1、第十八章 平行四边形,本 章 总 结 提 升,本章总结提升,知 识 框 架,本章总结提升,本章总结提升,类型之一 平行四边形的性质与判定,本章总结提升,平行四边形是一类特殊的四边形，它的性质和判定可以用来解决许多问题，如线段(或角)的相等关系的证明，线段(或角)的计算等并且为证明三角形全等，特殊三角形问题提供了依据解决平行四边形问题，常用的辅助线如下： (1)连接对角线，把平行四边形分成两个全等的三角形 (2)过顶点作一边的垂线，将平行四边形分成两个直角三角形和一个矩形 (3)连接对角线的交点与一边中点，构造三角形中位线,整 合 提 升,本章总结提升,本章总结提升,解析 (1) 利用“AAS”
2、或者“ASA”证明AMDCMN，得ADCN，然后利用ADCN，ADCN证明四边形ADCN是平行四边形 (2)利用直角三角形的性质得AN的长，然后利用勾股定理求得AM的长，从而计算出RtAMN的面积，而SADCN4SAMN.,本章总结提升,本章总结提升,本章总结提升,本章总结提升,本章总结提升,本章总结提升,类型之二 特殊平行四边形(如矩形、菱形、正方形)的性 质与判定,矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质，但又有一些特殊的性质它们各自的性质可以为证明有关线段相等，角相等，直线平行与垂直等问题提供新的方法和思路在证明一个四边形是矩形、菱形、正方形时，要选择恰当的方
3、法，灵活解决问题,本章总结提升,本章总结提升,解析 (1)由矩形对角线互相平分及平行线的内错角相等得到BOEDOF. (2)当EFAC时，四边形AECF是菱形，可先证四边形AECF是平行四边形再推出它是菱形,本章总结提升,解：(1)证明：四边形ABCD是矩形， OBOD，AECF， EF，OBEODF， BOEDOF. (2)当EFAC时，四边形AECF是菱形 证明：四边形ABCD是矩形， OAOC. 又BOEDOF，OEOF， 四边形AECF是平行四边形 又EFAC，平行四边形AECF是菱形,本章总结提升,【归纳总结】 特殊平行四边形的判定方法： 判定一个四边形是矩形、菱形或正方形时，可以先
4、判定这个四边形是平行四边形，再结合图形，根据条件，灵活选择合适的方法,本章总结提升,解析 连接CF，证CDFCEF，得DFEF.可证AEEF，故AEEFDF.,本章总结提升,证明：如图，连接CF，在正方形ABCD中，DDAB90，AC平分DAB， DACCAB45. 又EFAC， DACAFE45， AEEF. 在RtCEF和RtCDF中， CECD，CFCF， RtCEFRtCDF(HL)， EFDF，AEEFDF.,本章总结提升,点评 本题考查的是正方形的性质，解题中易忽视AEF是等腰直角三角形解题的关键是证AEF是等腰直角三角形，连接CF，证CDFCEF.,本章总结提升,类型之三 特殊四
5、边形的折叠问题,折叠问题是轴对称与等腰三角形、直角三角形、矩形、菱形等图形的性质的综合运用，不论折叠的形式怎样，折痕所在的直线一定为图形的对称轴在解答此类问题时应注意：(1)在分析图形变换的过程中充分利用轴对称的性质；(2)折叠前后的图形能够完全重合，所以对应边相等、对应角相等；(3)计算时常利用勾股定理来建立方程或由面积求解.,本章总结提升,例3 现有一张矩形纸片ABCD，如图18T6所示，其中AB4 cm，BC6 cm，E是BC的中点实际操作：将纸片沿直线AE折叠，使点B落在四边形AECD内，记为点B. (1)请用尺规，在图中作出AEB(保留作图痕迹)； (2)试求B，C两点之间的距离,本
6、章总结提升,解析 (1)只要作出点B关于直线AE的对称点B，连接AB，EB即可 (2)由对称的性质和条件，知BEBEEC，因而有EBBEBB，EBCECB.由三角形内角和定理可得到BBC90，这时BBC为直角三角形，在RtABE中利用勾股定理和面积公式求出BF的长，易得RtBBC的直角边BB的长，再利用勾股定理不难求出BC的长,本章总结提升,解：(1)如图所示 (2)如图18T7，连接BB，设BB与AE交于点F. 因为点B，B关于直线AE对称， 所以BEBE， 所以EBBEBB. 因为BEEC，所以BEEC， 所以ECBEBC. 因为EBBEBBEBCECB180， 所以BBC90.,本章总结
7、提升,因为BC6 cm，E是BC的中点， 所以BE3 cm.,本章总结提升,【归纳总结】 几何图形的折叠问题与轴对称的知识紧密相连，解决它有两个“秘诀”：(1)折痕两边折叠部分是全等的(对应边、对应角相等)；(2)折叠的某点与所落位置点所连线段被折痕垂直平分掌握上述两个“秘诀”便可使折叠问题迎刃而解,本章总结提升,D,本章总结提升,本章总结提升,类型之四 特殊四边形中的探究问题,有关特殊四边形中的探究问题是涉及特殊四边形的几何动态型问题，考查同学们自主探索、发现问题、总结规律的能力,本章总结提升,本章总结提升,解：(1)添加条件：BECF(答案不唯一) 证明：如图，BECF，12. 点H是边B
8、C的中点，BHCH. 又34， BEHCFH.,本章总结提升,(2)当BHEH时，四边形BFCE是矩形理由如下： 如图，连接BF，CE.BEHCFH， BHCH，EHFH， 四边形BFCE是平行四边形 又BHEH，BCEF， 四边形BFCE是矩形,本章总结提升,【针对训练】,4(1)如图18T9，在正方形ABCD中，M是BC边(不含端点B，C)上任意一点，P是BC延长线上一点，N是DCP的平分线上一点若AMN90.求证：AMMN. 下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明 证明：在边AB上截取AEMC，连接ME.正方形ABCD中，BBCD90，ABBC，,本章总结提升,本章总结提升,(2)如图18T9，若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”，N是ACP的平分线上一点，则当AMN60时，结论AMMN是否还成立？请说明理由； (3)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCDX”，请你作出猜想：当AMN_时，结论AMMN仍然成立(直接写出答案，不需要证明),本章总结提升,本章总结提升,
