1、1单元质检九 解析几何(时间:100 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.(2018 全国 ,文 4)已知椭圆 C: =1 的一个焦点为(2,0),则 C 的离心率为( )x2a2+y24A. B. C. D.13 12 22 223答案 C解析 因为椭圆 C 的一个焦点为(2,0),所以其焦点在 x 轴上, c=2,所以 a2-4=c2,所以 a2=8,a=2 ,所2以椭圆 C 的离心率 e= .ca= 222.到直线 3x-4y+1=0 的距离为 3,且与此直线平行的直线方程是( )A.3x-4y+4=0B.3x-4y+4=0 或 3
2、x-4y-2=0C.3x-4y+16=0D.3x-4y+16=0 或 3x-4y-14=0答案 D解析 设所求直线方程为 3x-4y+m=0,由 =3,解得 m=16 或 m=-14.|m-1|5即所求直线方程为 3x-4y+16=0 或 3x-4y-14=0.3.与圆 x2+(y-2)2=1 相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有( )A.2 条 B.3 条 C.4 条 D.6 条答案 C解析 过原点与圆 x2+(y-2)2=1 相切的直线有 2 条;斜率为 -1 且与圆 x2+(y-2)2=1 相切的直线也有 2条,且此两条切线不过原点,由此可得与圆 x2+(y-2)2=1 相切,且在两坐
3、标轴上截距相等的直线共有4 条 .24.若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆 +y2=1 的焦点和顶点,则该双曲线的方程为( )x22A.x2-y2=1 B. -y2=1x22C.x2- =1 D. =1y22 x23-y22答案 A解析 椭圆 +y2=1 的焦点位于 x 轴,且 a2=2,b2=1,c2=a2-b2=1,据此可知,椭圆的焦点坐标为( 1,0),xx22轴上的顶点坐标为( ,0),2结合题意可知,双曲线的焦点位于 x 轴,且 c= ,a=1,b=1,2则该双曲线方程为 x2-y2=1.5.已知椭圆 =1(ab0)与双曲线 =1(m0,n0)有相同的焦点( -c,0)和( c,0),若
4、 c 是 a,mx2a2+y2b2 x2m2-y2n2的等比中项, n2是 2m2与 c2的等差中项,则椭圆的离心率是( )A. B. C. D.33 22 14 12答案 D解析 由题意可知 2n2=2m2+c2,又 m2+n2=c2,所以 m= .c2因为 c 是 a,m 的等比中项,所以 c2=am,代入 m= ,解得 e= .c2 ca=126.过点 A(0,3),被圆( x-1)2+y2=4 截得的弦长为 2 的直线方程是( )3A.y=- x+3 B.x=0 或 y=- x+343 43C.x=0 或 y= x+3 D.x=043答案 B解析 当弦所在的直线斜率不存在时,即弦所在直
5、线方程为 x=0;此时被圆( x-1)2+y2=4 截得的弦长为2 .33当弦所在的直线斜率存在时,设弦所在直线 l 的方程为 y=kx+3,即 kx-y+3=0.因为弦长为 2 ,圆的半径为 2,3所以弦心距为 =1.22-( 3)2由点到直线距离公式得 =1,解得 k=- .|k+3|k2+(-1)2 43综上所述,所求直线方程为 x=0 或 y=- x+3.437.(2018 吉林长春第二次质量监测)已知椭圆 =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2且垂直于长x24+y23轴的直线交椭圆于 A,B 两点,则 ABF1内切圆的半径为( )A. B.1 C. D.43 45 34答案
6、D解析 由 =1 得 a=2,c=1,根据椭圆的定义可知 ABF1的周长为 4a=8, ABF1的面积为x24+y23|F1F2|yA-yB|= 23=3= 8r,解得 r= ,故选 D.12 12 12 348.(2018 山东德州期末)若双曲线的中心为原点, F(0,-2)是双曲线的焦点,过 F 的直线 l 与双曲线相交于 M,N 两点,且 MN 的中点为 P(3,1),则双曲线的方程为( )A. -y2=1 B.y2- =1x23 x23C. -x2=1 D.x2- =1y23 y23答案 B解析 由题意设该双曲线的标准方程为 =1(a0,b0),y2a2-x2b2M(x1,y1),N(
