1、1第 1 讲 基础小题部分一、选择题1已知椭圆的中心在原点，离心率 e ，且它的一个焦点与抛物线 y24 x 的焦点重合，12则此椭圆方程为 ( )A. 1 B. 1x24 y23 x28 y26C. y21 D. y21x22 x24解析：依题意，可设椭圆的标准方程为 1( ab0)，由已知可得抛物线的焦点为x2a2 y2b2(1,0)，所以 c1，又离心率 e ，解得 a2， b2 a2 c23，所以椭圆方程为ca 12 1，故选 A.x24 y23答案：A2若椭圆 1( ab0)的右焦点 F 是抛物线 y24 x 的焦点，两曲线的一个交点为x2a2 y2b2P，且| PF|4，则该椭圆的
2、离心率为 ( )A. B.7 23 2 13C. D.23 12解析：设 P(x， y)，由题意，得 F(1,0)，因为| PF| x14，所以 x3， y212，则 1，且 a21 b2，解得 a2114 ，即 a 2，则该椭圆的离心率 e 9a2 12b2 7 7 ca .故选 A.17 2 7 23答案：A3若直线 x2 y20 经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )A. y21x25B. y21 或 1x25 x24 y252C. 1x24 y25D以上答案都不对解析：直线与坐标轴的交点为(0,1)，(2,0)，由题意知当焦点在 x 轴上时， c2， b1， a25，
3、所求椭圆的标准方程为 y21.x25当焦点在 y 轴上时， b2， c1， a25，所求椭圆标准方程为 1.y25 x24答案：B4 O 为坐标原点， F 为抛物线 C： y24 x 的焦点， P 为 C 上一点，若| PF|4 ，则2 2POF 的面积为 ( )A2 B2 2C2 D43解析：由题意知，抛物线的焦点 F( ，0)，设 P(xP， yP)，结合抛物线的定义及2|PF|4 ，可知 xP3 ，代入抛物线方程求得 yP2 ，所以 S POF |OF|yP22 2 612.3答案：C5已知 F1， F2是双曲线 E： 1 的左，右焦点，点 M 在 E 上， MF1与 x 轴垂直，x2a
4、2 y2b2sin MF2F1 ，则 E 的离心率为 ( )13A. B.232C. D23解析：因为 MF1与 x 轴垂直，所以| MF1| .又 sin MF2F1 ，所以 ，即b2a 13 |MF1|MF2| 13|MF2|3| MF1|.由双曲线的定义得 2a| MF2| MF1|2| MF1| ，所以 b2 a2，所以2b2ac2 b2 a22 a2，所以离心率 e .ca 2答案：A6(2018高考北京卷)在平面直角坐标系中，记 d 为点 P(cos ，sin )到直线x my20 的距离当 ， m 变化时， d 的最大值为 ( )A1 B23C3 D4解析：由题意可得 d|cos
5、 msin 2|m2 1|msin cos 2|m2 1|m2 1 mm2 1sin 1m2 1cos 2|m2 1 (其中 cos ，sin )，|m2 1sin 2|m2 1 mm2 1 1m2 11sin( )1， d ， 1 ，|2 m2 1|m2 1 m2 1 2m2 1 m2 1 2m2 1 2m2 1当 m0 时， d 取最大值 3，故选 C.答案：C7椭圆 C： y21( a0)的左、右焦点分别为 F1、 F2， P 为椭圆上异于端点的任意一点，x2a2PF1， PF2的中点分别为 M， N.O 为坐标原点，四边形 OMPN 的周长为 2 ，则 PF1F2的周3长是 ( )A2
6、( ) B. 22 3 2 3C. D422 3 3解析：因为 O， M 分别为 F1F2和 PF1的中点，所以 OMPF 2，且| OM| |PF2|，同理，12ONPF 1，且| ON| |PF1|，所以四边形 OMPN 为平行四边形，由题意知，| OM| ON|12，故 |PF1| PF2|2 ，即 2a2 ， a ，由 a2 b2 c2知 c2 a2 b22， c3 3 3 3，所以| F1F2|2 c2 ，故 PF1F2的周长为 2a2 c2 2 ，选 A.2 2 3 2答案：A8已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C： 1( a b0)的左焦点， A， B 分别为 C 的左，x2a
7、2 y2b2右顶点 P 为 C 上一点，且 PF x 轴过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为4( )A. B. 13 12C. D.23 34解析：如图所示，由题意得 A( a,0)， B(a,0)， F( c，0)设 E(0， m)，由 PFOE ，得 ，|MF|OE| |AF|AO|则| MF| .m a ca又由 OEMF ，得 ，12|OE|MF| |BO|BF|则| MF| .m a c2a由得 a c (a c)，即 a3 c，12 e .故选 A.ca 13答案：A9已知点 F 是抛物线 C：
