲线 的右焦点 F，且倾斜角为 的x2a2 y2b2 2直线 l与双曲线 交于 A， B两点， O是坐标原点，若 AOB OAB，则双曲线 的
2、离心率为( )A. B.3 72 11 332C. D.3 396 1 174解析：选 C 由题意可知 AB是通径，根据双曲线的对称性和 AOB OAB，可知 AOB为等边三角形，所以 tan AOF ，整理得 b2 ac，由 c2 a2 b2，得b2ac 33 33c2 a2 ac，两边同时除以 a2，得 e2 e10，解得 e .故选 C.33 33 3 3963过点 P(2,1)作直线 l，使 l与双曲线 y21 有且仅有一个公共点，这样的直线x24l共有( )A1 条 B2 条C3 条 D4 条解析：选 B 依题意，双曲线的渐近线方程是 y x，点 P在直线 y x上12 12当直线
3、l的斜率不存在时，直线 l的方程为 x2，此时直线 l与双曲线有且仅有一个公共点(2,0)，满足题意当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 y1 k(x2)，即 y kx12 k，由Error! 消去 y得 x24( kx12 k)24，即(14 k2)x28(12 k)kx4(12 k)240，(*)2若 14 k20，则 k ，12当 k 时，方程(*)无实数解，因此 k 不满足题意；12 12当 k 时，方程(*)有唯一实数解，因此 k 满足题意12 12若 14 k20，即 k ，此时 64 k2(12 k)216(14 k2)(12 k)210 不12成立，因此满足题意的实数 k
4、不存在综上所述，满足题意的直线 l共有 2条4已知椭圆 1 的离心率等于 ，则 m_.x24 y2m 32解析：当椭圆的焦点在 x轴上时，则 a24，即 a2.又 e ，ca 32所以 c ， m b2 a2 c24( )21.3 3当椭圆的焦点在 y轴上时，椭圆的方程为 1，则 b24，即 b2.y2m x24又 e ，故 ，解得 ，即 a2 b，ca 32 1 b2a2 32 ba 12所以 a4， m a216.综上， m1 或 16.答案：1 或 165已知圆 C1：( x3) 2 y21 和圆 C2：( x3) 2 y29，动圆 M同时与圆 C1及圆 C2外切，则动圆圆心 M的轨迹方
5、程为_解析：如图所示，设动圆 M与圆 C1及圆 C2分别外切于 A和 B两点连接 MC1， MC2.根据两圆外切的条件，得|MC1| AC1| MA|，|MC2| BC2| MB|.因为| MA| MB|，所以| MC1| AC1| MC2| BC2|，即| MC2| MC1| BC2| AC1|3120， b0， xb0)，由双曲线和椭圆的对称性可知， A， Bx2a2 y2b25关于原点对称，又 AF1 BF1，且 AF1O ，3故| AF1| OF1| OA| OB| c， A ，代入椭圆方程 1，结合 b2 a2 c2及 e ，整理可得，(c2， 32c) x2a2 y2b2 cae4
6、8 e240，00， b0)的右支x2a2 y2b2与焦点为 F的抛物线 x22 py(p0)交于 A， B两点若| AF| BF|4| OF|，则该双曲线的渐近线方程为_解析：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由抛物线的定义可知|AF| y1 ，| BF| y2 ，| OF| ，p2 p2 p2由| AF| BF| y1 y2 y1 y2 p4| OF|2 p，得 y1 y2 p.p2 p2kAB .y2 y1x2 x1 x22p x212px2 x1 x2 x12p由Error! 得 kAB ，则 ，y2 y1x2 x1 b2 x1 x2a2 y1 y2 b2a2 x1 x2p
7、 b2a2 x1 x2p x2 x12p ，故 ，b2a2 12 ba 22双曲线的渐近线方程为 y x.22答案： y x22C组创新应用练1在平面直角坐标系 xOy中，设直线 y x2 与圆 x2 y2 r2(r0)交于 A， B两点， O为坐标原点，若圆上一点 C满足 ，则 r( )OC 54OA 34OB A2 B.10 10C2 D.5 56解析：选 B 已知 ，OC 54OA 34OB 两边平方化简得 r2，OA OB 35所以 cos AOB ，35所以 cos ， AOB2 55又圆心 O(0,0)到直线的距离为 ，|2|2 2所以 ，解得 r .2r 55 102双曲线 1(