7、x2,y2),则 =1,且 =1,y21a2-x21b2 y22a2-x22b2则 ,(y1+y2)(y1-y2)a2 =(x1+x2)(x1-x2)b2即 ,2(y1-y2)a2 =6(x1-x2)b2则 =1,y1-y2x1-x2=6a22b2=1-(-2)3-04即 b2=3a2,则 c2=4a2=4,所以 a2=1,b2=3,即该双曲线的方程为 y2- =1.故选 B.x239.设双曲线 =1 的两条渐近线与直线 x= 分别交于 A,B 两点, F 为该双曲线的右焦点 .若 60x2a2-y2b2 a2c0)与双曲线 =1(a0,b0)的两条渐近线分别交于两点 A,B(A,B 异于x2
8、a2-y2b2原点),抛物线的焦点为 F.若双曲线的离心率为 2,|AF|=7,则 p=( )A.3 B.6 C.12 D.42答案 B解析 因为双曲线的离心率为 2,所以 e2= =4,即 b2=3a2,c2a2=a2+b2a2所以双曲线 =1(a0,b0)的两条渐近线方程为 y= x,代入 y2=2px(p0),x2a2-y2b2 3得 x= p 或 x=0,故 xA=xB= p.23 23又因为 |AF|=xA+ p+ =7,所以 p=6.p2=23 p212.已知椭圆 E: =1(ab0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为 M,直线 l:3x-4y=0 交椭圆 E 于x2a2+y2b2A
9、,B 两点 .若 |AF|+|BF|=4,点 M 到直线 l 的距离不小于 ,则椭圆 E 的离心率的取值范围是( )45A. B. C. D.(0,32 (0,34 32,1) 34,1)答案 A解析 如图,取椭圆的左焦点 F1,连接 AF1,BF1.由椭圆的对称性知四边形 AF1BF 是平行四边形,则 |AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a=4.故 a=2.不妨设 M(0,b),则 ,即 b1 .|30-4b|32+(-4)2 45所以 e= .ca= 1-(ba)2 1-(12)2= 32因为 00).a又直线被抛物线截得的线段长为 4,所以 4 =4,即 a=1.a所以抛物线的焦
10、点坐标为(1,0) .14.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 =1(a0,b0)的右支与焦点为 F 的抛物线 x2=2py(p0)交x2a2-y2b2于 A,B 两点,若 |AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 . 答案 y= x22解析 抛物线 x2=2py 的焦点 F ,准线方程为 y=- .(0,p2) p2设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 |AF|+|BF|=y1+ +y2+p2 p2=y1+y2+p=4|OF|=4 =2p.p2所以 y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程得 x2a2-y2b2=1,x2=2py,消去 x,得 a2y2-2pb2y+a2
11、b2=0.所以 y1+y2= =p,所以 .2pb2a2 b2a2=12所以该双曲线的渐近线方程为 y= x.2215.设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,已知点 C 在 l 上,以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A,若 FAC=120,则圆的方程为 . 答案 (x+1)2+(y- )2=137解析 抛物线 y2=4x 的焦点 F(1,0),准线 l 的方程为 x=-1,由题意可设圆 C 的方程为( x+1)2+(y-b)2=1(b0),则 C(-1,b),A(0,b). FAC=120,k AF=tan120=- ,直线 AF 的方程为 y=- x+ .3 3 3 点
12、 A 在直线 AF 上, b= .3则圆的方程为( x+1)2+(y- )2=1.316.若关于 x,y 的方程 =1 所表示的曲线 C,给出下列四个命题:x24-t+ y2t-1 若 C 为椭圆,则 14 或 t0,t-10,且 4-t t-1,解得 14 或 tt-10,解得 10).设抛物线 W 的焦点在直线 AB 的下方 .(1)求 k 的取值范围;(2)设 C 为 W 上一点,且 AB AC,过 B,C 两点分别作 W 的切线,记两切线的交点为 D,判断四边形 ABDC是否为梯形,并说明理由 .解 (1)抛物线 y=x2的焦点为 .(0,14)10由题意,得直线 AB 的方程为 y-
