1、第2课时,特殊的平行四边形,1.理解矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系.2.探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直，以及它们的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形.正方形具有矩形和菱形的一切性质.,),1.(2017 年湖北十堰)下列命题错误的是(A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.对角线相等的平行四边形是矩形C.一条对角线平分一组对角的四边形是菱形D.对角线互相垂直的矩形是正方形答案：C,2.(2017 年湖南怀化)如图
2、4-3-25，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AOB60，AC6 cm，则 AB 的,长是(,),图 4-3-25,A.3 cm,B.6 cm,C.10 cm,D.12 cm,答案：A,),3.关于 ABCD 的叙述，正确的是(A.若 ABBC，则 ABCD 是菱形B.若 ACBD，则 ABCD 是正方形C.若 ACBD，则 ABCD 是矩形D.若 ABAD，则 ABCD 是正方形答案：C,4.(2017 年四川宜宾)如图 4-3-26，在菱形 ABCD 中，若 AC,6，BD8，则菱形 ABCD 的面积是_.,图 4-3-26答案：24,5.如图 4-3-27，在平行
3、四边形 ABCD 中，延长 AD 到点 E，使 DE AD ， 连 接 EB ， EC ， DB ， 请你添加一个条件_，使四边形 DBCE 是矩形.,图 4-3-27,答案：EBDC(答案不唯一),(续表),(续表),菱形的性质与判定,例 1：(2017 年北京)如图 4-3-28，在四边形 ABCD 中，BD 为一条对角线，ADBC，AD2BC，ABD90，E 为 AD 的中点，连接 BE.,图 4-3-28,(1)求证：四边形 BCDE 为菱形；,(2)连接 AC，若 AC 平分BAD，BC1，求 AC 的长.,思路分析(1)先证四边形 BCDE 是平行四边形，再证其为,菱形；,(2)利
4、用等腰三角形的性质，锐角三角函数，即可求解.(1)证明：如图 4-3-29，E 为 AD 中点，AD2BC，BC,ED.,图 4-3-29,ADBC, 四边形 BCDE 是平行四边形.ABD90，AEDE，BEED.四边形 BCDE 是菱形.,(2)解：连接 AC，如图 4-3-29.ADBC，AC 平分BAD，,BACDACBCA.BABC1.,【试题精选】,1.(2016 年山东滨州节选)如图 4-3-30，BD 是ABC 的角平分线，它的垂直平分线分别交 AB，BD，BC 于点 E，F，G，连接 ED，DG.请判断四边形 EBGD 的形状，并说明理由.,图 4-3-30,解：(1)四边形
5、 EBGD 是菱形理由如下：EG 垂直平分 BD，EBED，GBGD.EBDEDB.EBDDBC，EDFGBF.在EFD 和GFB 中，,EFDGFB(ASA)EDBG.BEEDDGGB.四边形 EBGD 是菱形,2.(2016 年贵州安顺)如图 4-3-31，在 ABCD 中，BC2AB,4，点 E，F 分别是 BC，AD 的中点.,(1)求证：ABECDF；,(2)当四边形 AECF 为菱形时，求出该菱形的面积.,图 4-3-31,(1)证明：在 ABCD 中，ABCD，BCAD，ABC,CDA，,BEDF.ABECDF(SAS),(2)解：四边形 AECF 为菱形时，AEEC.又点 E
6、是边 BC 的中点，BEEC，即 BEAE.,名师点评菱形的性质可以用于证明线段相等、角相等、直线平行、垂直等，常与三角形全等、勾股定理、方程相结合进行相关问题的计算与证明.,矩形的性质与判定,例 2：(2017 年江苏徐州)如图 4-3-32，在 ABCD 中，点 O是边 BC 的中点，连接 DO 并延长，交 AB 延长线于点 E，连接BD，EC.,图 4-3-32,(1)求证：四边形 BECD 是平行四边形；,(2)若A50，则当BOD_时，四边形 BECD,是矩形.,思路分析(1)由 AAS 证明BOECOD，得出 OE,OD，即可得出结论；,(2)由平行四边形的性质得出BCDA50，由
