1、1第 2 讲 综合大题部分1. (2017高考全国卷)已知椭圆 C： 1( ab0)，四点 P1(1,1)， P2(0,1)， P3x2a2 y2b2， P4 中恰有三点在椭圆 C 上( 1，32) (1， 32)(1)求 C 的方程；(2)设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A， B 两点若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明： l 过定点解析：(1)由于 P3， P4两点关于 y 轴对称，故由题设知 C 经过 P3， P4两点又由 知， C 不经过点 P1，1a2 1b21a2 34b2所以点 P2在 C 上因此Error!解得Error!故椭圆 C 的方程为 y21
2、.x24(2)证明：设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1， k2.如果 l 与 x 轴垂直，设 l： x t，由题设知 t0，且| t|0.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 .8km4k2 1 4m2 44k2 1而 k1 k2 y1 1x1 y2 1x2 kx1 m 1x1 kx2 m 1x2 .2kx1x2 m 1 x1 x2x1x22由题设 k1 k21，故(2 k1) x1x2( m1)( x1 x2)0.即(2 k1) ( m1) 0.4m2 44k2 1 8km4k2 1解得 k .m 12当且仅当 m1 时， 0，于是 l：
3、 y x m，m 12即 y1 (x2)，m 12所以 l 过定点(2，1)2(2017高考全国卷)已知抛物线 C： y22 x，过点(2,0)的直线 l 交 C 于 A， B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆(1)证明：坐标原点 O 在圆 M 上；(2)设圆 M 过点 P(4，2)，求直线 l 与圆 M 的方程解析：(1)证明：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， l： x my2，由Error! 可得 y22 my40，则 y1y24.又 x1 ， x2 ，故 x1x2 4.y212 y22 y1y2 24因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为 1，所以 OA OB，故
4、坐标原点 O 在y1x1 y2x2 44圆 M 上(2)由(1)可得 y1 y22 m， x1 x2 m(y1 y2)42 m24，故圆心 M 的坐标为( m22， m)，圆 M 的半径r . m2 2 2 m2由于圆 M 过点 P(4，2)，因此 0，AP BP 故( x14)( x24)( y12)( y22)0，即 x1x24( x1 x2) y1y22( y1 y2)200.由(1)可知 y1y24， x1x24，所以 2m2 m10，解得 m1 或 m .12当 m1 时，直线 l 的方程为 x y20，圆心 M 的坐标为(3,1)，圆 M 的半径为 ，10圆 M 的方程为( x3)
5、 2( y1) 210.当 m 时，直线 l 的方程为 2x y40，圆心 M 的坐标为 ，12 (94， 12)3圆 M 的半径为 ，854圆 M 的方程为 2 2 .(x94) (y 12) 85163(2017高考全国卷)设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： y21 上，过 M 作 x 轴x22的垂线，垂足为 N，点 P 满足 .NP 2NM (1)求点 P 的轨迹方程；(2)设点 Q 在直线 x3 上，且 1.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的OP PQ 左焦点 F.解析：(1)设 P(x， y)， M(x0， y0)，则 N(x0,0)， ( x x0， y
6、)， (0， y0)NP NM 由 得 x0 x， y0 y.NP 2NM 22因为 M(x0， y0)在 C 上，所以 1.x22 y22因此点 P 的轨迹方程为 x2 y22.(2)证明：由题意知 F(1,0)设 Q(3， t)， P(m， n)，则(3， t)， (1 m， n)， 33 m tn，OQ PF OQ PF ( m， n)， (3 m， t n)OP PQ 由 1 得3 m m2 tn n21，OP PQ 又由(1)知 m2 n22，故 33 m tn0.所以 0，即 .OQ PF OQ PF 又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l
7、过 C 的左焦点 F.1. 已知动圆 M 恒过点(0,1)，且与直线 y1 相切(1)求圆心 M 的轨迹方程；(2)动直线 l 过点 P(0，2)，且与点 M 的轨迹交于 A， B 两点，点 C 与点 B 关于 y 轴对称，求证：直线 AC 恒过定点解析：(1)由题意得点 M 与点(0,1)的距离始终等于点 M 与直线 y1 的距离，由抛物线定义知圆心 M 的轨迹为以点(0,1)为焦点，直线 y1 为准线的抛物线，则41， p2.p2圆心 M 的轨迹方程为 x24 y.(2)证明：由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l： y kx2，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 C( x
8、2， y2)，由Error! 得 x24 kx80， x1 x24 k， x1x28.kAC ，直线 AC 的方程为 y y1 (x x1)y1 y2x1 x2 x214 x24x1 x2 x1 x24 x1 x24即 y y1 (x x1) x x ，x1 x24 x1 x24 x1 x1 x24 x214 x1 x24 x1x24 x1x28， y x x2，x1 x24 x1x24 x1 x24则直线 AC 恒过点(0,2)2已知椭圆 E： 1( ab0)，过点(0,1)且离心率为 .x2a2 y2b2 32(1)求椭圆 E 的方程；(2)设直线 l： y x m 与椭圆 E 交于 A，
9、 C 两点，以 AC 为对角线作正方形 ABCD，记直12线 l 与 x 轴的交点为 N，问 B， N 两点间的距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由解析：(1)由题意可知，椭圆的焦点在 x 轴上，椭圆过点(0,1)，则 b1.由椭圆的离心率 e ，解得 a2，ca 1 b2a2 32所以椭圆 E 的标准方程为 y21.x24(2)设 A(x1， y1)， C(x2， y2)，线段 AC 的中点为 M(x0， y0)由Error! 整理得 x22 mx2 m220.由 (2 m)24(2 m22)84 m20，解得 b0)，x2a2 y2b2则 2a| CE| CF|2 2，2
10、所以 a ，所以 b2 a2 c21，2故椭圆的标准方程为 y21.x22(2)易知直线 l 的斜率不为 0，故可设直线 l 的方程为 x ky1，设 A(x1， y1)，B(x2， y2)，由Error! 得，( k22) y22 ky10.由根与系数的关系，得 y1 y2 ， 2kk2 2y1y2 ， 1k2 2因为 ，所以 且 0，FA FB y1y2将的平方除以，得 2 ，y1y2 y2y1 4k2k2 2所以 2 ，1 4k2k2 26由 2，1，得 2，52 1所以 20，12 1即 0，解得 k2 ，12 4k2k2 2 27即 0 k2 .27因为 ( x12， y1)， (
11、x22， y2)，TA TB 所以 ( x1 x24， y1 y2)，TA TB 又 y1 y2 ， x1 x24 k(y1 y2)2 .2kk2 2 4 k2 1k2 2故| |2( x1 x24) 2( y1 y2)2TA TB 16 k2 1 2 k2 2 2 4k2 k2 2 216 k2 2 2 28 k2 2 8 k2 2 216 .28k2 2 8 k2 2 2令 t ，因为 0 k2 ，1k2 2 27所以 ，即 t ，716 1k2 2 12 716 12则| |21628 t8 t28( t )2 ，TA TB 74 172因为 t ，716 12所以| |24， ，TA TB 16932所以| |2， TA TB 1328即| |的取值范围为2， TA TB 13281