13、1=k(x-1),令 x=0,得 y=1-k,即直线 AB 与 y 轴相交于点(0,1 -k).因为抛物线 W 的焦点在直线 AB 的下方,所以 1-k ,解得 k0,所以 0b0)的右焦点为 F(2,0),以原点 O 为圆心, OF 为半径的圆与椭圆在 y 轴x2a2+y2b2右侧交于 A,B 两点,且 AOB 为正三角形 .(1)求椭圆方程;(2)过圆外一点 M(m,0)(ma),作倾斜角为 的直线 l 交椭圆于 C,D 两点,若点 F 在以线段 CD 为直径56的圆 E 的内部,求 m 的取值范围 .解 (1) AOB 为正三角形,且 A,B 关于 x 轴对称, OF=2,OA=OF=
14、2.y A=1,xA= ,即点 A( ,1),3 3 =1,又 c= 2,解得 a2=6,b2=2,3a2+1b2故椭圆方程为 =1.x26+y22(2)易知直线 l:y=- (x-m)(m ),33 6联立 消去 y 得 2x2-2mx+m2-6=0,x26+y22=1,y= - 33(x-m)由 0,得 4m2-8(m2-6)0,即 -2 0), =2,解得 p=4.p2 抛物线 E 的方程为 y2=8x.(2) 2|BC|是 |AB|与 |CD|的等差中项, |BC|=2r,|AB|+|CD|= 4|BC|=42r=8.|AD|=|AB|+|BC|+|CD|= 10.讨论:若 l 垂直于
15、 x 轴,则 l 的方程为 x=2,代入 y2=8x,解得 y=4.此时 |AD|=8,不满足题意;13若 l 不垂直于 x 轴,则设 l 的斜率为 k(k0),此时 l 的方程为 y=k(x-2),由 y=k(x-2),y2=8x, 得 k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.设 A(x1,y1),D(x2,y2),则 x1+x2= .4k2+8k2 抛物线 E 的准线方程为 x=-2,|AD|=|AF|+|DF|= (x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4, +4=10,解得 k=2.4k2+8k2当 k=2 时, k2x2-(4k2+8)x+4k2=0 化为 x2-6x+4=0. (-
16、6)2-4140,x 2-6x+4=0 有两个不相等实数根 .k= 2 满足题意 . 存在满足要求的直线 l:2x-y-4=0 或 2x+y-4=0.22.(12 分)已知椭圆 =1(ab0)的左焦点为 F(-c,0),右顶点为 A,点 E 的坐标为(0, c), EFAx2a2+y2b2的面积为 .b22(1)求椭圆的离心率;(2)设点 Q 在线段 AE 上, |FQ|= c,延长线段 FQ 与椭圆交于点 P,点 M,N 在 x 轴上, PM QN,且直线 PM32与直线 QN 间的距离为 c,四边形 PQNM 的面积为 3c. 求直线 FP 的斜率; 求椭圆的方程 .解 (1)设椭圆的离心
17、率为 e.由已知,可得 (c+a)c= .12 b22又由 b2=a2-c2,可得 2c2+ac-a2=0,即 2e2+e-1=0.又因为 00),则直线 FP 的斜率为 .1m由(1)知 a=2c,可得直线 AE 的方程为 =1,x2c+yc即 x+2y-2c=0,与直线 FP 的方程联立,可解得 x= ,y= ,(2m-2)cm+2 3cm+2即点 Q 的坐标为 .(2m-2)cm+2,3cm+2)由已知 |FQ|= c,有 ,32 (2m-2)cm+2 +c2+(3cm+2)2=(3c2)2整理得 3m2-4m=0,所以 m= ,即直线 FP 的斜率为 .43 34 由 a=2c,可得
18、b= c,3故椭圆方程可以表示为 =1.x24c2+y23c2由 得直线 FP 的方程为 3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立 消去 y,3x-4y+3c=0,x24c2+y23c2=1, 整理得 7x2+6cx-13c2=0,解得 x=- (舍去)或 x=c.13c7因此可得点 P ,(c,3c2)进而可得 |FP|= ,(c+c)2+(3c2)2=5c2所以 |PQ|=|FP|-|FQ|= =c.5c2-3c2由已知,线段 PQ 的长即为 PM 与 QN 这两条平行直线间的距离,故直线 PM 和 QN 都垂直于直线 FP.因为 QN FP,所以 |QN|=|FQ|tan QFN= ,所以 FQN 的面积为 |FQ|QN|= ,3c234=9c8 12 27c232同理 FPM 的面积等于 ,75c23215由四边形 PQNM 的面积为 3c,得 =3c,75c232-27c232整理得 c2=2c,又由 c0,得 c=2.所以,椭圆的方程为 =1.x216+y212