7、三角形的外角性质求出ODCBCD，得出 OCOD，证出 DEBC，即可得出结论.,(1)证明：四边形 ABCD 为平行四边形，ABDC，ABCD.OEBODC.,又O 为 BC 的中点，,(2)解析：若A50，则当BOD100时，四边形,BECD 是矩形.理由如下：,四边形 ABCD 是平行四边形， BCDA50.,BODBCDODC，,ODC1005050BCD. OCOD.,BOCO，ODOE， DEBC.,四边形 BECD 是平行四边形， 四边形 BECD 是矩形. 答案：100,【试题精选】3.(2017 年山西)如图 4-3-33，将矩形纸片 ABCD 沿 BD 折叠，得到BCD，C
8、D与 AB 交于点 E.若135，则2 的度,数为(,),图 4-3-33,A.20,B.30,C.35,D.55,答案：A,4.(2015 年山东聊城)如图 4-3-34，在ABC 中，ABBC，BD 平分ABC.四边形 ABED 是平行四边形，DE 交 BC 于点 F，连接 CE.,求证：四边形 BECD 是矩形.,图 4-3-34,证明：ABBC，BD 平分ABC，BDAC，ADCD.,四边形 ABED 是平行四边形，,BEAD，BEAD.BECD，BECD.四边形 BECD 是平行四边形BDAC，BDC90.四边形 BECD 是矩形,名师点评矩形的四个角为直角，常将矩形转化为直角三角形
9、；矩形的对角线将矩形分成四个等腰三角形，这些思路及矩形性质是证明线段、角相等以及线段平行、垂直的重要依据.,正方形的性质与判定,例 3：(2017 年湖南怀化)如图 4-3-35，四边形 ABCD 是正,方形，EBC 是等边三角形.(1)求证：ABEDCE；(2)求AED 的度数.,图 4-3-35,(1)证明：四边形 ABCD 是正方形，EBC 是等边三角形，BABCCDBECE，ABCBCD90，EBCECB60.ABEDCE30.在ABE 和DCE 中，,ABEDCE(SAS).,(2)解：BABE，ABE30，,BAD90，,EAD907515.同理可得ADE15.AED1801515
10、150.,【试题精选】5.(2016 年贵州毕节)如图 4-3-36，正方形 ABCD 的边长为 9，将正方形折叠，使顶点 D 落在 BC 边上的点 E 处，折痕为 GH.,),若 BEEC21，则线段 CH 的长是(图 4-3-36,A.3,B.4,C.5,D.6,答案：B,解题技巧与正方形有关的计算及推理题常与三角形的全等、勾股定理、方程、三角函数相联系，有关正方形的判定方法较多，一般在矩形、菱形的基础上，从边、角、对角线三个方向进一步分析、判断与证明.,1.(2017 年广东)如图 4-3-37，已知正方形 ABCD，点 E 是BC 边的中点，DE 与 AC 相交于点 F，连接 BF，下
11、列结论：SABFSADF；SCDF4SCEF；SADF2SCEF；SADF,2SCDF，其中正确的是(,)图 4-3-37,A.,B.,C.,D.,答案：C,2.(2016 年广东)如图 4-3-38，正方形 ABCD 的面积为 1，则,),以相邻两边中点连接 EF 为边的正方形 EFGH 的周长为(图 4-3-38,答案：B,3.(2015 年广东)如图 4-3-39，菱形 ABCD 的边长为 6，ABC,60，则对角线 AC 的长是_.,图 4-3-39,答案：6,4.(2015 年广东)如图 4-3-40，在边长为 6 的正方形 ABCD中，E 是边 CD 的中点，将ADE 沿 AE 对
12、折至AFE，延长EF 交边 BC 于点 G，连接 AG.,(1)求证：ABGAFG； (2)求BG的长.,图 4-3-40,解：(1)在正方形 ABCD 中，ADABBCCD，DBC90.将ADE 沿 AE 对折至AFE，ADAF，DEEF，DAFE90.ABAF，BAFG90.,ABGAFG(HL),(2)由(1)，得BGFG. 设BGFGx，则GC6x. E为CD的中点，CEEFDE3. EG3x. 在RtCEG中，32(6x)2(3x)2.解得x2. BG2.,5.(2017 年广东)如图 4-3-41，已知四边形 ABCD，ADEF 都,是菱形，BADFAD ，BAD 为锐角.,(1)求证：ADBF；,(2)若 BFBC，求ADC 的度数.,图 4-3-41,(1)证明：如图 D24，连接 DB，DF.,图 D24,四边形 ABCD，ADEF 都是菱形，,ABBCCDDA，ADDEEFFA .在BAD 与FAD 中，,BADFAD .DBDF.D 在线段 BF 的垂直平分线上ABAF，A 在线段 BF 的垂直平分线上AD 是线段 BF 的垂直平分线ADBF.,(2)解：如图 D25，设 ADBF 于 H，作 DGBC 于 G，则,四边形 BGDH 是矩形，,图 D25,BFBC，BCCD，,
