1、1等差数列与等比数列1已知等差数列 an中， a49， S424，则 a7等于( )A3 B 7C13 D15答案 D解析 由于数列为等差数列，依题意得Error!解得 d2，所以 a7 a43 d9615.2已知等比数列 an的首项为 1，公比 q1，且 a5 a43 ，则 等于( )(a3 a2) 9a1a2a3a9A9 B9C81 D81答案 B解析 根据题意可知 q23，a5 a4a3 a2而 a5 a1q413 29.9a1a2a3a9 9a953等差数列 an的首项为 1，公差不为 0.若 a2， a3， a6成等比数列，则 an的前 6项和为( )A24 B3 C3 D8答案 A
2、解析 由已知条件可得 a11， d0，由 a a2a6，可得(12 d)2(1 d)(15 d)，23解得 d2 或 d0(舍)所以 S661 24.65 224一个等比数列的前三项的积为 2，最后三项的积为 4，且所有项的积为 64，则该数列的项数是( )A13 B12C11 D10答案 B解析 设等比数列为 an，其前 n项积为 Tn，由已知得 a1a2a32， anan1 an2 4，可得( a1an)324， a1an2， Tn a1a2an， T ( a1a2an)22n( a1an)(a2an1 )(ana1)( a1an)n2 n64 22 12， n12.25已知数列 an满足
3、 15na255 an，且 a2 a4 a69，则13log(a5 a7 a9)等于( )A3 B3 C D.13 13答案 A解析 15na 25 na 25na ， an1 an2，数列 an是等差数列，且公差为 2. a2 a4 a69，3 a49， a43. 173loga 13log273.6数列 an是以 a为首项， b为公比的等比数列，数列 bn满足 bn1 a1 a2 an(n1,2，)，数列 满足 cn2 b1 b2 bn(n1,2，)，若 为等比数列，则 a b等于 ( )cn cnA. B3 C. D62 5答案 B7已知数列 an的前 n项和为 Sn， a115，且满足
4、 an1 an4 n216 n15，已知(2n 5) (2n 3)n， mN *， nm，则 Sn Sm的最小值为( )A B C14 D28494 498答案 C3解析 根据题意可知(2n5) an1 (2 n3) an(2 n5)(2 n3)，式子的每一项都除以(2 n5)(2 n3)，可得 1，an 12n 3 an2n 5即 1，an 12 n 1 5 an2n 5所以数列 是以 5 为首项，以 1为公差的等差数列，an2n 5 152 5所以 5( n1)1 n6，an2n 5即 an( n6)(2 n5)，由此可以判断出 a3， a4， a5这三项是负数，从而得到当 n5， m2
5、时， Sn Sm取得最小值，且 Sn Sm S5 S2 a3 a4 a536514. 8已知等差数列 an的前 n项和为 Sn，若 a4 a12 a88， a10 a64，则 S23( )A23 B96 C224 D276【解析】设等差数列 an的公差为 d，依题意得 a4 a12 a82 a8 a8 a88， a10 a64 d4，解得d1，所以 a8 a17 d a178，解得 a11，所以 S23231 1276，选 D.23222【答案】D9已知数列 an为等比数列，且 a11， a34， a57 成等差数列，则公差 d为( )A2 B3 C4 D5【解析】设 an的公比为 q，由题意
6、得 2(a34) a11 a572 a3 a1 a52q21 q4q21，即a1 a3， d a34( a11)413，选 B.【答案】B10等比数列 an中，已知 a1 a38， a5 a74，则 a9 a11 a13 a15的值为( )A1 B2 C3 D5【解析】因为 an为等比数列，所以 a5 a7是 a1 a3与 a9 a11的等比中项，所以( a5 a7)2( a1 a3)(a9 a11)，故 a9 a11 2； a5 a7 2a1 a3 428同理， a9 a11是 a5 a7与 a13 a15的等比中项，4所以( a9 a11)2( a5 a7)(a13 a15)，故 a13
7、a15 1.所以 a9 a11 a13 a15213. a9 a11 2a5 a7 224【答案】C11已知等比 数列 an中 a21，则其前 3项的和 S3的取值范围是( )A(，1 B(，0)1，)C3，) D(，13，)12等差数列 an， bn的前 n项和分别为 Sn， Tn，若 (nN *)，则 ( )SnTn 38n 142n 1 a6b7A16 B. C. D.24215 43223 49427【解析】令 Sn38 n214 n， Tn2 n2 n， a6 S6 S5386 2146(385 2145)381114； b7 T7 T627 27(26 26)2131， 16.故选
8、 A.a6b7 3811 14213 1 43227【答案】A13已知等差数列 an的公差 d0，且 a1， a3， a13成等比数列，若 a11， Sn是数列 an的前 n项的和，则 (nN *)的最小值为( )2Sn 16an 3A4 B3 C2 2 D.392【解析】 a11， a1、 a3、 a13成等比数列，(12 d)2112 d.得 d2 或 d0(舍去) an2 n1， Sn n2，n 1 2n 12 .令 t n1，2Sn 16an 3 2n2 162n 2则 t 2624 当且仅当 t3，2Sn 16an 3 9t5即 n2 时等号成立， 的最小值为 4.故选 A.2Sn
