1、1第 2 讲 综合大题部分1已知椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点分别为 F1、 F2，焦距为 2，长轴的长为 4.x2a2 y2b2(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设过点 F1的直线 l 与椭圆 C 交于 E， D 两点，试问：在 x 轴上是否存在定点 M，使得直线 ME， MD 的斜率之积为定值？若存在，求出该定值及定点 M 的坐标；若不存在，请说明理由解析：(1)因为椭圆 C 的焦距为 2，长轴的长为 4，所以 2c2,2 a4，解得 c1， a2，所以 b2 a2 c23，所以椭圆 C 的标准方程为 1.x24 y23(2)设 E(x1， y1)， D(x2， y2)， M(m
2、,0)易知 F1(1,0)，当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y k(x1)联立方程，得Error!得(4 k23) x28 k2x4 k2120，则 x1 x2 ， x1x2 . 8k24k2 3 4k2 124k2 3又 y1y2 k2(x11)( x21) k2(x1x2 x1 x21) k2( 1)4k2 124k2 3 8k24k2 3 ， 9k24k2 3直线 ME， MD 的斜率 kME ， kMD ，y1x1 m y2x2 m则 kMEkMD y1x1 m y2x2 m y1y2 x1 m x2 m y1y2x1x2 m x1 x2 m2 9k24k2 34k2
3、124k2 3 m 8k24k2 3 m2 9k24k2 34k2 12 8mk2 4m2k2 3m24k2 3 . 9k2 4m2 8m 4 k2 3m2 122要使直线 ME， MD 的斜率之积为定值，需 3m2120，解得 m2.当 m2 时， kMEkMD ； 9k2 4m2 8m 4 k2 9k236k2 14当 m2 时，kMEkMD . 9k2 4m2 8m 4 k2 9k24k2 94当直线 l 的斜率不存在时，不妨设 E(1， )， D(1， )，32 32此时，当 m2 时， M(2,0)， kMEkMD ；14当 m2 时， M(2,0)， kMEkMD .94综上，在
4、x 轴上存在两个定点 M，使得直线 ME， MD 的斜率之积为定值当定点 M 的坐标为(2,0)时，直线 ME， MD 的斜率之积为定值 ；14当定点 M 的坐标为(2,0)时，直线 ME， MD 的斜率之积为定值 .9432(2018高考浙江卷)如图，已知点 P 是 y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线 C： y24 x 上存在不同的两点 A， B满足 PA， PB 的中点均在 C 上(1)设 AB 中点为 M，证明： PM 垂直于 y 轴；(2)若 P 是半椭圆 x2 1( xb0)的离心率 e ，过右焦点 F 且垂直于 x 轴的弦长为 2.x2a2 y2b2 22(1)求椭圆 C 的方程
5、；(2)若直线 l： y x m 与椭圆 C 交于 M， N 两点，求 MFN 的面积取最大值时 m 的值解析：(1)由题意知Error!解得Error!椭圆 C 的方程为 1.x24 y22(2)联立方程得Error!消去 y，得 3x24 mx2 m240， 16 m212(2 m24)8 m2480，4| m|0；6322当 0；2 2当 0，解得 k0 或 0k1.又 PA， PB 与 y 轴相交，故直线 l 不过点(1，2)从而 k3.所以直线 l 的斜率的取值范围是(，3)(3,0)(0,1)(2)证明：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)由(1)知 x1 x2 ， x1x2 .2k 4k2 1k2直线 PA 的方程为 y2 (x1)y1 2x1 1令 x0，得点 M 的纵坐标为yM 2 2. y1 2x1 1 kx1 1x1 1同理得点 N 的纵坐标为 yN 2. kx2 1x2 1由 ， ，得 1 yM， 1 yN.QM QO QN QO 所以 1 1 11 yM 11 yN x1 1 k 1 x1 x2 1 k 1 x2 2.1k 1 2x1x2 x1 x2x1x2 1k 12k2 2k 4k21k2所以 为定值1 11
