1、1小专题(五) 平行四边形的证明思路类型 1 若已知条件出现在四边形的边上，则应考虑：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形1 如图，延长ABCD 的边 AD 到点 F，使 DFDC，延长 CB 到点 E，使 BEBA，分别连接点 A，E 和点 C，F.求证：AECF.证明：四边形 ABCD 是平行四边形，AD BC，ABCD./AFEC.又DFDC，BEBA，BEDF.AFEC.四边形 AECF 是平行四边形AECF.2如图，已知：ABCD，BEAD，垂足为 E，CFAD，垂足为 F，并且 AEDF.求证：(1)BE
2、CF；(2)四边形 BECF 是平行四边形2证明：(1)BEAD，CFAD，AEBDFC90 .ABCD，AD.在AEB 和DFC 中， AEB DFC，AE DF， A D， )AEBDFC(ASA)BECF.(2)BEAD，CFAD，BECF.又BECF，四边形 BECF 是平行四边形3如图，在ABCD 中，分别以 AD，BC 为边向内作等边ADE 和等边BCF，连接 BE，DF.求证：四边形 BEDF 是平行四边形证明：四边形 ABCD 是平行四边形，CDAB，ADCB，DABBCD.3又ADE 和BCF 都是等边三角形，DEADAE，CFBFBC，DAEBCF60 .BFDE，CFAE
3、，DCFBCDBCF，BAEDABDAE，即DCFBAE.在DCF 和BAE 中，CD AB， DCF BAE，CF AE， )DCFBAE(SAS)DFBE.又BFDE，四边形 BEDF 是平行四边形4如图，DE 是ABC 的中位线，延长 DE 到点 F，使 EFDE，连接 BF.求证：(1)BFDC；(2)四边形 ABFD 是平行四边形证明：(1)DE 是ABC 的中位线，CEBE.在DEC 和FEB 中，CE BE， CED BEF，DE FE， )4DECFEB(SAS)BFDC.(2)DE 是ABC 的中位线，DEAB，且 DE AB.12又EFDE，DE DF.12DFAB.又DF
4、AB，四边形 ABFD 是平行四边形类型 2 若已知条件出现在四边形的角上，则应考虑利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明5如图，现有一六边形铁板 ABCDEF，其中ABCDEF120，AB10 cm，BC70 cm，CD20 cm，DE40 cm，求 AF 和 EF 的长解：延长 FA，CB 交于点 M，延长 FE，CD 交于点 N.FEDCDE120 ，NEDNDE60 .END 是等边三角形ENDNDE40 cm.5同理：AMB 是等边三角形AMBMAB10 cm.FMBEND60 ，FC120 ，四边形 FMCN 是平行四边形MCFN，MFCN.AB10 cm，BC70 c
5、m，CD20 cm，DE40 cm，AFMFAMCNAMCDDNAM50 cm，EFFNENMCENBMBCEN40 cm.类型 3 若已知条件出现在对角线上，则应考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明6如图，ABCD 的对角线相交于点 O，直线 EF 经过点 O，分别与 AB，CD 的延长线交于点E，F.求证：四边形 AECF 是平行四边形证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ODOB，OAOC，ABCD.DFOBEO，FDOEBO.在FDO 和EBO 中， DFO BEO， FDO EBO，OD OB， )FDOEBO(AAS)OFOE.6又OAOC，四边形 AECF 是平行
6、四边形类型 4 平行四边形证明中的“一题多解”7如图，已知在四边形 ABCD 中，AEBD 于点 E，CFBD 于点 F，AECF，BFDE.求证：四边形 ABCD 是平行四边形(至少用三种不同的方法证明)证明：证法 1：BFDE，BFEFDEEF，即 BEDF.又AEBD，CFBD，AEBCFD90 .在ABE 和CDF 中，BE DF， AEB CFD，AE CF， )ABECDF(SAS)ABCD.在ADE 和CBF 中，AE CF， AED CFB，DE BF， )ADECBF(SAS)ADBC.四边形 ABCD 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)证法 2：同证法 1，得ABECDF，ABECDF.ABCD.7同理可证，ADBC.四边形 ABCD 是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)证法 3：同证法 1，得ABECDF，ABCD，ABECDF.ABCD.四边形 ABCD 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)证法 4：连接 AC，交 BD 于点 O.在AOE 和COF 中， AEO CFO 90 ， AOE COF，AE CF， )AOECOF(AAS)AOCO，EOFO.BFDE，BFFODEEO，即 BODO.四边形 ABCD 是平行四边形(两条对角线互相平分的四边形是平行四边形)
