1、第5讲 三角函数的图象与性质,总纲目录,考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系,1.三角函数:设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x, y),则sin =y,cos =x,tan = .各象限角的三角函数值的符号:一全 正,二正弦,三正切,四余弦.,2.同角关系:sin2+cos2=1, =tan .,3.诱导公式:在 +,kZ的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象 限”.,1.若sin =- ,且 ,则tan(-)= ( ) A. B. C.- D.-,答案 A,解析 由sin =cos =- ,且 , 得sin = = , 所以tan(-)=-tan =- =- = .,2.已知si
2、n cos = ,则cos -sin = ( ) A. B.- C. D.-,答案 B,解析 由 cos ,即cos -sin 0,又(cos -sin )2=1 -2sin cos =1-2 = ,所以cos -sin =- .故选B.,3.(2017北京,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,角与角均以Ox为 始边,它们的终边关于y轴对称.若sin = ,则cos(-)= .,答案 -,解析 解法一:由已知得=(2k+1)-(kZ). sin = ,sin =sin(2k+1)-=sin = (kZ). 当cos = = 时,cos =- , cos(-)=cos cos +sin sin
3、 = + =- . 当cos =- =- 时,cos = , cos(-)=cos cos +sin sin = + =- . 综上,cos(-)=- .,解法二:由已知得=(2k+1)-(kZ), sin =sin(2k+1)-=sin ,cos =cos(2k+1)-=-cos ,kZ. 当sin = 时,cos(-)=cos cos +sin sin =-cos2+sin2=-(1-sin2 )+sin2=2sin2-1=2 -1=- .,方法归纳,应用三角函数的概念和诱导公式应注意以下两点 (1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解 决,机械地使用三角函数的定义就会出现
4、错误. (2)应用诱导公式与同角三角函数关系开方运算时,一定要注意三 角函数的符号;利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则, 如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.,考点二 三角函数的性质,1.三角函数的单调区间 y=sin x的单调递增区间是 (kZ),单调递减区间 是 (kZ);y=cos x的单调递增区间是2k-,2k (kZ),单调递减区间是2k,2k+(kZ);y=tan x的单调递增区 间是 (kZ).,2.三角函数的奇偶性与对称轴方程 y=Asin(x+),当=k(kZ)时为奇函数;当=k+ (kZ)时为偶 函数;对称轴方程可由x+=k+ (kZ)求得. y=Acos(x
5、+),当=k+ (kZ)时为奇函数;当=k(kZ)时为偶 函数;对称轴方程可由x+=k(kZ)求得. y=Atan(x+),当=k(kZ)时为奇函数.,例 (1)(2017课标全国,6,5分)设函数f(x)=cos ,则下列结 论错误的是 ( ) A.f(x)的一个周期为-2 B.y=f(x)的图象关于直线x= 对称 C.f(x+)的一个零点为x= D.f(x)在 上单调递减,A. B. C. D.,(2)(2018课标全国,10,5分)若f(x)=cos x-sin x在-a,a是减函数,则 a的最大值是 ( ),答案 (1)D (2)A,解析 (1)f(x)的最小正周期为2,易知A正确;f
6、 =cos = cos 3=-1,为f(x)的最小值,故B正确;f(x+)=cos =-cos,f =-cos =-cos =0,故C正确;由于f = cos =cos =-1,为f(x)的最小值,故f(x)在 上不单调,故 D错误. (2)本题主要考查三角函数的图象和性质. f(x)=cos x-sin x= cos ,由题意得a0,故-a+ , 因为f(x)= cos 在-a,a是减函数, 所以 解得0a , 所以a的最大值是 ,故选A.,方法归纳,三角函数的单调性及周期性的求法 (1)三角函数单调性的求法: 求形如y=Asin(x+)(或y=Acos(x+)(A、为常数,A0, 0)的单
7、调性的一般思路是令x+=z,则y=Asin z(或y=Acos z),然后 由复合函数的单调性求解. (2)三角函数周期性的求法: 函数y=Asin(x+)(或y=Acos(x+)的最小正周期T= .应特别 注意y=|Asin(x+)|的周期T= .,1.(2016课标全国,11,5分)函数f(x)=cos 2x+6cos 的最大值 为( ) A.4 B.5 C.6 D.7,答案 B f(x)=cos 2x+6cos =cos 2x+6sin x=1-2sin2x+6sin x =-2 + , 又sin x-1,1,当sin x=1时,f(x)取得最大值5.,2.已知f(x)=2sin2x+2