8、y ax2(a0)的焦点，点 A 在抛物线 C 上，则以线段 AF 为直径的圆与 x 轴的位置关系是 ( )A相离 B相交C相切 D无法确定解析：抛物线 C 的标准方程为 x2 y(a0)，焦点为 F(0， )过点 A 作准线 y1a 14a的垂线，垂足为 A1， AA1交 x 轴于点 A2(图略)，根据抛物线的定义得| AA1| AF|.由14a梯形中位线定理得线段 AF 的中点到 x 轴的距离为 d (|OF| AA2|)12 ( | AA1| ) |AF|，故以线段 AF 为直径的圆与 x 轴的位置关系是相切，12 14|a| 14|a| 12故选 C.5答案：C10(2018高考天津卷
9、)已知双曲线 1( a0， b0)的离心率为 2，过右焦点且垂直x2a2 y2b2于 x 轴的直线与双曲线交于 A， B 两点设 A， B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和 d2，且 d1 d26，则双曲线的方程为 ( )A. 1 B. 1x24 y212 x212 y24C. 1 D. 1x23 y29 x29 y23解析：由 d1 d26，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为 3，所以 b3.因为双曲线 1( a0， b0)的离心率为 2，所以 2，所以 4，所以 4，解得x2a2 y2b2 ca a2 b2a2 a2 9a2a23，所以双曲线的方程为 1，故选 C.x23 y29答案
10、：C11已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为 ， E 的右焦点与抛物线 C： y28 x 的焦点重12合， A， B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则| AB| ( )A3 B6C9 D12解析：因为 e ， y28 x 的焦点为(2,0)，所以 c2， a4，故椭圆方程为ca 12 1，将 x2 代入椭圆方程，解得 y3，所以| AB|6.x216 y212答案：B二、填空题12若抛物线 y24 x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是_解析：由于抛物线 y24 x 的焦点为 F(1,0)，准线为 x1，设点 M 的坐标为( x， y)，则 x110，所以 x
11、9.故 M 到 y 轴的距离是 9.答案：913已知抛物线 ： y24 x 的焦点为 F， P 是 的准线上一点， Q 是直线 PF 与 的一个交点若 2 ，则直线 PF 的方程为_PQ QF 解析：由抛物线 y24 x 可得焦点坐标为 F(1,0)，准线方程为 x1，设 P(1， yP)， Q(xQ， yQ)，由 2 ，PQ QF 得Error! 又因为 y 4 xQ，2Q则易知 yP2 ，即 P(1,2 )或 P(1，2 )当 P(1,2 )时，直线 PF 的方3 3 3 36程为 x y 0，当 P(1，2 )时，直线 PF 的方程为 x y 0，所以直3 3 3 3 3线 PF 的方程
12、为 x y 0 或 x y 0.3 3 3 3答案： x y 0 或 x y 03 3 3 314(2018高考浙江卷)已知点 P(0,1)，椭圆 y2 m(m1)上两点 A， B 满足 2 ，x24 AP PB 则当 m_时，点 B 横坐标的绝对值最大解析：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由 2 ，得Error!AP PB 即 x12 x2， y132 y2.因为点 A， B 在椭圆上，所以Error!得 y2 m ，所以 x m(32 y2)2 m2 m (m5) 244，所以当14 34 2 14 52 94 14m5 时，点 B 横坐标的绝对值最大，最大值为 2.答案：5
13、15(2018高考全国卷)已知点 M(1,1)和抛物线 C： y24 x，过 C 的焦点且斜率为 k的直线与 C 交于 A， B 两点若 AMB90，则 k_.解析：设点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则Error! y y 4( x1 x2)， k .21 2y1 y2x1 x2 4y1 y2设 AB 中点 M( x0， y0)，抛物线的焦点为 F，分别过点 A， B 作准线 x1 的垂线，垂足为 A， B，则| MM| |AB| (|AF| BF|)12 12 (|AA| BB|)12 M( x0， y0)为 AB 中点， M 为 A B的中点， MM平行于 x 轴， y1 y22， k2.答案：27
