1、微专题6 隐形圆问题,微专题6 隐形圆问题 题型一 与圆的切线有关的隐性圆,例1 已知圆O:x2+y2=1,直线l:ax+y=3,若直线l上存在点P,过点P作圆O的两条 切线,切点为A,B,使得APB=60,则实数a的取值范围是 .,答案 ,解析 由APB=60,得APO=30,PO=2OA=2,则点P的轨迹是以点O为圆 心,2为半径的圆,方程为x2+y2=4.又直线l上存在点P,所以直线l:ax+y=3与圆x2+ y2=4相切或相交,则 2.解得a- 或a .,【方法归纳】 与圆的切线相关的问题,一般连接圆心与切点,在直角三角形 中利用边角关系转化,最终求出动点的轨迹方程(即隐性圆),将问题
2、转化为直 线与圆、圆与圆的位置关系求解.,1-1 已知圆O:x2+y2=1,直线l:ax+y=3,若直线l上存在点P,过点P作圆O的两条 切线,切点为A,B,使得四边形OAPB为正方形,则实数a的取值范围是 .,答案 ,解析 由四边形OAPB为正方形,得APB=90.所以APO=45,PO= OA=.所以点P的轨迹是以点O为圆心, 为半径的圆,方程为x2+y2=2.又直线l上 存在点P,所以直线l:ax+y=3与圆x2+y2=2相切或相交,则 ,解得a - 或a .,题型三 与相交弦有关的隐性圆,例2 (2017连云港高三模拟)在平面直角坐标系xOy中,圆C:(x+2)2+(y-m)2=3.
3、若圆C存在以G为中点的弦AB,且AB=2GO,则实数m的取值范围是 .,答案 - , ,解析 由AB=2 =2GO,得GO2+CG2=3.设点G(x,y),则x2+y2+(x+2)2+(y-m)2 =3.整理,得(x+1)2+ = ,m22,此即为点G的轨迹方程.又点G在圆C 的内部,则 + .两边平方并化简,得 - 恒成立.所 以只要m22即可.故m的取值范围是- , .,【方法归纳】 当直线与圆相交时,特征三角形(由弦心距、半弦长、半径构 成)的应用是最普遍的,在特征三角形中应用边角关系求出动点的条件是解题 的关键.,2-1 已知A,B是圆O:x2+y2=1上的动点,满足AB= ,P是圆C
4、:(x-3)2+(y-4)2=1上 的动点,则| + |的取值范围是 .,答案 7,13,解析 设AB的中点为Q,则OQ= ,点Q的轨迹方程是x2+y2= .所以 =2.又点P在圆C上,OC=5,所以 .所以 7,13.,2-2 已知A,B是圆O:x2+y2=9上的动点,且直线AB过定点M(2,0),P是圆C:(x-3)2+ (y-4)2=1上的动点,则 的取值范围是 .,答案 4 -8,4 +8,解析 设AB的中点为Q,则OQQM,即点Q在以OM为直径的圆上,点Q的轨 迹方程是(x-1)2+y2=1.所以 =2 .又点P在圆C上,圆心距为2 ,则 2 -4,2 +4.所以 4 -8,4 +8
5、.,2-3 (2018泰州中学高三月考)已知动直线y=kx+4-3k与函数f(x)= 的图 象交于A,B两点,点P (x, y) 是平面上的动点,且满足| + |=2,则x2+y2的取值 范围为 .,答案 16,36,解析 函数f(x)的图象关于点C(3,4)对称,直线y=k(x-3)+4也经过点C(3,4),所以 A,B两点关于点C对称, =2 =2, =1,即点P的轨迹是以C为圆心、1 为半径的圆,圆心C到原点的距离是5.所以圆C上的点到原点的距离 4,6,则x2+y216,36.,1.(2018扬州中学高三模拟)若直线kx-y-k+2=0与直线x+ky-2k-3=0交于点P,则 OP长度
6、的最大值为 .,答案 2 +1,解析 直线kx-y-k+2=0恒过点A(1,2),直线x+ky-2k-3=0恒过点B(3,2),且两直线 垂直,则它们的交点P的轨迹是以AB为直径的圆,方程是(x-2)2+(y-2)2=1.又圆心 (2,2)到原点O的距离为2 ,所以OP长度的最大值为2 +1.,2.(2017南京、盐城高三模拟)在平面直角坐标系xOy中,直线l1:kx-y+2=0与直 线l2:x+ky-2=0相交于点P,则当实数k变化时,点P到直线x-y-4=0的距离的最大 值为 .,答案 3,解析 由题意可得,直线l1恒过定点(0,2),直线l2恒过定点(2,0),且l1l2,则点P的 轨迹
7、是以(0,2)和(2,0)为直径两端点的圆,方程为(x-1)2+(y-1)2=2.又圆心(1,1)到 直线x-y-4=0的距离为 =2 ,所以点P到直线x-y-4=0的距离的最大值 为3 .,3.(2017江苏扬州高三期末)已知ABC是边长为3的等边三角形,点P是以A为 圆心的单位圆上一动点,点Q满足 = + ,则| |的最小值是 .,答案 -,解析 以点A为坐标原点,AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设P(x0,y0), Q(x,y), 则x02+y02=1, 所以 代入 + =1,得(x-1)2+y2= ,此即为点Q的轨迹方程.又B ,则点B到圆心 (1,0)的距离为 ,所以| |的最小值是 - .,
