1、1课时作业 31 等比数列及其前 n项和基础达标一、选择题12019益阳市，湘潭市高三调研已知等比数列 an中， a53， a4a745，则 的值为( )a7 a9a5 a7A3 B5C9 D25解析：设等比数列 an的公比为 q，则 a4a7 a5q29 q45，a5q所以 q5， q225.故选 D.a7 a9a5 a7 a5q2 a7q2a5 a7答案：D22019湖北华师一附中联考在等比数列 an中， a2a3a48， a78，则 a1( )A1 B1C2 D2解析：因为数列 an是等比数列，所以 a2a3a4 a 8，所以 a32，所以3a7 a3q42 q48，所以 q22， a1
2、 1，故选 A.a3q2答案：A32019山东淄博模拟已知 an是等比数列，若 a11， a68 a3，数列 的前 n1an项和为 Tn，则 T5( )A. B313116C. D7158解析：设等比数列 an的公比为 q， a11， a68 a3， q38，解得q2. an2 n1 . n1 .数列 是首项为 1，公比为 的等比数列则 T51an (12) 1an 12 .故选 A.1 (12)51 12 3116答案：A42019福建厦门模拟设等比数列 an的前 n项和为 Sn，若 Sn2 n1 ，则2 ( )A2 B1C1 D2解析：解法一 当 n1 时， a1 S14 .当 n2 时，
3、 an Sn Sn1 (2 n1 )(2 n )2 n，此时 2.an 1an 2n 12n因为 an是等比数列，所以 2，即 2，解得 2.故选 A.a2a1 44 解法二 依题意， a1 S14 ， a2 S2 S14， a3 S3 S28，因为 an是等比数列，所以 a a1a3，所以 8(4 )4 2，解得 2.故选 A.2解法三 Sn2 n1 22 n ，易知 q1，因为 an是等比数列，所以Sn qn，据此可得 2.故选 A.a11 q a11 q答案：A52019湖南湘潭模拟已知等比数列 an的前 n项积为 Tn，若a124， a4 ，则当 Tn取最大值时， n的值为( )89A
4、2 B3C4 D6解析：等比数列 an的前 n项积为 Tn，由 a124， a4 ，可得 q3 ，解得89 a4a1 127q ， Tn a1a2a3an(24) nq12( n1) (24) n(-)2，当 Tn取最大13 (13)值时，可得 n为偶数，当 n2 时， T224 2 192；当 n4 时， T424 4 6 ；当13 (13) 849n6 时， T624 6 15 ，则 T66，且 n为偶数时， Tn0)，因为 a2 018 ，所以 a2 017 ， a2 019 a2 018q22 a2 018q 22qq，则有 q q 2 4，当且仅当 q22，即22 1a2 017 2
5、a2 019 2 222q 2 22q 2q2qq 时取等号，故所求最小值为 4.2答案：482019石家庄检测设公差不为 0的等差数列 an的前 n项和为 Sn，若 a2， a5， a11成等比数列，且 a112( Sm Sn)(mn0， m， nN *)，则 m n的值是_解析：设等差数列 an的公差为 d(d0)，因为 a2， a5， a11成等比数列，所以a a2a11，所以( a14 d)2( a1 d)(a110 d)，解得 a12 d，又 a112( Sm Sn)25(mn0， m， nN *)，所以 2ma1 m(m1) d2 na1 n(n1) d a110 d，化简得(m
6、n3)( m n)12，因为 mn0， m， nN *，所以Error!或Error!解得Error!或Error!(舍去)，所以 m n9.答案：9三、解答题92017全国卷已知等差数列 an的前 n项和为 Sn，等比数列 bn的前 n项和为Tn， a11， b11， a2 b22.(1)若 a3 b35，求 bn的通项公式；(2)若 T321，求 S3.解析：设 an的公差为 d， bn的公比为 q，则 an1( n1) d， bn qn1 .由 a2 b22 得 d q3.(1)由 a3 b35 得 2d q26.联立和解得Error!(舍去)，Error!因此 bn的通项公式为 bn2
7、 n1 .(2)由 b11， T321 得 q2 q200.解得 q5 或 q4.当 q5 时，由得 d8，则 S321.当 q4 时，由得 d1，则 S36.102018全国卷等比数列 an中， a11， a54 a3.(1)求 an的通项公式；4(2)记 Sn为 an的前 n项和若 Sm63，求 m.解析：(1)设 an的公比为 q，由题设得 an qn1 .由已知得 q44 q2，解得 q0(舍去)， q2 或 q2.故 an(2) n1 或 an2 n1 .(2)若 an(2) n1 ，则 Sn .1 2 n3由 Sm63 得(2) m188，此方程没有正整数解若 an2 n1 ，设
8、Sn2 n1.由 Sm63 得 2m64，解得 m6.综上， m6.能力挑战112019武汉市武昌区高三调研等比数列 an的前 n项和为 Sn，若对任意的正整数 n， Sn2 4 Sn3 恒成立，则 a1的值为( )A3 B1C3 或 1 D1 或 3解析：设等比数列 an的公比为 q，当 q1 时， Sn2 ( n2) a1， Sn na1，由Sn2 4 Sn3 得，( n2) a14 na13，即 3a1n2 a13，若对任意的正整数n,3a1n2 a13 恒成立，则 a10 且 2a130，矛盾，所以 q1，所以 Sn ， Sn2 ，a1 1 qn1 q a1 1 qn 21 q代入 S
9、n2 4 Sn3 并化简得 a1(4 q2)qn33 a13 q，若对任意的正整数 n该等式恒成立，则有Error!解得Error!或Error!故 a11 或3，故选 C.答案：C122018北京卷“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为( )122A. f B. f32 322C. f D. f1225 1227解析：本题主要考查等比数列的概念和通项公式及等比
10、数列的实际应用由题意知，十三个单音的频率构成首项为 f，公比为 的等比数列，设该等比数列为122an，则 a8 a1q7，即 a8 f，故选 D.1227答案：D5132018浙江卷已知 a1， a2， a3， a4成等比数列，且a1 a2 a3 a4ln( a1 a2 a3)若 a11，则( )A a1a3， a2a4 D a1a3， a2a4解析：本小题考查等比数列的概念和性质，利用导数求函数的单调性和最值，不等式的性质和分类讨论思想设 f(x)ln x x(x0)，则 f( x) 1 ，1x 1 xx令 f( x)0，得 01， f(x)在(0,1)上为增函数，在(1，)上为减函数， f(x) f(1)1，即有 lnx x1.从而 a1 a2 a3 a4ln( a1 a2 a3) a1 a2 a31， a41，公比 q0，矛盾若 q0，ln( a1 a2 a3)lna10，也矛盾10， a1a3.a3a1同理， q2a2.选 B.a4a2答案：B6