8、 a0， b0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四x2a2 y2b2个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率 e的取值范围是( )A. B.(1，52) (52， )C. D.(1，54) (54， )解析：选 B 依题意，注意到题中的双曲线 1 的渐近线方程为 y x，且x2a2 y2b2 ba“右”区域是由不等式组Error!所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有 1 ，即 2ba ba，因此题中的双曲线的离心率 e .12 1 (ba)2 (52， )3已知双曲线 1( a0， b0)的两条渐近线分别为 l1， l2，经过右焦点 F垂x2a2 y2
9、b2直于 l1的直线分别交 l1， l2于 A， B两点若| OA|，| AB|，| OB|成等差数列，且 与AF 反向，则该双曲线的离心率为( )FB A. B.52 3C. D.552解析：选 C 设实轴长为 2a，虚轴长为 2b，令 AOF ，则由题意知 tan ，在ba AOB中， AOB1802 ，tan AOBtan 2 ，| OA|，| AB|，| OB|成等|AB|OA|差数列，设| OA| m d，| AB| m，| OB| m d， OA BF，( m d)2 m2( m d)2，7整理得 d m，tan 2 ，解得 2 或 (舍去)，14 2tan 1 tan2 |AB|
10、OA| m34m 43 ba ba 12 b2 a， c a， e .4a2 a2 5ca 54已知 F1， F2分别为椭圆 1( ab0)的左、右焦点， P为椭圆上的一点x2a2 y2b2F1PF2中， F1PF2的外角平分线为 l，点 F2关于 l的对称点为 Q， F2Q交 l于点 R.当点 P在椭圆上运动时，求点 R的轨迹方程解：如图，直线 l为 F1PF2的外角平分线且点 F2与点 Q关于直线 l对称，由椭圆的光学性质知， F1， P，Q 三点共线根据对称性，|PQ| PF2|，所以| F1Q| PF1| PF2|2 a.连接 OR，因为 O为F1F2的中点， R为 F2Q的中点，所以
11、| OR| |F1Q| a.设 R(x， y)，则12x2 y2 a2(y0)，故点 R的轨迹方程为 x2 y2 a2(y0)5(2018诸暨高三适应性考试)已知 F是抛物线 C： x22 py(p0)的焦点，过 F的直线交抛物线 C于不同两点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，且 x1x21.(1)求抛物线 C的方程；(2)过点 B作 x轴的垂线交直线 AO(O是原点)于 D，过点 A作直线 DF的垂线与抛物线C的另一交点为 E， AE中点为 G.求点 D的纵坐标；求 的取值范围|GB|GD|解：(1)设直线 AB的方程为 y kx ，p2联立Error!消去 y，化简得 x22 p
12、kx p20， x1x2 p21， p1，抛物线 C的方程为 x22 y.(2)直线 OA的方程为 y x x，y1x1 x12 D ，即 D .(x2，x1x22 ) (x2， 12)即点 D的纵坐标为 .12 kDF ， kAE x2，1x2直线 AE的方程为 y y1 x2(x x1)8联立Error!消去 y，得 x2x y110，x22 xE2 x2 x1， G(x2,2y2 y11)， G， B， D三点共线 .|GB|GD| y2 y1 12y2 y1 32 y1y2 ，14 2 2 2 (1,2)|GD|GB|y1 1214y1 y1 1 y1y1 12 11 12y1 .|GB|GD| (12， 1)