9、16an 3【答案】A14已知等差数列 an的公差不为 0， a11，且 a2， a4， a8成等比数列，设 an的前 n项和为 Sn，则Sn_.答案 (nN *)n n 12解析 设等差数列 an的公差为 d. a2， a4， a8成等比数列， a a2a8，即( a13 d)2( a1 d)(a17 d)，24(13 d)2(1 d)(17 d)，解得 d1 或 d0(舍) Sn na1 d (nN *)n n 12 n n 1215等差数列 an的前 n项和为 Sn，若 a28，且 Sn S7，则公差 d的取值范围是_答案 85， 43解析 a28 a1 d， a18 d，Sn na1
10、d(8 d)n dn n 12 n n 12 dn2 n，12 (8 32d)对称轴为 n ，32 8d Sn S7， S7为 Sn的最大值，由二次函数的性质可得，Error!得 d ，85 43即 d的取值范围是 .85， 4316已知数列 an与 (nN *)均为等差数列，且 a12，则 a1 2 3 n_.a2nn (a22) (a33) (ann)答案 2 n1 2解析 设 an2( n1) d，所以 a2nn 2 n 1 d2n6 ，d2n2 4d 2d2 n d 2 2n由于 为等差数列，a2nn所以其通项是一个关于 n的一次函数，所以( d2) 20， d2.所以 an22( n
11、1)2 n， 2.ann 2nn所以 a1 2 3 n2 12 22 n 2 n1 2.(a22) (a33) (ann) 2 1 2n1 217意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，即 F(1) F(2)1， F(n) F(n1) F(n2)( n3， nN *)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被 3整除后的余数构成一个新数列 ，则 b2 017_.bn答案 1解析 由题意得引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，此
12、数列被 3 整除后的余数构成一个新数列为 1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，构成以 8项为周期的周期数列，所以 b2 017 b11.18已知数列 an满足 nan2 ( n2) an (n22 n)，其中 a11， a22，若 an2，若 n1，则 R；若 n1，则 ，所以 0.2n 1当 n为偶数时，由 an2，所以 ，即 0.23n综上， 的取值范围为0，)19已知等差数列 an中， a3 ，则 cos(a1 a2 a6)_.4【解析】在等差数列 an中， a1 a2 a6 a2 a3 a43 a3 ，cos( a1 a2 a6)cos .34 34 22【
13、答案】2220若等比数列 an的前 n项和为 Sn，且 5，则 _.S4S2 S8S4【解析】解法一：设数列 an的公比为 q，由已知得 1 5，即 1 q25，S4S2 a3 a4a1 a2所以 q24， 1 1 q411617.S8S4 a5 a6 a7 a8a1 a2 a3 a4解法二：由等比数列的性质可知， S2， S4 S2， S6 S4， S8 S6成等比数列，若设 S2 a，则 S45 a，由( S4 S2)2 S2(S6 S4)得 S621 a，同理得 S885 a，所以 17.S8S4 85a5a【答案】1721已知数列 xn各项均为正整数，且满足 xn1 Error! nN
14、 *.若 x3 x43，则 x1 所有可能取值的集合为_822已知数列 an是等差数列，满足 a12， a48，数列 bn是等比数列，满足 b24， b532.(1)求数列 an和 bn的通项公式；(2)求数列 an bn的前 n项和 Sn.【解析】(1)设等差数列 an的公差为 d，由题意得 d 2，a4 a13所以 an a1( n1) d 2( n1)22 n.设等比数列 bn的公比为 q，由题意得 q3 8，解得 q2.b5b2因为 b1 2，所以 bn b1qn1 22 n1 2 n.b2q(2)由(1)可得， Sn n2 n2 n1 2.n 2 2n2 2 1 2n1 223已知数
15、列 an和 bn满足： a1 ， an1 an n4， bn(1) n(an3 n21)，其中 为实数， n为23正整数(1)对任意实数 ，证明数列 an不是等比数列；(2)试判断数列 bn是否为等比数列，并证明你的结论(1)证明：假设存 在一个实数 ，使 an是等比数列，则有 a a1a3，即 2 ，故2 (23 3) (49 4) 24 9 24 ，即 90，这与事实相矛盾所以对任意实数 ，数列 an都不是等比数列49 49(2)因为 bn1 (1) n1 an1 3( n1)21(1) n1 (1) n(an3 n21)(23an 2n 14) 23 bn， b1( 18)，所以当 18 时， b10( nN *)，此时 bn不是等比数列；23当 18 时， b1( 18)0，则 bn0，所以 (nN *) bn 1bn 23故当 18 时，数列 bn是以( 18)为首项， 为公比的等比数列 239