8、sin xcos x,则f(x)的最小正周期和一个单调递 增区间为 ( ) A.2, B., C.2, D.,答案 D f(x)=2sin2x+2sin xcos x=1-cos 2x+sin 2x=1+ sin,则f(x)的最小正周期T=,由- +2k2x- +2k,kZ 得- +kx +k,kZ,结合选项知,f(x)的一个单调递增区间 为 .,3.已知函数f(x)=sin x-cos x(0)的最小正周期为. (1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程; (2)讨论函数f(x)在 上的单调性.,解析 (1)f(x)=sin x-cos x= sin ,且T=,=2,于是 f(x)= sin
9、. 令2x- =k+ (kZ),得x= + (kZ), 即函数f(x)图象的对称轴方程为x= + (kZ). (2)令2k- 2x- 2k+ (kZ), 得函数f(x)的单调递增区间为 (kZ). 注意到x ,所以令k=0,得函数f(x)在 上的单调递增区,间为 ; 同理,其单调递减区间为 .,考点三 三角函数的图象,函数y=Asin(x+)的图象 (1)“五点法”作图: 设z=x+,分别令z=0, , ,2,求出相应x的值与相应y的值,描 点、连线可得其图象. (2)图象变换: y=sin x y=sin(x+)y=sin(x+)y=Asin(x+).,命题角度一:三角函数的图象变换,例1
10、(1)(2018山东潍坊统一考试)函数f(x)= sin 2x-cos 2x的图 象向右平移 个单位长度后,得到函数g(x)的图象,若函 数g(x)为偶函数,则的值为 ( ) A. B. C. D.,(2)(2017课标全国,9,5分)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin , 则下面结论正确的是 ( ) A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到,的曲线向右平移 个单位长度,得到曲线C2 B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到 的曲线向左平移 个单位长度,得到曲线C2 C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,再把得到的 曲线向右
11、平移 个单位长度,得到曲线C2 D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,再把得到的 曲线向左平移 个单位长度,得到曲线C2,答案 (1)B (2)D,解析 (1)由题意知f(x)= sin 2x-cos 2x=2sin ,其图象向右 平移个单位长度后,得到函数g(x)=2sin 的图象,因为 g(x)为偶函数,所以2+ = +k,kZ,所以= + ,kZ,又,所以= . (2)y=sin =cos =cos =cos , 由y=cos x的图象得到y=cos 2x的图象,需将曲线C1上各点的横坐 标缩短到原来的 ,纵坐标不变;由y=cos 2x的图象得到y=cos,的图象,需将y=
12、cos 2x的图象上的各点向左平移 个单 位长度,故选D.,方法归纳,处理三角函数图象平移问题的“三看”策略,例2 (1)已知函数f(x)=Asin(x+)(0,00,0,0)的图象与x轴的一,命题角度二:由图象确定三角函数的解析式,个交点 到其相邻的一条对称轴的距离为 ,若f = ,则 函数f(x)在 上的最小值为 ( ) A. B.- C.- D.-,答案 (1)B (2)C,解析 (1)根据题中所给图象可知,函数f(x)的最小正周期T=2 =2,A=2,= =,f =2sin =-2,又0,所以=,所以f(x)=2sin ,所以f(1)=2sin =-1,故选B. (2)由题意得,函数f
13、(x)的最小正周期T=4 = ,解得=2.因为 点 在函数f(x)的图象上,所以Asin =0,解得=k + ,kZ,由0,可得= .因为f = ,所以Asin =,解得A= ,所以f(x)= sin .x ,2x+ ,sin , f(x)的最小值为- .,方法归纳,函数表达式y=Asin(x+)的确定方法 已知函数y=Asin(x+)(A0,0)的图象求解析式时,常采用待定 系数法,由图中的最高点、最低点或特殊点求A;由函数的周期确 定;确定常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一 个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置.,1.若直线y=a(a为常数)与正切曲线y=ta
14、n x相交,则相交的相邻两 点间的距离是 ( ) A. B.2 C. D.与a值有关,答案 C 利用图象,直线y=a(a为常数)与正切曲线y=tan x相交, 知相交两点间的距离就是此正切曲线的最小正周期,因此可得相 交的相邻两点间的距离是.,2.已知函数f(x)=2sin(x+) 的部分图象如图所示, 其中f(0)=1,|MN|= ,将f(x)的图象向右平移1个单位,得到函数g(x) 的图象,则g(x)的解析式为 ( )A.y=2sin,B.y=2cos x C.y=2sin D.y=-2cos x,答案 B f(0)=1,2sin =1.又 ,= .如图,过M作 MFx轴,垂足为F,则MF=2,FN= = , =4 ,=,f(x)=2sin ,g(x)=2sin =2sin = 2cos x.故选B.,
