1、1第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式最新考纲1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2 cos 2 1， tan . sin cos 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ， 的正弦、余弦、正切的诱导公式.2知识梳理1 同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2 cos 2 1.(2)商数关系：tan sin cos ( 2 k ， k Z)【拓展延伸】 公式常见变形与使用时的注意事项：(1) 公式常见变形：sin2 1cos 2 ，cos 2 1sin 2 ，sin ，1 cos2cos ，sin cos tan ，cos 等1 sin2sin tan (2)注意：当角 的终边
2、与坐标轴重合时，平方关系也成 立；当 k (kZ)时，商数关系2不成立只要是同一个角，基本关系式就成立，不拘泥于角的形式2诱导公式(1)sin( 2 k)_，cos( 2 k)_，tan( 2 k)_， kZ.(2)sin( )_， cos( )_，tan( )_.(3)sin( )_，cos( )_，tan( )_.(4)sin( )_，cos( )_，tan( )_.(5)sin _，cos _.(2 ) (2 )(6)sin _， cos _.(2 ) (2 )【方法技巧】对于角“ ”(kZ)的三角函数记忆口诀“ 奇变偶不变，符号看象限” ， “奇变偶不变”k2是指“当 k为奇数时，正弦
3、变余弦，余弦变正弦；当 k为偶数时，函数名不变” “符号看象限”是指“在 的三角函数值前面加上当 为锐角时，原函数值的符号” 3.特殊角的三角函数值2角 0 30 45 60 90 120 150 180角 的弧度数 06 4 3 2 23 56sin 012 22 321 32120cos 132 22 120 1232 1tan 0331 3 33304诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般步骤为：上述过程体现了化归的思想方法5必会结论(1)sin4 cos 4 sin 2 cos 2 cos 2 ； sin 4 cos 4 12sin 2 cos2 .（2）1sin
4、2 cos 2 cos 2 (1tan 2 )tan .4典型例题考点一 利用同角三角函数基本关系式化简、求值【例 1】(1)若 sin ，且 为第四象限角，则 tan 的值等于( ) 513A B C D125 125 512 512【答案】D【解析】法一：因为 为第四象限的角，故 cos ，1 sin21213所以 tan .sin cos 5131213 512法二：因为 是第四象限角，且 sin ，所以可在 的终边上取一点 P(12，5)，则 tan 513 .故选 Dyx 5123(2)已知 sin cos ， ，则 sin cos 的值为( )43 (0， 4)A B C D23
5、23 12 12【答案】B 【例 2】 已知 tan 2，求值：（1） ；（2）4sin 2 3sin cos 5cos 2 .2sin 3cos 4sin 9cos 【答案】 （1）-1；（2）1. 考点三 同角关系和诱导公式的综合应用【例 4】(1)已知 A (kZ)，则 A的值构成的集合是( )sin(k )sin cos(k )cos A1，1,2，2 B1,1C2，2 D1，1,0,2，2【答案】C.【解析】当 k为偶数时， A 2；sin sin cos cos k为奇数时， A 2. sin sin cos cos (2)已知 sin ，则 cos _. ( 3) 1213 (6
6、 )【答案】 .1213【解析】因为 .( 3) (6 ) 2所以 cos cos sin .(6 ) 2 ( 3) ( 3) 1213规律方法 利用同角三角函数基本 关系式和诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要(1)基本思路：分析结构特点，选择恰当公式；利用公式化成单角三角函数；整理得最简形式(2)化简要求：化简过程是恒等变形；结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，4能求值的要求出值【变式训练 3】 （1）2016全国卷已知 是第四象限角，且 sin ，则( 4) 35tan _.( 4)【答案】 43【解析】 因为 sin ，所以 cos sinError!Error!si
7、n ，因为 为第四象( 4) 35 ( 4) ( 4) 35限角，所以 2 k 2 k， kZ，所以 2 k 2 k ， kZ，所以 sin2 34 4 4 ，所以 tan .( 4) 1 (35)2 45 ( 4)sin( 4)cos( 4) 43(2)已知 cos 2sin ，则 的值为_. (2 ) ( 2) sin3( ) cos( )5cos(52 ) 3sin(72 )【答案】 .335【解析】cos 2sin ，(2 ) ( 2)sin 2cos ，则 sin 2cos ，代入 sin2 cos 2 1，得 cos2 .15 cos2 .sin3( ) cos( )5cos(52
8、 ) 3sin(72 ) sin3 cos 5sin 3cos 8cos3 cos 7cos 87 17 335课堂总结1由一个角的三角函数值求其他三角函数值时，要注意讨论角的范围2注意公式的变形使用，弦切互换、三角代换、消元是三角代换的重要思想，要尽量少开方运算，慎重确定符号注意“1”的灵活代换3应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断课后作业1若 cos ， a ，则 tan ( )13 ( 2， 0)A B C2 D224 24 2 2【答案】C.5【解析】sin ，tan 2 .1 cos21 19 223 sin cos 22(2016四川卷)sin 750 .【答案】
9、 .12【解析】 sin 750sin(72030)sin 30 .123cos sin .(174 ) ( 174 )【答案】 . 2【解析】cos sin cos sin (174 ) ( 174 ) 174 174cos sin cos sin .(4 4) (4 4) 4 4 22 22 24.已知 5，则 sin2 sin cos 的值 为( )sin 3cos 3cos sin A B C D15 25 15 25【答案】D.【解析】依题意得： 5，tan 2.tan 33 tan sin 2 sin cos .sin2 sin cos sin2 cos2 tan2 tan tan
10、2 1 22 222 1 255.若 是三角形的内角，且 tan ，则 sin cos 的值为_13【答案】 .105【解析】由 tan ，得 sin cos ，将其代入 sin2 cos 2 1，13 13得 cos2 1，cos 2 ，易知 cos 0，cos ，sin ，109 910 31010 1010故 sin cos .1056.若 sin ， 则 cos _.(4 ) 13 (4 )【答案】 .13【解析】cos cos sin .(4 ) 2 (4 ) (4 ) 1367.已知 tan 5，则 ( )(x2) 1sin xcos xA B C D265 265 265 526
11、【答案】B.【解析】tan 5，tan x ， (x2)sin(x 2)cos(x 2) cos x sin x 1tan x 15 1sin xcos x ，故选 Bsin2x cos2xsin xcos x tan2x 1tan x 2658给出下列各函数值：sin(1 000)；cos(2 200)；tan(10)； .其中是sin 710cos tan 179负数的是( )A B C D【答案】C.【解析】 sin(1 000)sin 800，cos(2 200)cos (40)cos 400，tan (10)tan 100，tan 0.sin 710cos tan 179 sin 7
12、10tan 179 710 179sin 710cos tan 1799若 cos( ) 且 ，则 sin( )( )53 (2， )A B C D53 23 13 23【答案】B.【解析】cos ( )cos ，cos .53 53又 ，sin ，(2， ) 1 cos 2 1 ( 53)2 23sin ( )sin ，故选 B2310若 sin ，cos 是方程 4x22 mx m0 的两个根，则 m的值为( )A1 B15 5C1 D15 5【答案】B.7【解析】由题意得 sin cos ，sin cos .m2 m4又(sin cos )212sin cos ， 1 ，解得 m1 .又
13、 4 m216 m0，解m24 m2 5得 m0 或 m4， m1 ，故选 B511.设 为第二象限角，若 tan ，则 sin cos _.( 4) 12【答案】 .10512.已知 sin cos ，且 ，则 cos sin 的值为( )18 54 32A B. C D.32 32 34 34【答案】 B【解析】 ，54 32cos 0，sin 0 且|cos |sin |，cos sin 0.又(cos sin )212sin cos 12 ，cos sin .18 34 3213已知 2tan sin 3， 0 ，则 sin ( )2A. B C. D32 32 12 12【答案】 B
14、【解析】 2tan sin 3，所以 3，所以 2sin2 3cos ，即 22cos 2 3cos ，所2sin2cos以 cos 或 cos 2(舍去)，又 0，所以 sin .12 2 32814.已知 f( ) ，sin 2 cos cos(2 )cos(112 )cos sin 3 sin sin(92 )求 f 的值 (114 )(2) 判断ABC 是锐角三角形还是钝 角三角形；(3) 求 tanA的值【答案】(1) .(2)钝角三角形(3) .1225 43【解析】(1) sinAcosA ，两边平方得 12sinAcosA ，sinA cosA .15 125 1225(2) 由(1) sinAcosA 0，cosA0，所以 sinAcosA ，75所以由，可得 sinA ，cosA ，则 tanA .45 35 sinAcosA45 35 43
